2026-2027学年陕西省西安市西航一中高三上学期开学摸底考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.4.若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（）A. B. C. D.5.设有下面四个命题：：若复数z满足，则：若复数z满足，则；：若复数，，满足，则：若复数，则其中的真命题为（）A.， B.， C.， D.，6.已知的展开式中的常数项为20，则（）A.2 B. C.1 D.7.已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称 B.的最小正周期为2C.当时， D.在上单调递减二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知，，满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.10.下列说法正确的是（）A.若随机变量服从正态分布，则B.若随机变量服从二项分布，则C.若事件和相互独立，则D.若事件和互斥，则11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.数列的通项公式为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________.13.已知，，则___________．14.现有n个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值.16.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．17.为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．（1）试求频率分布直方图中的值；（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求函数的值域．（3）若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围19.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和；（3）记，求数列的前n项和．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，解得，则，由，得，解得，则，所以.2.已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先表示出、的坐标，即可求出及，再根据投影向量的定义计算可得.解答过程：因为，所以，，所以，，所以向量在上的投影向量为.故选：A3.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.解答过程：对于A选项，对于函数，由可得，即函数的定义域为，与题中图象不符；对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符；对于C选项，函数的定义域为，，函数为偶函数，与题中图象不符；对于D选项，函数的定义域为，，函数为奇函数，令得，可得，当时，，则，与题中图象相符.4.若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：解析对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误；对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误；对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误；对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D.5.设有下面四个命题：：若复数z满足，则：若复数z满足，则；：若复数，，满足，则：若复数，则其中的真命题为（）A.， B.， C.， D.，答案：C解析：思路：根据复数的分类和复数的性质，逐一分析四个选项所给定命题的真假即可.解答过程：对于命题，设，由，得，则成立，故命题正确；对于命题，设，由；得，则或，复数可能为实数或纯虚数，故命题错误；对于命题，设，，由，得，满足该等式的不一定有且，故不一定有，故命题错误；对于命题，设，则由，得，所以成立，故命题，正确.故选：C.方法提示：本题考查命题及其关系，考查复数的概念和性质，属于基础题.6.已知的展开式中的常数项为20，则（）A.2 B. C.1 D.答案：D解析：思路：利用二项式定理写出通项公式，通过令的指数为0确定的值，结合常数项为20即可求解.解答过程：由题意得，则有，令，即，则常数项为，解得.7.已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据分段函数在上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于右段在分段点处的函数值，列不等式求解的取值范围.解答过程：分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件：当时，二次函数单调递增：该二次函数开口向下，对称轴为，需对称轴位于区间的右侧，即，解得；当时，单调递增：对求导得，需对任意恒成立，即对恒成立，故；分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值：左段在时的函数值为，右段在处的函数值为，故，解得；综上：实数的取值范围是.8.定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称 B.的最小正周期为2C.当时， D.在上单调递减答案：C解析：思路：由已知条件函数的图象关于轴对称，可得关于对称，选项A错误；根据关于对称，可得，令，结合奇函数的性质，再令，可得最小正周期为4，选项B错误；当时，则，可推出，选项C正确；当时，易推出，则在上单调递增，选项D错误.解答过程：因为函数的图象关于轴对称，所以关于对称，选项A错误；由选项A知关于对称，则，令，则，又为奇函数，所以，再令，则，所以的最小正周期为4，选项B错误；当时，，所以，当时，则，则，因此，，选项C正确；当时，，所以，当时，则，则，因此，，根据二次函数性质易知，在上单调递增，选项D错误.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知，，满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项.解答过程：因为，，满足，对于A选项，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，A错；对于B选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，B错；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，D对.故选：CD.10.下列说法正确的是（）A.若随机变量服从正态分布，则B.若随机变量服从二项分布，则C.若事件和相互独立，则D.若事件和互斥，则答案：ABD解析：思路：根据正态分布的性质即可判断选项A，根据二项分布的性质即可判断选项B，根据独立事件，仅能得到，不一定得到，C错误，根据互斥事件的定义即可判断选项D.解答过程：若随机变量服从正态分布，所以，则，A正确；若随机变量服从二项分布，则，B正确；若事件和相互独立，则，且，C错误；若事件和互斥，则，，D正确.故选：ABD11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.数列的通项公式为答案：ABD解析：思路：根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可．解答过程：初始数列：1，4；第一次成长：1，4，4，乘积,；第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：，；故A正确记次“美好成长”后的数列有项，则，即，又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列，故，，所以，故B正确因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积，故；故，则，故C错误，由此，因此数列为等比数列，首项为，公比为3；故，解得，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________.答案：2解析：思路：根据指数幂运算与对数运算法则直接求解即可.解答过程：，故答案为.13.已知，，则___________．答案：解析：解答过程：因为，所以，又，所以，则，由同角三角函数关系可得，，所以.14.现有n个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______.答案：9解析：思路：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.解答过程：设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为，第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：4白，取法数为：，1红3白，取法数为：，2红2白，取法数为：，3红1白：取法数为：，所以第四次取出的是白球的总情形数为：，则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为：，当时，.故．方法提示：思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值.答案：（1）证明：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；（2）取的中点，连接、，则（或其补角）为异面直线与所成角，再由余弦定理计算可得.（1）略（2）取的中点，连接、，则，则（或其补角）为异面直线与所成角，在直三棱柱中，，平面，平面，所以，，在中，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.方法提示：16.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.17.为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．（1）试求频率分布直方图中的值；（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．答案：（1）（2）（3）012，数学期望为.解析：思路：（1）应用频率分布直方图频率和为1计算求参；（2）应用条件概率公式计算求解；（3）先写出对应概率，再得出随机变量的分布列，进而计算数学期望即可.（1）由频率分布直方图可知，，解得．（2）设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A，“该学生是‘运动爱好者’”为事件B，则，，所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为.（3）由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人，