2026-2027学年山西怀仁市第一中学校高二上学期第一次摸底考试数学试卷（含解析）

/数学第I卷（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的虚部为（）A. B. C. D.2.已知平面向量，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.在中，若，且的面积，则（）A. B. C. D.4.已知非零向量，，满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6.如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（）A. B. C. D.7.已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（）A.2 B.4 C.6 D.88.从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（）A. B. C. D.1二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（）A. B.在复平面内对应的点在第二象限C. D.10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列选项正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则是钝角三角形11.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.平面截正方体所得的截面周长为D.直线与直线所成角余弦值的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，且是实数，则复数______.13.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.14.已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，正四棱台的高为3，且（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的余弦值．16.“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90．（1）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）；（2）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度．17.已知中，.（1）求的长度；（2）设点在延长线上，且满足.求.18.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响.（1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；（2）求甲获胜的概率.19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值.数学第I卷（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，其虚部为.2.已知平面向量，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的投影向量公式可求答案.解答过程：因为，所以，，所以向量在上的投影向量为，故选：D.3.在中，若，且的面积，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用三角形面积公式进行求解.解答过程：由题意得：，的面积，则，所以，.4.已知非零向量，，满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：因为，所以，当时，，所以，即，所以，所以；当时，，所以.所以“”是“”的充分必要条件.5.已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.解答过程：对于A，若，，则，A错误.对于B，若，，则或与相交，B错误.对于C，若，，则，C正确.对于D，若，，则，D错误.6.如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值．解答过程：由点是线段上靠近的三等分点，得，由点是线段上靠近的三等分点，得，所以，由，得，，所以．7.已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：C解析：解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，即圆心角为的扇形，则，即，又，即，由，得，解得，则.8.从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：先列出所有等可能的抽取情况，分别计算每种情况下和，再统计满足的情况数，最后用古典概型公式计算概率.解答过程：从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况：①抽取，则，剩余数为，，此时；②抽取，则，剩余数为，，此时；③抽取，则，剩余数为，，此时；④抽取，则，剩余数为，，此时；在总共种等可能的情况中，满足的情况有种，因此方法提示：直接通过枚举法快速判断的条件，可简化计算.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（）A. B.在复平面内对应的点在第二象限C. D.答案：AD解析：思路：由复数的四则运算得，再依次判断选项即可．解答过程：，对于A项，，则，故A项正确；对于B项，在复平面内对应的点，则点在第四象限，故B项错误；对于C项，，故C项错误；对于D项，，故D项正确．10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列选项正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则是钝角三角形答案：ABD解析：解答过程：对于A，，A正确;对于B，由正弦定理得，B正确;对于C，由正弦定理得，而，因此或，C错误;对于D，由，得为钝角，因此是钝角三角形，D正确.11.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.平面截正方体所得的截面周长为D.直线与直线所成角余弦值的最大值为答案：BCD解析：思路：A易知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，根据正方体的对角线长等于球的直径，求出表面积即可判断；B先根据线面平行的判定定理证明平面，则点到平面的距离即为到平面的距离，从而可得为定值，即可判断；C由B可知平面截正方体所得的截面为四边形，分别求出四条边的长度即可判断；D先将直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，结合线面所成角的性质，即可求出直线与直线所成角的余弦值的最大值.解答过程：A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为，因此三棱锥的外接球的表面积，A错误；B，连接，由且，所以四边形为平行四边形，则，又，则，四边形为平面截正方体所得的截面图形，连接，则由均为所在棱的中点，得，，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离，所以为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确；C，由B可知，平面截正方体所得的截面为四边形，而，，，所以，C正确；D，由B知，则直线与直线所成角即为直线与直线所成角，由异面直线所成角的范围为，若所成角余弦值最大，则直线与直线所成角尽可能小，在正方体中，易知平面，则为与平面所成的角，为，由线面角的性质可知，平面内任意直线与斜线的夹角不小于线面角，所以直线与直线所成角，所以，即直线与直线所成角余弦值的最大值为，D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，且是实数，则复数______.答案：解析：思路：根据题意设，再根据模长公式得到关于的方程，解出即可.解答过程：∵是实数，∴复数的虚部为，设，，∵，∴，∴，∴.故答案为.13.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.答案：解析：思路：由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.解答过程：依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故答案为.14.已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______．答案：解析：思路：根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解.解答过程：由，，则，即，又，又，得.由正弦定理得，所以，故，又，所以，则，得，所以，当且仅当时取等号，又的面积，所以的面积的最大值为.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，正四棱台的高为3，且（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的余弦值．答案：（1）设交于，连接并交于，连接，由正四棱台的性质可知平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解析：思路：（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可.（1）略（2）取OC中点，连接，则，所以四边形为平行四边形，所以，而平面，故平面，所以为与平面所成角，，，，所以，即与平面所成角的余弦值为.16.“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90．（1）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）；（2）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度．答案：（1）32岁（2）94，6，94，6.8，从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定解析：思路：（1）设中位数为a，根据中位数的定义列方程求解即可.（2）求出平均数，再根据方差的定义求方差；比较平均数与方差即可得出结论.（1）设中位数为a，∵第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，又，，．则，，则中位数为32岁．（2）5个年龄组成绩的平均数为，方差．5个职业组成绩的平均数为，方差为．所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．17.已知中，.（1）求的长度；（2）设点在延长线上，且满足.求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据余弦定理解三角形即可；（2）根据同角三角函数关系，求出，再根据余弦定理解三角形，根据正弦定理求出结果即可.（1）由余弦定理，代入已知数据，得故.（2）由，且，所以，由，得.在中，根据余弦定理：，即，得.由正弦定理可知，所以.18.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响.（1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；（2）求甲获胜的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”，记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解；（2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和