2026-2027学年山东省日照市实验高级中学高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.命题“”的否定为（）A.B.C.D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度5.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.在中，，，为线段上一点，且满足．若的面积为，则的最小值为（）A. B.C. D.8.已知关于的不等式对任意恒成立．则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则10.已知函数，下列说法正确的是（）A.若是奇函数，则B.若是减函数，则C.所有零点的平方和等于D.当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切11.已知数列的前项和为，若，，则（）A.B.数列为递减数列C.数列的最大项是2，最小项是0D.对任意，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量若，则___________13.函数与函数公切线的斜率为_______．14.已知数列为等差数列，，存在正整数，使得．若集合有3个元素，则的可能取值有_______个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，，设．（1）求函数的单调递增区间；（2）记的内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，求的周长．16.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上存在极大值，求实数的取值范围．17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值．18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围；（3）当时，对任意的，满足．证明：．19.定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”．（1）设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由；（2）当时，若为“整数等差函数”，求的最大值；（3）若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数．若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立．证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由题可知：,或，所以.2.命题“”的否定为（）A.B.C.D.答案：A解析：思路：根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解.解答过程：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题“”的否定为.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由，得，此时，故“”是“”的充分条件；反之成立时，可以取，，此时均无意义，故“”不是“”的必要条件.综上，“”是“”的充分不必要条件.4.为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：D解析：思路：根据函数变化判断图像平移的方向和长度.解答过程：已知原函数，为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为，所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度.5.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：正弦定理边角互化，通过两角和差、三角形内角和关系及二倍角公式化简求值解答过程：由正弦定理得，，代入，得，即，所以，即，因为，所以，所以，所以，所以当，即时，6.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出函数奇偶性和单调性，从而得到不等式，求出答案解答过程：的定义域为R，且，所以为偶函数，当时，，恒成立，故在上单调递减，，即，故，两边平方，化简得，解得或，故实数的取值范围是.7.在中，，，为线段上一点，且满足．若的面积为，则的最小值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先设出，根据平面向量共线定理，向量运算法则以及平面向量基本定理求出，从而确定，求得．从中可发现需求得，，再借助的面积求出与的关系，借助基本不等式即可求解．解答过程：因为为线段上一点，设，所以．又因为，即，所以，解得，所以，所以．由，可得，故．因为，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是．8.已知关于的不等式对任意恒成立．则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：分析条件可知的解集为，得到和的关系，不等式等价转化后可得不等式的解集.解答过程：由得，.当时，，，当时，，，当时，，.∵对任意恒成立，∴由得，，∴和是方程的两根，且，∴，故.由得，，化简可得，即，解得或，故不等式的解集为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则答案：ACD解析：解答过程：对于A，若，则．若，则．故，A正确；对于B，若，，满足，则，B错误；对于C，若，则，，C正确；对于D，若，，则，，故，即，D正确．10.已知函数，下列说法正确的是（）A.若是奇函数，则B.若是减函数，则C.所有零点的平方和等于D.当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切答案：ABD解析：思路：对A，根据奇函数的定义，可求的值；对B，利用恒成立，可求满足的条件；对C，分情况求所以零点的平方和，可判断C的真假；对D，只需说明的最大值是正数即可.解答过程：对A，由可得恒成立恒成立，所以.故A正确；对B，因为，若是减函数，则.故B正确；对C，由.当时，方程只有1个零点；当时，方程有两个零点和，此时两零点的平方和为；当时，方程有3个零点，和，，且，，此时所有零点的平方和为.综上C错误；对D，，所以.因为，所以必存在，使，即存在两条互相垂直的直线都与曲线相切.故D正确.11.已知数列的前项和为，若，，则（）A.B.数列为递减数列C.数列的最大项是2，最小项是0D.对任意，答案：ABD解析：思路：根据给定条件，求出判断A；利用二次函数性质及数学归纳法推理得并判断C；利用递减数列定义判断B；求出的范围，再利用累加法推理判断D.解答过程：数列中，，，对于A，，，A正确；对于C，，，数列的最大项是2，用数学归纳法证明：，即当时，不等式成立；假设当时，不等式成立，即，而，则，因此对一切成立，即，C错误；对于B，由选项C知，，则，因此数列为递减数列，B正确；对于D，由选项C知，，由，得，则，由，两边同时除以得，即，当时，上式累加得，解得，而当时，，因此对任意，，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量若，则___________答案：解析：思路：根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.解答过程：，因为，则，则，解得.则，则.故答案为.13.函数与函数公切线的斜率为_______．答案：1或解析：思路：设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率.解答过程：设公切线与函数的图象切点为，与函数的图象切点为，求导得，因此公切线斜率为，即，，显然，于是，整理得，则，即，解得或，所以所求公切线的斜率为或.14.已知数列为等差数列，，存在正整数，使得．若集合有3个元素，则的可能取值有_______个．答案：解析：思路：由题意得为周期数列，集合有个不同元素，得，再分别对取值讨论即可.解答过程：设等差数列的首项为，公差为，则，，由题意，存在正整数，使得，又集合有个不同元素，得，当时，，即，，或（舍），，取，则，此时，对应的取值为、、，取，恰好有个不同值，即集合可取个不同元素；符合条件；当，，即，，取时，，取值为，若，则共个值，符合要求；当，，即，，当时，，当时的取值为，共个值，符合要求；当，，即，，当时，，，此时​，对应的取值为，，，，，此时共个不同的正弦值，符合条件；当时，我们考虑，，，，若它们中有两个正弦值相等，这两个角的终边关于轴对称，设这个角中有对关于轴对称，则不同的正弦值的个数为，但这个角最多能配对，故不同的正弦值的个数大于或等于，因为，故，故，即不同的正弦值的个数大于或等于，不合题意.综上，，，，满足条件，故的可能取值有个.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，，设．（1）求函数的单调递增区间；（2）记的内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量点积的坐标运算公式计算的表达式，利用二倍角公式和辅助角公式将其化简可得，再结合“整体法”求解单调递增区间；（2）将代入，结合是三角形内角的范围，求出角的值；再利用三角形面积公式求出边的长度，之后用余弦定理求出边的长度，进而得到周长.（1），正弦函数的单调递增区间为，令代入得：，即，所以的单调递增区间为.（2）已知，代入的表达式：，因为是三角形内角，即，所以，所以，由，代入已知条件，，可得：，再由余弦定理可得：，得，所以的周长为.16.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上存在极大值，求实数的取值范围．答案：（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）解析：思路：利用导数求出函数的单调性与极值，再利用已知条件求出参数范围.（1）已知函数，因为，所以，即，所以，求导得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）已知函数，所以，因为函数在上存在极大值，所以方程在上有两个不相等的实数根，设，则需要满足，解得且且，综上，实数的取值范围为.17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等差数列中项性质得到与的关系式，结合构造等比数列求解通项；（2）先推导、的表达式，通过等比数列求和公式化简不等式，结合数列单调性求得最小正整数.（1）由，，成等差数列，根据等差数列中项性质得：

，化简得

①，.当时，，解得.当时，

②.①②得：，整理得，即.又，故是首项为，公比为的等比数列.因此，且，即.（2）由（1）得，代入的表达式得：

，由题意，为的第项，故.所以

，由等比数列前项和公式可得：，故.令，设，，则：

，故为递增数列.故，，故满足不等式的最小正整数.18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围；（3）当时，对任意的，满足．证明：．答案：（1）（2）（3）先证：当时，令，则，当时，且，所以．又，故而又因为、．因此对分别应用上式并求和，得，由，得故原不等式成立．解析：思路：（1）先求切点函数值、再求该点导数值作为斜率，最后写出直线方程即可；（2）由判断单调性，再用极大值、极小值的符号确定3个零点的条件；（3）先证明时的单变量不等式，再对各求和．（1）由题意得.，切线斜率为：，切点，斜率，点斜式：，整理切线方程.（2）由，若，则，故只有一个零点，至多有2个零点，不合题意．若，则函数单调递增，也不可能有3个零点．因此只需考虑．此时，且或，则当时，，当时，，当时，，于是在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又时，时，故要有3个零点，需且只需计算得因为，所以，故，又，综上，.（3）略.19.定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”．（1）设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由；（2）当时，若为“整数等差函数”，求的最大值；（3）若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数．若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立．证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．答案：（1）是，理由见解析；（2）；（3）证明：对两边求导.因为不减，对任意有.任取，则，故，即，也为不减函数.充分性：设（常数），则.任取满足，的三点横坐标：，满足等差函数定义，充分性成立.必要性：是等差函数，则存在，，使得①.设，记，，则式①改写为：②，变形：，移项拆分：，即③.构造函数，则③等价于.求导：，因为不减：时，，，，在单调不减；时，，，，在单调不增.，结合单调性可知：在两侧只能恒等于常数.又，故对任意，，即，上式对任意成立，说明为一次函数，设.将代入条件：左边，右边.等式对全体成立，