河北保定市2027届高三11月期中考试数学+答案

高三数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.A.{0}B.{0,2}A.-1+iB.-1-iC.1+iA.√2B.5C.A.81B.90C.995.已知x>0,y>0,且x+y+xy=5,则x+y的最小值为()则该圆锥的体积为()A.(-∞,0)(5,+∞)C.[-∞,0][6,+o)D.(-∞,0)U[5,+∞)试卷第1页(共4页)A.2024B.4050C.2025二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.C.f(x)在上的值域为D.f(x)在上单调递减10.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2,则下列正确的是()A.异面直线A₁C与BD互相垂直B.点E,F,G,H分别为棱AB,AA,AD₁,CC₁的中点，则E,F,G,H四点共面D.点P在直线AB上运动，点Q在直线B₁C上运动，则线段PQ长度的最小值为11.九连环是我国古典益智玩具，一根环柄上有9个环，编号依次为1,2,…,9,每个环有两种状态：在环柄上、被卸下.符号约定：o表示环在环柄上；⊗表示环被卸下.初始状态为9个环均在环柄上，即O₁O₂…0g.最终状态时9个环全部卸下，即⊗1⊗z…⊗9.装卸规则：①每次仅可装卸1个环，且装上或者卸下每个环的过程是可逆的；②1号环可自由装卸；③装卸2号环的充要条件：1号环在环柄上；④当k≥3时，装卸第k号环的充要条件：第k-1号环在环柄上，且前k-2个环都被卸下.设a为从初始状态卸下前n个环的最少步数，已知a=1,a₂=2.状态N:⊗1⊗₂⊗₃⊗₄⊗₅⊗₆⊗₇⊗s09.下列说法正确的是()试卷第2页(共4页)B.状态N比状态M更接近全部卸下9个环的目标C.数列{a,}满足递推关系a=a₄-1+2a₄₋2+1(n≥3)D.从状态M出发，全部卸下9个环最少需要256步三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.13.过点P(-1,a)有三条不同直线与曲线y=x³-3x相切，则满足条件的实数a的一个值为_14.若平面四边形ABCD中，AB=1,BC=3,CD=DA=2,则当四边形ABCD的面积最大时，BD= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)=cos4x在区间(0,+∞)上的所有对称中心的横坐标从小到大依次为x,x₂,…,(2)若a=2”·xn,求数列{a}的前n项和Sₙ.16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2)若a=1,M为边AB上一点，且∠ACM=∠BCM,求CM.17.已知函数f(x)=xlnx-x.(2)若方程f(x)=a(a∈R)存在2个不同的实数根x₁,x₂,证明：a+1<|x₁-x₂|<a+e.试卷第3页(共4页)试卷第4页(共4页)(3)在第(2)问的条件下，若△PBC内(不含边界)存在一动点Q,满足QB·QO=QB·CO,求直线QA与19.已知函数y=f(x)的定义域为R.①写出y=f(x),x∈(1,2)②若f(2)=1,讨论函数y=f(x)-c,c∈R在(-3,3)上的零点个数.【详解】集合A={x|x²-2x-8<0}={x|-2<x<4},因为集合B={0,2,4,6},所以A∩B={0,2}.【分析】利用复数除法法则计算出z=-1+i,利用共轭复数的概念求出答案.【详解】故三=-1-i.【详解】向量a=(3,4),b=(4,-3),则a+b=(7,1),所以【详解】由等差数列的性质得a₃+a₇=2a,,所以3a₅=33,得a₅=11.【详解】由x+y+xy=5可得当且仅当x=y=-1+√6时等号成立，故x+y的最小值为-2+2√6.【分析】通过设圆锥的底面半径、母线长、高，结合侧面展开图的性质、侧面积公式求出底面半径和母线长，再由勾股定理求高，最终代入体积公式计算得结果.【详解】设该圆锥的底面半径为r,母线长为1,高为h,由圆锥侧面积公式S=πl=4π,即πu·4r=4π,得到r²=1,解得r=1(半径为正，舍去负解),因此试卷第1页(共14页)【分析】将函数化为分段函数并作出函数图象即可求解.【详解】解不等式x²-6x+5≥0得x≤1或x≥5,所以函因为f(x)在闭区间[t,t+1]上的最大值不小于5,所以由图可知t≤0或者t+1≥6即t≥5.所以实数t的取值范围是(-∞,0)[5,+0).【分析】先推导得f(x)+f(1-x)=2,再利用倒序相加法计算求和结果.【详解】由可将求和式倒序得解得S=2025.试卷第2页(共14页)试卷第3页(共14页)【分析】由最小正周期公式即可计算求解判断A;求出函数f(x)的对称轴方程即可计算求解判断B;由的取值范围结合正弦函数图像性质即可求出相应值域判断C;求出函数f(x)的单调区间即可【详解】函,所以其最小正周期为A正确；所以函数f(x)的对称轴方程为,keZ,,k∈Z=k=1eZ,所以f(x)的图象关于直线对称，B正确；即函数f(x)在上的值域为,C错误；所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,,单调递减区间为,k∈Z,【分析】根据A₁C·BD=0可判断A;求得EH=-3EF+2EG,结合向量的共面定理，可判断B;由三棱锥结合球的体积公式，可判断C;结合异面直线的距离公式，求得异面直线间的距离，可判断D.【详解】以A为坐标原点，以AB,AD,AA所在的直线分别为x,y,Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，且正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,所以AC·BD=2×(-2)+2×2+(-2)所以AC⊥BD,所以异面直线AC与BD互相垂直，所以A正确；试卷第4页(共14页)对于B,因为E,F,G,H分别为棱AB,AA,A₁D,CC₁的中点，可得E(1,0,0),F(0,0,1),G(0,1,2),H(2,2,1),对于C,由三棱锥A-ABD的三条侧棱两两垂直，可得三棱锥A₁-ABD的外接球即为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，所以三棱锥A-ABD的外接球的体积,所以C错误；可得AB=(2,0,-2),B₁C=(0,2,-2),A₁B₁=(2,0,0),设向量n=(a,b,c),其满足n⊥AB且n⊥B₁C,根据异面直线间的距离公式，可所以线段PQ长度的最小值为.,所以D正确.试卷第5页(共14页)【分析】本题核心是建立递推关系.卸下第n号环的条件是第n-1号在柄上且前n-2个卸下，因此要卸第n号，必须先卸前n-2个，再卸第n号，最后把第n-1号也卸下来.由此得到递推关系aₙ=a-1+2a₄₋2+1.状态M为前7个环卸下、第8和9号环在环柄上，状态N为前8个环卸下、第9号环在环柄上，直接比较即可.【详解】要卸下第n号，先卸前n-2个(aₙ-2步),卸下第n号(1步),此时第n-1号仍在柄上，需先装上前n-2个再卸下第n-1号，即2aₙ-2+1步.故a=aₙ-1+2a-2+1,C逐项计算：a=1,a₂=2,a₃=2+2×1+1=5,a₄=5+2×2+1=10,A正确.继续递推：a₅=10+2×5+1=21,a₆=21+2×10+1=42,a=42+2×21+1=85,a₃=85+2×42+1=170.B项：卸下第9号环需第8号环在环柄上且前7个环全部卸下，状态M满足该条件可直接卸下第9号环，状态N需先装回第8号环才能卸下第9号环，因此状态M比状态N更接近目标，B错误.D项：状态M为前7个环卸下、第8、9号在柄上.此时第8号在柄上且前7个卸下，恰好满足卸第9号的条件，故可直接卸下第9号(1步).卸完后状态变为前7个卸下、第8号在柄，再卸下前8个环即为a=170步.总步数为1+170=171,不是256,D错误.【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案.【详解】由对数函数的单调性可得当x²-4x+6取得最小值时，函数取得最大值，故答案为：-1【分析】设f(x)=x³-3x,切线切点为(xo,x³-3x),将问题转化为方程a=3-3x²-2x³有三个根，然后通过研究g(x)=3-3x²-2x³单调性，极值可得答案.【详解】设f(x)=x³-3x,切线切点为(x₀代入(-1,a),可得a=3-3x?-2x³,为使过点(-1,a)的切线有三条，则方程a=3-3x²-2x有三个根，令g(x)=3-3x²-2x³,试卷第6页(共14页)则g(x)在x=-1时取极小值，在x=0时取极大值，为使方程a=3-3x²-2x有三个根，则V=a与g(x)图象有三个交点，从而g(-1)<a<g(0)→2<a<3.【分析】利用余弦定理，表示BD长度，可得角A与角C的关系，再借助三角形的面积公式，利用角A与角C表示四边形ABCD面积为S,借助三角恒等变换可得何时S最大，从而可求对应的BD.【详解】若四边形ABCD的面积最大，则A,C必定在BD两侧.BD²=AB²+AD²-2AB·ADcosA=5-4cosA,CBD²=BC²+CD²-2BC·CDcosC=13所以3cosC-cosA=2,设凸四边形ABCD面积为S,所以S²+2²=(sinA+3sinc)²+(3cosC-cosA)²=10+6sinAsinC-6cosAcosC=10-6cos(A+C)≤16,【分析】(1)利用余弦函数对称中心的性质，结合x>0从小到大取值，即可推导出数列{x}的通项公式；(2)先写出a,判断是等差等比相乘型数列，利用错位相减法即可求和.试卷第7页(共14页)【详解】(1)令解得：,k∈Z,因为x>0且横坐标从小到大排列，(2)由题意,则当时，则,此时△ABC是直角三角形；综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形.【分析】(1)对已知条件化简，得sin2A=sin2B,可知A=B或(2)当△ABC为等腰三角形时，利用三线合一的性质，可知CM⊥AB,用勾股定理可求得CM的长；当△ABC为直角三角形时，则通过两种方法表示三角形面积，列方程求解.【详解】(1)略.(2)根据题意，画出如下草图，所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,且f(e)=elne-e=0.若a=-1,则只有x=1一个实数根于是a=f(x₁)=xInx₁-x₁<-x,所以a+1<设h(x)=f(x)-(x-e)=xlnx-2x+e,x试卷第9页(共14页)所以h(x)在x=e处取得最小值h(e)=e-2e+e=0,即h(x)≥0.所以f'(e)=Ine=1,所以切线的斜率为1.(2)略.又因为AO∩PO=0,AOc平面APO,POc平面APO,所以BC⊥平面APO,因为APc平面APO,试卷第10页(共14页)【分析】(1)三线合一得到线线垂直，由三角形全等得到PO与BC位置关系，即可得到线面垂直，由线面(2)由(1)计算出PO,并证明得到PO与平面ABC的位置关系，然后由二面角的平面角的定义得到角，由边长求得二面角的正弦值.(3)由(2)建立空间直角坐标系，设Q点坐标，由等式求得Q点坐标的关系，由条件求得Q点坐标中z的取值范围，然后由空间向量的数量积求得线面角的正弦值，然后求得线面角的正切值的取值范围.【详解】(1)略(2)由(1)可知PO⊥BC,所以,所以PO=√