2026-2027学年山东省青岛市高三上学期期初调研检测数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2，4，1，8，6的80%分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.72.若单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.3.若集合，则的真子集个数为（）A. B. C. D.4.若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象上所有的点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（）A.4949 B.4950 C.5049 D.50507.若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（）A. B. C. D.8.设集合.从中随机抽取一个元素，记随机变量，则的数学期望为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知（），则（）A. B.展开式中二项式系数的和为C. D.展开式中系数最大的项是第项10.已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（）A.的离心率为 B.，，，四点可能共圆C.为直角三角形 D.的最小值为11.已知函数，则（）A. B.，C.在内存在极小值点 D.有2个解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________.13.甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________.14.已知函数在内存在个极值点，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知的内角，，的对边分别是，，，.（1）求；（2），边上的中线，交于点，，，求的余弦值.17.游乐园有一项基于如图所示的高尔顿板设计的游戏.游客支付一定的乐园积分即可参与一次游戏，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到钉子后都等可能地向左或向右落下，最终落入底部从左到右依次编号为、、、的个格子中.当小球落入号格子时，游客可获得积分；若落入奇数号格子还可获得一件礼品.（1）求游客在一次游戏中获得礼品的概率；（2）商家希望游客在一次游戏中获得的积分不超过支付积分的，求一次游戏的最低支付积分（支付积分为整数）；（3）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差.经统计，次游戏后共送出件礼品.某工作人员认为装置存在偏差，需调试.请结合正态分布的原则，判断此工作人员的说法是否合理并说明理由.18.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.（1）求的方程；（2）设直线交于，两点，交轴于点，为线段的中点.线段的垂直平分线经过点，且与轴交于点.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求面积的取值范围.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明.

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2，4，1，8，6的80%分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：将样本数据从小到大排序，计算80%分位数对应的位置，再根据分位数的定义计算结果.解答过程：排序数据：将样本数据从小到大排列为：，样本容量，计算分位数位置：根据百分位数计算规则，位置，为整数，

，故该组数据的80%分位数为7.2.若单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：

，故.3.若集合，则的真子集个数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题集合可得集合，集合的真子集个数为，故的真子集个数为.4.若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设点，由抛物线，得，因为，所以，解得，又，所以，所以的面积为.5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象上所有的点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：B解析：思路：由，利用三角函数图象变换规律可得出结论.解答过程：，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位长度，故选：B.6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（）A.4949 B.4950 C.5049 D.5050答案：D解析：思路：根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解.解答过程：设第层球的个数为，．由题意可知，．当时，第层比第层多个球，即．所以

．当时，，满足上式．故第层球的个数为，．所以当时，．7.若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数的几何意义计算即可.解答过程：易知，所以曲线在点处的切线为，同理，所以在点处的切线为，由题意知两条切线重合，所以，两边同时取以为底的对数得，则.8.设集合.从中随机抽取一个元素，记随机变量，则的数学期望为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用期望的线性可加性，先计算单个的数学期望，再求和得到的数学期望.解答过程：对任意，的取值为，共3种等可能情况，令，则的可能取值为：当时，，故；当时，，故，因此单个的数学期望为，由题意，根据数学期望的线性性质，可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知（），则（）A. B.展开式中二项式系数的和为C. D.展开式中系数最大的项是第项答案：AB解析：思路：本题考查二项式定理的相关应用，结合通项公式、二项式系数性质、赋值法即可逐一判断选项.解答过程：选项A：的展开式通项为，当时，对应项系数，故A正确；选项B：二项式系数和为，故B正确；选项C：令，得；令，得，两式相减得，即奇数项系数和为（时不成立），故C错误；选项D：展开式共项，二项式系数最大的是中间第项，由于展开式系数均为正，故系数最大的项是第项，故D错误.10.已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（）A.的离心率为 B.，，，四点可能共圆C.为直角三角形 D.的最小值为答案：ACD解析：思路：对A直接由椭圆的几何性质计算可得；对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再由，再结合对称性可知四点不共圆；对C，设，由三角形面积关系得，再通过解方程可得，进而可得，从而可判断C，再由直角三角形中边角关系可得，由基本不等式可得最小值，可判断D选项.解答过程：因为椭圆（）满足

，结合椭圆关系，代入得：，即，所以，因此离心率​​，选项A正确.设，由椭圆关于原点对称得

；轴则.所以​，由题意.设

，的面积也可表示为，所以，得，即.由，椭圆方程可写为，又因为直线过和，斜率，直线方程为，代入椭圆方程，，结合，得，，，，，，，，解得或.所以，代入得，即，所以，又因为，所以，即，因此，所以为直角三角形，故C正确.由是直角，所以在直角三角形中，又因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确.

对选项B，，若四点共圆，则圆心必在弦的垂直平分线

轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点，因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点.所以圆的半径，圆的方程为.又因为在椭圆上，也在圆上，联立，显然方程组无解，故不存在，所以，，，四点不可能共圆，故B错误.11.已知函数，则（）A. B.，C.在内存在极小值点 D.有2个解答案：ABD解析：思路：A利用经典不等式放缩；B通过放大分子，构造函数证明不等式；C由在上单调递减且仅有一个零点，判断该零点为极大值点；D构造，通过二阶导数分析单调性与零点个数.解答过程：函数，求导得，记.选项A：要证，即证.当时，令，则，故单调递增.又，所以时，即，成立；当时，令，则，故在上单调递增，，即（等号仅在时成立），且（等号仅在时成立），两式等号无法同时取得，故.因此恒成立.A正确.选项B：要证，，即证.因，故，只需证.令，则，令，则.当时，，，故括号内大于1，又，所以.从而在上单调递增，，故单调递增，.因此，进而，即.B正确.选项C：在内，，故在内单调递减.又，，故存在唯一使.当时，；当时，.故是极大值点，在内不存在极小值点.C错误.选项D：方程即，令.当时，若，，故，；若，，故，.因此时无零点.当时，，令，则.在内，故单调递增.又，，故存在唯一使，在上单调递减，在上单调递增.，，.故在和内各有一个零点.当时，，单调递增且，故无零点.综上，恰有2个正根，即有2个解.D正确.方法提示：方法点睛：本题以含三角函数与指数函数的分式函数为载体，核心是求导后通过分子的符号分析单调性.解题中反复运用"放缩—构造—求导定单调"的思路：先用经典不等式，合理放缩，再构造辅助函数，必要时通过二阶导数判断一阶导数的符号，进而确定原函数的单调性与极值、零点情况.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________.答案：解析：解答过程：由题意设，因为，所以，解得（舍去）或，所以.13.甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________.答案：解析：思路：分别计算从甲盒、乙盒摸出白球的概率，根据全概率公式求解即可.解答过程：记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”，掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率；出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率；则摸到白球的总概率为.14.已知函数在内存在个极值点，则的取值范围为______.答案：解析：思路：先判断函数的奇偶性，从而可得是函数的一个极值点，故只需函数在上有个极值点即可，求导，再构造函数，再用导数判断函数在有个变号零点即可，由此可得，解不等式组得，最后再检验可得.解答过程：函数，且，，所以函数是偶函数，图像关于轴对称，因此是函数的一个极值点，由对称性可知，只需函数在上有个极值点即可.当时，函数简化为，，若时，，所以，因此无解，函数在上无极值点，故.设，，因为，所以函数在上单调递增，设，即.①则函数在上单调递减，在上单调递增，所以.因为函数在上有个极值点，所以函数在有个变号零点，所以.由①得，，得.②又由①式两边取对数得，解得③.将③代入②得，因为，所以，，由对数函数的性质得.④再由，得，由函数，，所以函数在上单调递增，且，所以.⑤综合④⑤，得.检验：是否成立，由，，因为，所以，又因为，所以，故，显然成立.因此的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）由题意知：，，平面，∴平面，又∵平面，所以．又点C为的中点，所以，又，平面，所以平面，又∵平面，所以．（2）解析：思路：（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可．（1）略（2）由（１）知平面，以O为原点，，的方向分别作为x，z轴，底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，又，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则．16.已知的内角，，的对边分别是，，，.（1）求；（2），边上的中线，交于点，，，求的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换计算即可；（2）以为基底，利用平面向量的数量积公式计算夹角即可.（1）由正弦定理可知，又，所以，又所以又，所以；（2）设，则，因为，显然由上问可知，而，，，由题意可知.17.游乐园有一项基于如图所示的高尔顿板设计的游戏.游客支付一定的乐园积分即可参与一次游戏，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到钉子后都等可能地向左或向右落下，最终落入底部从左到右依次编号为、、、的个格子中.当小球落入号格子时，游客可获得积分；若落入奇数号格子还可获得一件礼品.（1）求游客在一次游戏中获得礼品的概率；（2）商家希望游客在一次游戏中获得的积分不超过支付积分的，求一次游戏的最低支付积分（支付积分为整数）；（3）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差.经统计，次游戏后共送出件礼品.某工作人员认为装置存在偏差，需调试.请结合正态分布的原则，判断此工作人员的说法是否合理并说明理由.答案：（1）（2）（3）合理，理由如下：设是次游戏获得礼品的次数，结合（1）知获得礼品的概率是，即，且，由题知，可认为符合正态分布，，，即，由正态分布的原则可知，数据落在属于正常范围，数据不在该区间的属于小概率事件，因此获奖次数出现在区间外是不正常的，因此工作人员认为装置存在偏差是合理的.解析：思路：（1）次下落，左右等可能，可以看作二项分布，根据下落到奇数格子和向右掉落的次数的关系即可求解；（2）由二项分布的概率，求出游客获得积分的分布列即可；（3）结合（1）知获奖次数可看作，检验其符合正态分布的条件，然后检查数据是否落在正态分布中原则的区间范围内.（1）设小球在下落过程中向右落下的次数为随机变量，由题意可知，小球共经过层钉子，每次向左或向右落下的概率均为，且相互独立，故，则，小球落入第号格子，对应向右落下的次数为次，即，获得礼品对应落入奇数号格子，即，此时，故游客在一次游戏中获得礼品的概率为：，所以，游客在一次游戏中获得礼品的概率为.（2）由题意，，，的可能取值为、、、，结合（1）可知，，对应的概率如下，，，，，则，设支付的积分为，则，解得，由于，则的最小值为.（3）略18.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.（1）求的方程；（2）设直线交于，两点，交轴于点，为线段的中点.线段的垂直平分线经过点，且与轴交于点.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求面积的取值范围.答案：（1）（2）（ⅰ）若直线与轴垂直，则线段的垂直平分线为轴，不经过，不合题意；若直线平行于轴，与双曲线的右支只有一个交点，不合题意；故设直线的方程为，其中，又时，直线与双曲线只有一个交点，故.设，，，联立，得，又为线段的中点，所以，故，又，则由，得，即，代入，得，因为，则，所以，又，直线方程为，则.所以