第一章 空间向量与立体几何 空间向量的共线和共面问题（题型专练）（原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何空间向量的共线和共面问题（7种题型专练）题型01由空间向量共线求参数值1.核心逻辑

（1）两向量共线，将等式两侧统一为同一组基底向量，同类基底系数对应相等，列方程求解参数。2.解题步骤

（1）根据共线条件写出等式；

（2）将等式左右全部拆分、整理成相同基底的线性组合；

（3）等式两边相同基底的系数一一对应相等，列出含参数的方程；

（4）解方程求出参数后代回原式，验证等式成立。3.易错提醒

向量移项、拆分基底时符号出错，导致系数等式列写错误。【例3】（2026高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______．【变式1-1】（2026高二·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________．【变式1-2】（2026高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A． B．1 C．2 D．3【变式1-3】（2026高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（

）A． B．1 C．3 D．或3题型02证明三点共线1.核心逻辑

（1）设三点，满足以下任意一个条件，即可证三点共线：

①存在实数，使得；

②对空间任意一点，；

③对空间任意一点，，且。2.解题步骤

（1）以三点中同一点为起点，构造两个向量（如）；

（2）通过向量线性运算化简，证明一个向量是另一个向量的实数倍；

（3）补充关键依据：两个平行向量拥有公共点；

（4）下结论：向量平行且有公共点，故三点共线。3.易错提醒

只证明向量平行，缺少“有公共点”这一条件，推导逻辑不完整。【例2】（2026高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．【变式2-1】（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.【变式2-2】（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.(1)用表示.(2)求证：E，F，B三点共线.【变式2-3】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．

题型03判断空间向量共线1.核心逻辑

（1）若非零向量，存在唯一实数，满足，则与共线（平行）；零向量与任意向量共线。2.解题步骤

（1）对题目给出的复杂向量式，利用向量加减、数乘化简；

（2）尝试变形，看能否将其中一个向量整理成另一个向量的实数倍数形式；

（3）若能找到常数，则两向量共线；无法整理出倍数关系，则不共线；

（4）若出现零向量，可直接判定两向量共线。3.易错提醒

（1）仅局部成倍数，不能整体写成，不能判定共线；

（2）忽略前提条件，直接套用共线公式。【例1】（2026高二·浙江金华·期中）在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（

）A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对【变式3-3】【多选】（2026高二·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（

）A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上▌题型04空间共线向量定理的推论及其应用1.核心逻辑

（1）推论：直线上任意一点，向量满足；

（2）特殊结论（中点）：若是中点，则；

（3）常用于线段分点、动点向量表示、比例转化类题目。2.解题步骤

（1）取直线上两点，确定基底向量；

（2）设直线上动点，用参数写出表达式；

（3）结合题目给出的线段比例（中点、三等分点等）求出参数；

（4）化简式子，得到目标向量关系式。3.易错提醒

中点向量公式遗忘系数，直接写成。【例4】（2026高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【变式4-1】（2026高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，，，则________.【变式4-2】（2026高二·甘肃武威·课后作业）已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有，则λ＝________.【变式4-3】（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．▌题型05空间向量共面的判断1.核心逻辑

（1）三个向量共面的充要条件：存在实数，使得；

（2）几何判定：三个向量全部平行于同一个平面，则三向量共面。2.解题步骤

（1）假设线性关系式；

（2）利用向量加减、数乘化简题干式子，统一为同一组基底；

（3）判断是否存在实数能让等式恒成立；

（4）存在实数解则三向量共面，无实数解则不共面。3.易错提醒

（1）混淆“三个向量共面”和“向量所在直线共面”；忽略零向量特殊情况。【例5】【多选】（2026高二·广东深圳·阶段检测）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（

）A．存在唯一一组实数、，使得 B．C．不存在实数、，使得 D．【变式5-1】（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2026高二·全国·专题练习）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（

）A．与一定共线 B．与一定共面C．，，一定共面 D．与一定共线▌题型06空间向量共面求参数1.核心逻辑

（1）三向量共面存在实数解，对比基底系数建立方程组，求解未知参数。2.解题步骤

（1）根据共面条件设线性等式；

（2）将等式左右两侧全部拆分为同一组基底向量；

（3）左右相同基底的系数对应相等，得到方程组；

（4）消去，解出题目参数，代回验证方程组有解。3.易错提醒

求出参数后不检验方程组是否存在实数解，直接写答案。【例6】（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________.【变式6-1】（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．【变式6-2】（2026高一·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（

）A． B． C．9 D．4▌题型07空间共面向量定理的推论及其应用1.核心逻辑

（1）四点共面，满足任意一条即可证明：

①；

②任取空间一点，；

③任取空间一点，，且；

④存在一组向量互相共线（如）。2.解题步骤

（1）在四个点中选取公共起点，构造平面内两个基底向量；

（2）通过向量运算，将第四个点对应的向量写成前两个向量的线性组合；

（3）若选用含空间定点的形式，必须验证三个系数相加等于1；

（4）书写结论：四点满足共面向量推论，故四点共面。3.易错提醒

使用证明时，忘记验证。【例7】【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点共面的条件是（

）A． B．C． D．【变式7-1】【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（

）A． B．C． D．【变式7-2】（20