2026-2027学年内蒙古衡越教育集团（清北）高三上学期第二次诊断数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知函数，则（）A. B.1C. D.5.已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.6.在中，，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（）A. B.1 C.2 D.8.若，则（）A. B.C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.已知，，满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.10.已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（）A.B.C.的面积为D.11.已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.的极大值为C.函数的极小值点为D.不等式的解集为三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.若是第二象限角，，则______.13.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.14.已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.四、解答题（共5小题，共77分）15.已知函数．（1）求函数的单调递增区间及在上的最值；（2）若为锐角且，求的值．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．17.设函数.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.18.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且．（1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）证明：在上单调递减．（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据一元二次不等式化简集合A，再由集合的交集运算即可.解答过程：由题意知，，则．故选：C．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：根据复数的乘法运算即可求解对应的点的坐标.解答过程：,则对应的点为，故在第三象限，故选:C3.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设，是的必要不充分条件，是的真子集，又，，则，解得．4.已知函数，则（）A. B.1C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，因为，所以，即，故选项A正确.5.已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，结合，代入计算，即可求解.解答过程：因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，，可得.6.在中，，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，．设外接圆的半径为,由正弦定理，，，，所以外接圆的面积.7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（）A. B.1 C.2 D.答案：B解析：思路：利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值.解答过程：函数的图象向左平移个单位，得到函数,由为奇函数，则，因为，所以的最小值是，故选：B.8.若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，.解答过程：因为，所以.设函数，则，当时，单调递减，所以，所以，故.故选：B二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.已知，，满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项.解答过程：因为，，满足，对于A选项，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，A错；对于B选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，B错；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，D对.故选：CD.10.已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（）A.B.C.的面积为D.答案：AC解析：思路：A选项由正弦定理计算判断即可；B选项由余弦定理计算判断即可；C选项由三角形面积公式计算判断即可；D选项利用余弦定理可求得，进而可得，结合正弦定理求解即可.解答过程：因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确；由余弦定理得，，因为，所以，故B错误；的面积为，故C正确；由余弦定理，得，因为，所以，因为，是的角平分线，所以，所以.在中，由正弦定理，得·解得，故D错误.故选：AC.11.已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.的极大值为C.函数的极小值点为D.不等式的解集为答案：BCD解析：思路：先求出当，的解析式，再根据导数的几何意义判断A；根据极大值的定义判断B；根据极小值点的定义判断C；把不等式是等价转化为或求解可判断D.解答过程：当时，，所以，则，又，所以A错误；当时，当时．，所以的极大值为，又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大,值，所以B正确；，当或时，当时，，所以的极小值点为，所以C正确；根据，或；或，等价于或，则，所以D正确．故选：BCD三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.若是第二象限角，，则______.答案：##-0.8解析：思路：根据同角三角函数关系求出余弦值.解答过程：是第二象限角，，故.故13.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.答案：解析：思路：求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程.解答过程：由可得，∴.∵.所以曲线在处的切线方程为，即.故答案为.14.已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可.解答过程：结合解析式可知当时，；当时，.因为，所以.令，得，则，故.令，则，令得；令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，所以.所以的取值范围为.故四、解答题（共5小题，共77分）15.已知函数．（1）求函数的单调递增区间及在上的最值；（2）若为锐角且，求的值．答案：（1）单调递增区间为，最大值为，最小值为（2）解析：思路：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.（2）由（1）的结论结合题设，利用同角三角函数关系及两角差的余弦公式求解即得.（1）由，解得，所以函数的单调递增区间为；由，得，，所以，在的值域为.所以函数的最大值为，最小值为，（2）由（1）知，，由，得，由，得，所以，，所以.16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出；（2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；（2）由（1）知，，又，则由正弦定理得．由余弦定理可得，所以，所以，根据正弦定理得，，因为，则，所以，所以．17.设函数.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（1）（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）求得，得到，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为，进而求得三角形的面积；（2）由，得到，结合，得到在上单调递增，进而求得函数的最值.（1）解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，，所以所求三角形的面积为.（2）解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.即函数在区间上的最大值为，最小值为.18.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且．（1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：由题意知平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）①；②解析：思路：（1）根据线面垂直的判定可证明平面，即可求证，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，进而利用外接球的性质，结合勾股定理求解球心位置，或者利用空间中两点距离公式求解球心坐标，进而可求解所截的圆的半径，即可求解①，利用向量法即可求解②.（1）略（2）由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以，设平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点，其坐标为，且平面，所以在上，于是设，由，得，即，解得，所以，所以，球的半径．法2：设，由，得，解得，即，所以，球的半径．①设点到平面的距离为，则，所以截面圆的半径，故截面圆的周长为；②，设与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）证明：在上单调递减．（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．答案：（1）（2）令，，则，所以当时，，因此函数在上单调递增，当时，，因此函数在上单调递减，故函数的最大值为，即在上恒成立，则在上单调递减．（3）解析：思路：（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得；（2）令，利用导数求得函数的