2026-2027学年江西省九江市武宁尚美中学高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.（2026高二·全国·专题练习）2.在以下命题中，正确的命题有（

）A.是，共线的充要条件B.若，则存在唯一的实数，使C.对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面D.已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得3.如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A.2 B.3 C. D.4.若，，则（）A. B. C. D.（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）5.在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（）A.20 B.18 C.17 D.166.已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（）A. B. C. D.7.已知函数，现给出下列命题：①当图象是一条连续不断的曲线时，则；②当时，在上是减函数；③当时，不等式恒成立；④当时，函数的值域为.其中正确的命题是（）A.①② B.②④ C.①③ D.③④8.词元调用量是指每次使用时，输入提问词元和输出回答词元的总消耗数量，是衡量使用规模，算力消耗、计费的核心指标.某数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分）9.已知随机事件、满足，，则（）A.B.C.若，则D.若、相互独立，则10.已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（）A.圆心C的轨迹方程为B.圆C过定点C.当时，的最小值为15D.当时，四边形的面积的最小值为11.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（）A.的轨迹方程为 B.的面积最大值为3C.的最大值为 D.到直线的距离最大值为三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知向量，，，若，则__________．13.已知，，则________．（用，表示）．14.已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知.（1）若，求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.16.已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在锐角中，若且，求周长的取值范围．17.如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，．（1）用，表示向量；（2）设，求，的值；（3）如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值．18.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，E，F分别是，的中点．（1）若平面与平面的交线为l，判断直线与l的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线和平面的距离；（3）若H为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．19.设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”．（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；①；②；（2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．

数学一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助对数定义域可得，再利用交集定义运算即可得.解答过程：，则.故选：A.（2026高二·全国·专题练习）2.在以下命题中，正确的命题有（

）A.是，共线的充要条件B.若，则存在唯一的实数，使C.对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面D.已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得答案：C解析：思路：利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D.解答过程：对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误；对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误；对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确；对于D:若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误.3.如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A.2 B.3 C. D.答案：C解析：思路：先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长.解答过程：因为，为正三角形，所以，所以，将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示，则线段即为点B的最短路线的长，因为,由余弦定理得到，即，所以，即点B的最短路线的长为.4.若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先将条件进行切化弦得到与的关系，再结合两角和的正弦公式求出二者的值，最后代入两角差的正弦公式计算结果.解答过程：由，根据同角三角函数的商数关系可得，化简整理得①.因为，由两角和的正弦公式得②.将①代入②，得，解得，再将代入①得.所以.因此.（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）5.在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（）A.20 B.18 C.17 D.16答案：B解析：思路：根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可.解答过程：已知AD是的角平分线，，因此.则.设，，则，化简得bc=2.由基本不等式，，当且仅当即时取等号.所以，此时，满足条件，故最小值为18.6.已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出.解答过程：，的图象关于点对称，又，当时，取得最值，即的图象关于直线对称，又在上单调递减，，点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，设的最小正周期为，则，.，又的图象关于点对称，且在上单调递减，由正弦函数的性质，，.，时，.7.已知函数，现给出下列命题：①当图象是一条连续不断的曲线时，则；②当时，在上是减函数；③当时，不等式恒成立；④当时，函数的值域为.其中正确的命题是（）A.①② B.②④ C.①③ D.③④答案：C解析：思路：结合分段函数的连续性、单调性、值域定义，逐个验证四个命题.解答过程：①当时，因为，此时的图象是一条连续不断的曲线，①正确；②当函数是减函数时，则，解得，因此②不正确；③当时，，，，，因为函数在上单调递增，所以，即，所以当时，恒成立，故③正确；④当时，函数在上单调递减，且在上不连续，此时函数的值域不为，④错误．8.词元调用量是指每次使用时，输入提问词元和输出回答词元的总消耗数量，是衡量使用规模，算力消耗、计费的核心指标.某数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：众数a：频率分布直方图的众数是最高矩形的中点，是三个统计量里数值最大的；中位数c：是左右两侧累计频率各为0.5的分界点，位置在众数的左侧；平均数b：因为左侧存在数值很小的长尾拖尾，会将平均数向小值方向大幅拉动，是三个统计量里数值最小的.因此三者大小关系为

.二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分）9.已知随机事件、满足，，则（）A.B.C.若，则D.若、相互独立，则答案：CD解析：思路：利用，可判断A选项；取事件，相互独立时，结合独立事件的概率公式可判断B选项；若，则，可判断C选项；即；利用独立事件的概率公式可判断D选项.解答过程：对于选项A，，只有当事件、互斥时，，才有，题意没说明、互斥，所以不一定为，故A错误；对于选项B，当事件、相互独立时，，故B错误；对于选项C，若，则，所以，故C正确；对于选项D，若、相互独立，则、相互独立，又因为，，所以，故D正确.10.已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（）A.圆心C的轨迹方程为B.圆C过定点C.当时，的最小值为15D.当时，四边形的面积的最小值为答案：BCD解析：思路：对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项；对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解；对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解；对于D，根据结合选项C即可求解.解答过程：圆C的方程可化为，，对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确；对于B选项，圆C的方程可化为，令，解得所以圆C过定点，所以B选项正确；对于C选项，，当时，，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，所以C选项正确；对于D选项，，所以D选项正确.11.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（）A.的轨迹方程为 B.的面积最大值为3C.的最大值为 D.到直线的距离最大值为答案：ABD解析：思路：由题意求出点的轨迹方程，可判断A；由，可由点的轨迹方程由得当的最大值，从而求得的面积的最大值，判断B；对于C，D，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，判断C；根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值，判断D.解答过程：点，，设，由，得，整理得.所以A正确；对于B，因为点的轨迹方程为，即.所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.因为的面积为，所以当取最大值时，的面积取得最大值，最大值为.所以B正确；对于C，当共线时，；当不共线时，.当且仅当，即时，等号成立.因为，所以.所以.所以的最大值为.所以C错误；对于D，当共线时，点到直线的距离为；当不共线时，点到直线的距离.由选项C知，，所以，所以点到直线的距离.综上点到直线的距离的最大值为.所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知向量，，，若，则__________．答案：解析：思路：计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可.解答过程：因为，，则.又，则

.即

，整理得，解得.13.已知，，则________．（用，表示）．答案：解析：思路：由对数的运算法则进行求解．解答过程：由，得，则，因为，所以．14.已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______答案：##解析：思路：根据圆锥的轴截面为正三角形，可求轴截面的外接圆半径，即为圆锥外接球半径，进而可求圆锥外接球表面积.解答过程：如图：作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形.又.所以，即为圆锥外接球半径.所以圆锥外接球表面积为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知.（1）若，求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）根据正弦定理，把化成，结合三角形内角和定理，消去角，可得角，的关系，结合，可求角.（2）根据（1）中角，的关系，利用正弦定理，可得，再根据为锐角三角形，可求角的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得的取值范围.（1）因为，由正弦定理得：又，所以所以，得所以，则或（舍），.（2）由题意及（1）得，在中，，由正弦定理得，，为锐角三角形，解得：，的取值范围为.16.已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在锐角中，若且，求周长的取值范围．答案：（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）解析：思路：（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间.（2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围.（1）∵，，∴.∴.函数的最小正周期.令，解得，即的单调递增区间为.（2）∵，∴，即.∵为锐角三角形，∴，则，∴，得.由正弦定理得，∴，.又，故.∵为锐角三角形，∴，解得.的周长，∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即周长的取值范围为.17.如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，．（1）用，表示向量；（2）设，求，的值；（3）如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值．答案：（1）（2），（3）解析：思路：（1）直接由向量的线性运算可得；（2）根据、、三点共线及、、三点共线，并结合三点共线的结论可得；（3）由（2）的结论可得，再结合条件及、、三点共线可得.（1）因为，所以，因此.（2）因为，即，又因为，即.由题，所以，因为、、三点共线，所以.①又因为，，所以，因为、、三点共线，所以.②联立①②得，解得，.因此，.（3）由（2）知，，所以，即.因为，（，均为非零实数），所以，.所以，因为、、三点共线，所以.因此.18.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，E，F分别是，的中点．（1）若平面与平面的交线为l，判断直线与l的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线和平面的距离；（3）若H为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．答案：（1），理由如下：因为底面为菱形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以；（2）（3）解析：思路：（1）由为菱形，可证平面，进而可得结论；（2）利用已知可得平面，结合（1）可得的长为直线和平面的距离，进而计算即可；（3）为上任意一点，连接，则为平面所成的角，当最短时，即当时，最大，由此能求出二面角的余弦值．（1）略.（2）四边形为菱形，，所以为正三角形，又E是的中点，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，由（1）可知平面，所以的长为直线和平面的距离，又因为为正三角形，且