【数学答案】天一大联考河南省2025-2026学年高三年级上学期开学考

2025__2026学年(上)高三年级开学考数学.答案一、单项选择题:本题共8小题'每小题5分'共40分.1.答案B命题透析本题考查分层随机抽样.解析依题意,女生有1200_660=540人,则女生应抽取的人数是402.答案D命题透析本题考查复数的运算和虚部的概念.解析因为i,所以虚部为_1.3.答案C命题透析本题考查集合的运算.解析由题可知BĢA,则“+1=3或“+1=“2_1,解得“=2或“=_1.当“=2时,“2_1=3,此时集合A不满足集合中元素的互您性,故舍去;当“=_1时,A={2,3,0},B={2,0},满足A∩B=B,符合题意.4.答案A命题透析本题考查三角恒等变换.5.答案D命题透析本题考查三角函数的图象与性质.解析设f(x)的最小正周期为T.由题知解得⑴=2,:f=2cos令2x_,解得x=+,k∈z,:f(x)的图象的对称中心为,故D符合要求.6.答案B命题透析本题考查等差数列的前n项和.解析由题知,前n排每排的座位数依次构成一个以15为首项,2为公差的等差数列,故前n排座位数之和为2+14n,令n2+14n≥700,验证可知B项符合题意.7.答案B命题透析本题考查函数的奇偶性与函数图象的识别.解析由题知,f(x)=(ex_e_x)cosx,则f(_x)=(e_x_ex)cos(_x)=_(ex_e_x)cosx=_f(x),:f(x)是奇函数,排除A,又f(1)=(e_e_1)cos1>0,排除C,:f,ex+e_x,:f>0,排除D,故选B.8.答案A命题透析本题考查椭圆的定义及简单几何性质.解析如图,连接F1B,F2B.因为B是内心,所以射线F2B是LpF2F1的平分线.因为_=4_,所以 3lpBllpF1llpF2l3lpF1l+lpF2l2α33二、多项选择题:本题共3小题'每小题6分'共18分.每小题全部选对的得6分'部分选对的得部分分'有选错的得0分.9.答案CD命题透析本题考查数列的概念及前n项和.解析对于A,sn=n2+2n+1,当n=1时,α1=s1=4,当n≥2时,αn=sn_sn_1=n2+2n+1_[(n_1)2(n_1)+1]=2n+1,对n=1不成立,故A错误;对于B,当αn=0时,满足sn=nα1,但{αn}不是等比数列,故B错误;对于C,因为{αn}是等差数列,所以s故C正确;对于D,因为{αn}是等比数列,且sn=λ.2n+μ,所以公比为2,sn2n,显然有λ+μ=+(_α1)=0,故D正确.10.答案ABD命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.解析对于A,由题可知f(x)的定义域为(0,+∞),f,令f,=0,得x,当x∈(0,2_13)U(2+13,+∞)时,f,(x)>0,当x∈(2_13,2+13)时,f,(x)<0,所以f(x)在区间(0,2_13),(2+13,+∞)上单调递增,在区间(2_13,2+13)上单调递减,故A正确;对于B,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→0时,f(x)→_∞,所以f(x)没有最值,故B正确;D正确.11.答案ACD命题透析本题考查双曲线的几何性质.解析由题易知C的通径长为b2,所以α=1,C的方程为x对于A,C的离心率e故A正确;对于B,设P(xo,yo),不妨先探究双曲线在第一象限的部分(其他象限由对称性同理可得),由x得y所以y则在点P(xo,yo)处的切线斜率为k所以在点P(xo,yo)处的切线方程为y_y又因为x,所以在点P(xo,yo)处的切线方程为xox,该方程具有一般性,设A(x1,y1)是切线与渐近线在第一象限的交点,B(x2,y2)是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程为y=±bx,由解得所以点A同理可得B则lAB又因为xo≥1,所以lABl≥21(b2+1)_1=2b,即lABlmin=2b,故B错误;对于C,由B知yo,所以P(xo,yo)是线段AB的中点,故C正确;对于D,如图,设l交x“于点D,因为在点P(xo,yo)处的切线方程为xox令y=o,得x所以点D则S△A0B=S△A0D+S△B0DDl×ly1_yb,是定值,故D正确.三、填空题:本题共3小题'每小题5分'共15分.命题透析本题考查向量的模与向量的夹角.解析因为lal=lbl,所以(a+b)2=a2+b2+2a.b=2a2+2a.b,再由la+bl=12lal,得(a+b)2=2a2,所以a.b=o,故a与b的夹角大小为9oO.13.答案(_3,o)命题透析本题考查函数的极值点.解析依题意,当“=o时,f(x)=3x2_x+2,只有一个极值点,不符合题意;当“≠o时,f,(x)=3“x2+6x_1,由f(x)的两个极值点均为正数,得解得_3<α<0.命题透析本题考查立体几何综合问题.解析如图,取DE的中点F,连接AF,则AF丄DE.作AG丄BC于点G,连接FG,由题可知平面ABC丄平面BCC1B1,则AG丄平面BCC1B1,所以AG丄DE,AG丄FG,又AF丄DE,AF∩AG=A,所以DE丄平面AFG,则LAFG=α.四、解答题:本题共5小题'共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查利用正丶余弦定理解三角形.解析b=αsin2B,即(sin2A+sin2B_sin2C)b=αsin2B,………………………(2分)由正弦定理知,(α2+b2_c2)b=αb2,………………………(3分)又b≠0,:α2+b2_c2=αb,…………………(4分)由余弦定理可得cOsC(5分):0<C<π,:C=.………………………(6分)(2):△ABC的外接圆半径为2,:由正弦定理知…………(8分):b=4sinB=4sinsin(13分)16.命题透析本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系.解析(1)根据抛物线的对称性,以及点A2(3,16),A3(3,_16)关于x轴对称,可知点A2,A3要么都在C上,要么都不在C上,因为C只经过三个点中的一点,所以A2,A3都不在C上.……………(2分)所以点A1(2,212)在C上,将其坐标代入y2=2px,得p=2,……………(4分)所以C的方程为y2=4x.……………………(5分)(2)由(1)知F(1,0).设E(x1,y1),H(x2,y2),则P……(6分)易知直线EH,MN的斜率均存在,故设直线EH的方程为y=K(x_1)(K≠0),由消去y整理得k2x2_(2k2+4)x+k2=0,………………(8分)+,.………(10分)用_1替换k得Q(1+2k2_2k)……………………当k≠±1时,kPQ则直线PQ的方程为y+2k,即(1_k2)y+k(3_x)=0,当x=3时,y=0.……………(13分)当k=±1时,P(3,±2),Q(3,千2),此时直线PQ过点(3,0).…………(14分)故直线PQ过定点(3,0).…………………(15分)17.命题透析本题考查线线垂直的证明及空间向量的应用.解析(1)如图,连接BD交AC于点H.在Rt△ABC中,可得tanLBAHLBAH=60O,…………………(1分)在Rt△ABD中,可得tanLABHLABH=30O,…………………(2分)所以AC丄BD.…………………(3分)又因为AC丄PB,且PB∩BD=B,PB,BDC平面PDB,所以AC丄平面PDB,…………………………(4分)因为PDC平面PDB,所以AC丄PD.………………………(5分)(2)在直角梯形ABCD中,由题易知CD=17,又PD=12,PC=3,所以PD2+DC2=PC2,所以PD丄CD.由(1)知AC丄PD,且CD∩AC=C,CD,ACC平面ABCD,所以PD丄平面ABCD.………(8分) 方法一:如图,作DE丄BC于点E,连接PE,则四边形ABED是矩形,DE=AB=13.易知PD丄BC,又PD∩DE=D,且PD,DEC平面PDE,所以BC丄平面PDE,又因为PEC平面PDE,所以BC丄PE,所以LPED为平面PBC与平面ABCD所成角的平面角,………………(12分)在Rt△PDE中,可得tanLPED所以cOSLPED=1515,5故平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为115.(15分)5方法二:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴和y轴,过点A且平行于PD的直线为Z轴,建立空间直角坐标系如图所示,可得A(0,0,0),B(13,0,0),C(13,3,0),D(0,1,0),P(0,1,12).…(9分)由题意可知m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.…………………(10分)设平面PBC的法向量为所以Z=0,令x=12,可得"=(12,0,13).……(12分)设平面PBC与平面ABCD所成的角为θ,则cOS故平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为……………………(15分)18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.解析(1)由f(x)=λx3_x2,得令h则h,…………………(1分)令m(x)=1_2lnx_x,则m(x)在定义域内单调递减,……………………(3分)又m(1)=1_2ln1_1=0,故当0<x<1时,m(x)>0,即h,(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,m(x)<0,即h,(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,故h(x)max=h(1)=1,且当x→0时,h(x)→_∞,当x→+∞时,h(x)>0且h(x)→0,作出h(x)的大致图象如图:由于λ>0,且h(x)=λ有唯一的实数根,所以λ=1.……………………(7分)(2)由题意知f,即xlnx≤,也即2lnx_“x+≤0在x∈[1,+∞)时恒成立.设g=2lnx_“xx≥1,当“≤0时,g,(x)>0在[1,+∞)上恒成立,则g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,不满足条件.………………………(10分)当α>0时,令"(x)=_αx2+2x_α,x≥1,则Δ=4_4α2.当Δ=4_4α2≤0,即α≥1时,"(x)≤0,则当x∈[1,+∞)时,g,(x)≤0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,满足条件.…………(13分)当Δ=4_4α2>0,即0<α<1时,令"(x0)=0,解得x当x∈(1,x0)时,"(x)>0,则g,(x)>0,所以g(x)在(1,x0)上单调递增,所以当x∈(1,x0)时,有g(x)>g(1)=0,不满足条件.…………………(16分)综上所述,实数α的取值范围为[1,+∞).………………(17分)19.命题透析本题考查相互独立事件的概率计算、全概率公怯,以及数列的综合应用.解析