第10讲 对数与对数函数 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第10讲对数与对数函数内内容导航知识点1对数与对数运算知识点2对数函数的图象及其性质知识点3对数与对数运算知识点4对数函数的图象知识点5解对数方程及不等式知识点6对数函数性质的综合应用题型1指数式与对数式的互化题型2对数运算求值题型3对数方程求解题型4换底公式的应用题型5对数函数的定义题型6求对数函数的定义域题型7求对数函数的值域题型8对数函数图象特征与底数的关系题型9对数函数及对数型复合函数的图象题型10求对数函数及对数型复合函数的单调性题型11求对数函数及对数型复合函数的最值题型12对数值大小的比较题型13指数函数与对数函数的关系题型14反函数题型15对数函数图象与性质的综合应用知知识点通关知识点1对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数式与指数式的互化：.（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.2．对数的性质（1）1的对数等于0，即；（2）底数的对数等于1，即；（3）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；知识点2对数函数的图象及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：底数图象性质定义域值域定点函数图象恒过点，即时，.函数值的正负当时，；当时，当时，；当时，单调性在上为增函数在上为减函数对称性函数与的图象关于轴对称.必记结论底数对对数函数函数图象的影响(1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”当时，对数函数的图象“上升”；当时，对数函数的图象“下降”.(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.=1\*GB3①上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴；=2\*GB3②左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.3．对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.思维拓展拓展1与对数函数有关的函数定义域(1)对数函数的定义域为(2)形如的函数，定义域由来确定.(3)形如的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.拓展2与对数函数有关的函数值域(1)对数函数的值域利用函数的单调性求解.(2)求形如的复合函数的值域，先求的值域，然后结合函数的性质确定函数的值域.(3)求形如的复合函数的值域，其中复合函数一般是关于的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.拓展3与对数函数有关的函数单调性对数型复合函数一般分为两类：型和型.(1)对于型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令，则只需研究及的单调性即可.(2)对于型复合函数的单调性，首先由确定函数的定义域，然后判断在定义域上的单调性，然后结合底数或再来确定的单调性，其核心是同增异减.拓展4与对数函数有关的函数奇偶性由于对数函数的定义域为，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如：(1)函数和函数均为奇函数.(2)函数是奇函数.(3)函数是偶函数.知识点3对数与对数运算方法技巧对数的性质与运算性质（1）对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．（2）对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点4对数函数的图象方法技巧对数函数图象的识别及应用方法（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．知识点5解对数方程及不等式方法技巧解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax＞logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论logax＞b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解知识点6对数函数性质的综合应用方法技巧对数函数性质的综合应用求解策略1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．2.对称性：若，则图象关于直线对称；若，则图象关于点对称．考考点演练题型1指数式与对数式的互化【典例1】设4a＝3b＝36，则1aA．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【变式1】已知2a＝3b＝18，则1aA．2 B．12 C．1 D．log18题型2对数运算求值【典例1】若a，b是方程（lnx）2+lnx5﹣1＝0的两个根，则logab+logba＝（）A．23 B．27 C．﹣27 D．﹣23【变式1】已知函数f(x)=log3(x−1)，x＞1，3x，x≤1，A．﹣1 B．0 C．log32 D．2题型3对数方程求解【典例1】2a＝48，2b=23，则a+b＝【变式1】甲、乙两人同时解关于x的方程：log2x+b+clogx2＝0．甲写错了常数b，得两根14及18；乙写错了常数c，得两根12及64，则这个方程的真正的根为题型4换底公式的应用【典例1】已知lg2＝a，lg3＝b，则log65＝．（结果用a，b表示）【变式1】（1）证明对数换底公式：logbN=logaNlogab（其中a（2）已知log32＝m，试用m表示log3218．题型5对数函数的定义【典例1】使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围为（）A．a＞12且a≠1 B．0＜a＜12 C．a＞0且a≠1【变式1】已知函数f(x)=loga[(a2+23a)x]是对数函数，则a题型6求对数函数的定义域【典例1】已知集合A={x|x−3x+2＞0}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}，则∁B（AA．[﹣2，3] B．（4，+∞） C．（﹣∞，3] D．[﹣2，3]∪[4，+∞）【变式1】函数f（x）＝ln（2x2﹣4x）+（x+2）0的定义域是（）A．{x|x＞2或﹣2＜x＜0} B．{x|x≥2或x≤0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜﹣2或﹣2＜x＜0或x＞2}题型7求对数函数的值域【典例1】已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{y|y＝ln（x2+1）}，则M∩N＝（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，0] C．[0，4） D．（﹣∞，4）【变式1】函数f(x)=(log2x−2)(logA．(0，18) B．[−1题型8对数函数图象特征与底数的关系【典例1】已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1；命题q：∃x＞0，2x＝log0.5x，则（）A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题【变式1】在同一直角坐标系中，函数y=logA． B． C． D．题型9对数函数及对数型复合函数的图象【典例1】若实数x，y，z满足2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能是（）A．x＝y＝z B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．z＞x＞y【变式1】已知函数f（x）＝|log2（ax+b）|，（a+b＞1）的图象过点（1，1），且无限接近直线x＝3，但又不与该直线相交，则a﹣b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣4或﹣1 D．﹣1题型10求对数函数及对数型复合函数的单调性【典例1】函数f(x)=logA．(−∞，−12) B．(−2，−12)【变式1】已知f（x）＝|lgx|，若a＝f（14），b＝f（13），c＝A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a题型11求对数函数及对数型复合函数的最值【典例1】已知函数f(x)=log3ax（a＞0且A．2 B．3 C．13 D．【变式1】设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝﹣2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，3题型12对数值大小的比较【典例1】下列选项正确的是（）A．logB．logC．logD．lo【变式1】已知a＝20.2，f(x)=sinxx，c＝logA．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a题型13指数函数与对数函数的关系【典例1】已知m＞1，直线y＝m与函数y=log12x、y=(12)x、y=x12的图象分别交于三点A、B、CA．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【变式1】已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（）A．x1+x2＝2 B．exC．x1lnx2+x2lnx1＞0 D．x题型14反函数【典例1】如果函数y＝f（x﹣1）的反函数是y＝f﹣1（x﹣1），则下列等式中一定成立的是（）A．f（x）＝f（x﹣1） B．f（x）﹣f（x﹣1）＝﹣1 C．f（x）﹣f（x﹣1）＝1 D．f（x）＝﹣f（x﹣1）【变式1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+3），当x∈[4，6]时，f（x）＝2x+1，若f﹣1（x）是函数f（x）在区间[﹣2，0]上的反函数，则f﹣1（19）的值为（）A．log215 B．3﹣2log23 C．5+log23 D．﹣1﹣2log23题型15对数函数图象与性质的综合应用【典例1】已知函数f（x）=2xx≤1f(x−1)x＞1，则A．3 B．32 C．1 【变式1】如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log22x，y=x12，y＝（22A．（12，14） B．（13，14） C．（12，13）过过关验收1．已知实数x，y满足3x＝4，4y＝9，则下列结论错误的是（）A．x2y2＝3x B．x＜y C．1x+1y＞2 2．若ea＝2，eb＝50，则（）A．a+b＝100 B．b﹣a＝25 C．ab＝2ln5 D．b3．已知3m＝2n＝k，且1n+3m=1，则k4．已知a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．若a﹣b＝1，则a3﹣b3＜1 B．若a﹣b＝1，则3aC．若ea﹣eb＝1，则a﹣b＜1 D．若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＞15．已知1x+1y=2，记z＝2xA．1100 B．12 C．106．已知实数a＞1，b＞1，若logab＝2，log2ba=A．14 B．13 C．17．方程log2（x+1）﹣log4（x+4）＝1的解为．8．已知函数f（x）＝a+log2（x+1）（a为常数）过点（3，1）．（1）求实数a的值及函数的定义域；（2）解关于x的方程f(x)+1=log9．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．a10．a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b+ma+m＞ba（a＞b＞0，m＞0）．若x1＝log32，x2＝log1510，A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x111．若函数y=logax+a2−3a+2为对数函数，则12．求下列方程的解集：（1）log（2）2x+2|x﹣1|＝6．13．已知f（3ˣ﹣2）＝x．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x），求g（x）的定义域．14．已知集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣3）}，则A∩B＝（）A．[3，4] B．（3，4] C．[2，+∞） D．[2，3）15．函数f(x)=2x−1A．[12，3) C．（1，3） D．[16．函数f(x)=1A．（﹣∞，1）∪（1，2） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）17．函数f(x)=−A．[﹣3，3] B．0，3] C．[﹣3，1）∪（1，3] D．（1，2）∪（2，3]18．给定集合P＝{a|a＝log3x，x≥2}，集合Q＝{b|b＝lnx，x≥2}，集合M={c|c=(A．P⊆Q B．Q⊆P C．M⊆Q D．Q⊆M19．已知函数f(x)=(a−1)x+5−3a，x＜2，log2x，x≥2A．（2，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[2，+∞）20．已知函数f（x）＝log2（x+2）﹣2．（1）若f（x）＞0，求x的取值范围．（2）若x∈（﹣1，6]，求f（x）的值域．21．函数y=log12x(x∈[116，2])（1）求A；（2）若B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）的图象和函数y=−log3x的图像关于y（1）求f（x）；（2）若g（x）＝（m+1）•f（x）+3|x|﹣2m（x≤0）时最小值为﹣1，求m值．23．已知a∈R，函数f（x）＝log2（x+a）．（1）当a＝5时，解不等式f（x）＜1；（2）当a＝1时，求函数y=f(x)+f(124．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（）A．logB．logC．logD．lo25．已知方程ex+x﹣6＝0和lnx+x﹣6＝0的根分别是x1，x2，则exA．2 B．4 C．12 D．626．已知函数f(x)=ln|4A．f（x）是奇函数 B．f（1﹣x）＝f（1+x） C．f（x）在（﹣1，1）上单调递减 D．若m≠n，f（m）＝f（n），则69m27．已知函数f（x）＝logax−2x+2（1）判断函数奇偶性，并说明理由；（2）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）若函数的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．求a的取值范围．第10讲对数与对数函数内内容导航知识点1对数与对数运算知识点2对数函数的图象及其性质知识点3对数与对数运算知识点4对数函数的图象知识点5解对数方程及不等式知识点6对数函数性质的综合应用题型1指数式与对数式的互化题型2对数运算求值题型3对数方程求解题型4换底公式的应用题型5对数函数的定义题型6求对数函数的定义域题型7求对数函数的值域题型8对数函数图象特征与底数的关系题型9对数函数及对数型复合函数的图象题型10求对数函数及对数型复合函数的单调性题型11求对数函数及对数型复合函数的最值题型12对数值大小的比较题型13指数函数与对数函数的关系题型14反函数题型15对数函数图象与性质的综合应用知知识点通关知识点1对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数式与指数式的互化：.（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.2．对数的性质（1）1的对数等于0，即；（2）底数的对数等于1，即；（3）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；知识点2对数函数的图象及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：底数图象性质定义域值域定点函数图象恒过点，即时，.函数值的正负当时，；当时，当时，；当时，单调性在上为增函数在上为减函数对称性函数与的图象关于轴对称.必记结论底数对对数函数函数图象的影响(1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”当时，对数函数的图象“上升”；当时，对数函数的图象“下降”.(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.=1\*GB3①上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴；=2\*GB3②左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.3．对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.思维拓展拓展1与对数函数有关的函数定义域(1)对数函数的定义域为(2)形如的函数，定义域由来确定.(3)形如的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.拓展2与对数函数有关的函数值域(1)对数函数的值域利用函数的单调性求解.(2)求形如的复合函数的值域，先求的值域，然后结合函数的性质确定函数的值域.(3)求形如的复合函数的值域，其中复合函数一般是关于的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.拓展3与对数函数有关的函数单调性对数型复合函数一般分为两类：型和型.(1)对于型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令，则只需研究及的单调性即可.(2)对于型复合函数的单调性，首先由确定函数的定义域，然后判断在定义域上的单调性，然后结合底数或再来确定的单调性，其核心是同增异减.拓展4与对数函数有关的函数奇偶性由于对数函数的定义域为，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如：(1)函数和函数均为奇函数.(2)函数是奇函数.(3)函数是偶函数.知识点3对数与对数运算方法技巧对数的性质与运算性质（1）对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．（2）对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点4对数函数的图象方法技巧对数函数图象的识别及应用方法（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．知识点5解对数方程及不等式方法技巧解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax＞logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论logax＞b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解知识点6对数函数性质的综合应用方法技巧对数函数性质的综合应用求解策略1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．2.对称性：若，则图象关于直线对称；若，则图象关于点对称．考考点演练题型1指数式与对数式的互化【典例1】设4a＝3b＝36，则1aA．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵4a＝3b＝36，∴a＝log436，b＝log336，∴1a=log364，1b∴1a+2b=log36故选：B．【变式1】已知2a＝3b＝18，则1aA．2 B．12 C．1 D．log18【答案】C【解答】解：已知2a＝3b＝18，则a＝log218，b＝log318，所以1a＝log18（2×9）＝log1818＝1．故选：C．题型2对数运算求值【典例1】若a，b是方程（lnx）2+lnx5﹣1＝0的两个根，则logab+logba＝（）A．23 B．27 C．﹣27 D．﹣23【答案】C【解答】解：（lnx）2+lnx5﹣1＝（lnx）2+5lnx﹣1＝0，所以lna，lnb是方程t2+5t﹣1＝0的两根，则lna+lnb＝﹣5，lnalnb＝﹣1，则log故选：C．【变式1】已知函数f(x)=log3(x−1)，x＞1，3x，x≤1，A．﹣1 B．0 C．log32 D．2【答案】B【解答】解：由题意函数f(x)=因为0＜log32＜1，所以f(log所以f（f（log32））＝f（2）＝log3（2﹣1）＝log31＝0．故选：B．题型3对数方程求解【典例1】2a＝48，2b=23，则a+b＝【答案】5．【解答】解：因为2a＝48，2b=2所以a＝log248，b=log所以a+b=log248+log2故答案为：5．【变式1】甲、乙两人同时解关于x的方程：log2x+b+clogx2＝0．甲写错了常数b，得两根14及18；乙写错了常数c，得两根12及64，则这个方程的真正的根为【答案】4或8．【解答】解：由对数的换底公式可得log2整理可得，（log2x）2+blog2x+c＝0，令t＝log2x，则t2+bt+c＝0，甲写错了常数b，t1=log214=−2t乙写错了常数c，t1=log212=−1，t2代入可得t2﹣5t+6＝0，∴t1＝2t2＝3，∴x1＝4，x2＝8．这个方程的真正的根为4或8．题型4换底公式的应用【典例1】已知lg2＝a，lg3＝b，则log65＝．（结果用a，b表示）【答案】1−aa+b【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log65=lg5故答案为：1−aa+b【变式1】（1）证明对数换底公式：logbN=logaNlogab（其中a（2）已知log32＝m，试用m表示log3218．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：设logbN＝x，写成指数式bx＝N．两边取以a为底的对数，得xlogab＝logaN．因为b＞0，b≠1，logab≠0，因此上式两边可除以logab，得x=log所以，log（2）因为log32＝m，因此log题型5对数函数的定义【典例1】使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围为（）A．a＞12且a≠1 B．0＜a＜12 C．a＞0且a≠1【答案】B【解答】解：要使对数有意义，则−2a+1＞0a＞0解得0＜a＜1故选：B．【变式1】已知函数f(x)=loga[(a2+23a)x]是对数函数，则a【答案】4−23【解答】解：因为f(x)=loga[(a2+23解得a=−2∵a＞0，且a≠1，∴a=2−3∴f（x）＝logax，故f（2）＝loga2，∴a1+f(2)故答案为：4−23题型6求对数函数的定义域【典例1】已知集合A={x|x−3x+2＞0}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}，则∁B（AA．[﹣2，3] B．（4，+∞） C．（﹣∞，3] D．[﹣2，3]∪[4，+∞）【答案】A【解答】解：因为集合A={x|x−3x+2＞0}={x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}＝{x故A∩B＝{x|3＜x＜4或x＜﹣2}，所以∁B（A∩B）＝{x|﹣2≤x≤3}．故选：A．【变式1】函数f（x）＝ln（2x2﹣4x）+（x+2）0的定义域是（）A．{x|x＞2或﹣2＜x＜0} B．{x|x≥2或x≤0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜﹣2或﹣2＜x＜0或x＞2}【答案】D【解答】解：由题可得：2x2−4x＞0x+2≠0，解得{x|x＜﹣2或﹣2＜所以f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或﹣2＜x＜0或x＞2}．故选：D．题型7求对数函数的值域【典例1】已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{y|y＝ln（x2+1）}，则M∩N＝（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，0] C．[0，4） D．（﹣∞，4）【答案】C【解答】解：集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4），N＝{y|y＝ln（x2+1）}＝{y|y≥0}＝[0，+∞），则M∩N＝[0，4）．故选：C．【变式1】函数f(x)=(log2x−2)(logA．(0，18) B．[−1【答案】B【解答】解：f(x)=(log2x−2)(log令t＝log2x∈[1，2]，则f(x)=g(t)=1又g（t）的图象开口向上且对称轴为t=32，且g（1）＝g（2）＝0为最大值，当t=3所以f(x)=g(t)∈[−1故选：B．题型8对数函数图象特征与底数的关系【典例1】已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1；命题q：∃x＞0，2x＝log0.5x，则（）A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题【答案】B【解答】解：当x＝0时，|x+1|＞1不成立，p是假命题，￢p是真命题；函数y＝2x与y＝log0.5x在（0，+∞）上有一个交点，则∃x＞0，2x＝log0.5x，即命题q是真命题，￢q是假命题．故选：B．【变式1】在同一直角坐标系中，函数y=logA． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为0＜a＜1，所以1a所以对数函数y＝logax在（0，+∞）上单调递减，指数函数y＝a﹣x=(1a由图可知选项D符合题意．故选：D．题型9对数函数及对数型复合函数的图象【典例1】若实数x，y，z满足2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能是（）A．x＝y＝z B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．z＞x＞y【答案】D【解答】解：令2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5＝t，得x＝log2（t+2），y＝log3（t+3），z＝log5（t+5），t＞﹣2，在同一坐标系内作出函数f（t）＝log2（t+2），g（t）＝log3（t+3），h（t）＝log5（t+5）的图象，则x，y，z分别是函数y′＝f（t），y′＝g（t），y′＝h（t），t＞﹣2的图象与直线t＝a（a＞﹣2）交点的纵坐标，观察图象得，当a＝0时，x＝y＝z；当a＞0时，x＞y＞z，当﹣2＜a＜0时，z＞y＞x，因此ABC都可能，D不可能．故选：D．【变式1】已知函数f（x）＝|log2（ax+b）|，（a+b＞1）的图象过点（1，1），且无限接近直线x＝3，但又不与该直线相交，则a﹣b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣4或﹣1 D．﹣1【答案】A【解答】解：由题知，函数f（x）＝|log2（ax+b）|，（a+b＞1）的图象过点（1，1），所以f（1）＝|log2（a+b）|＝1，又a+b＞1，则log2（a+b）＝1，解得a+b＝2，由对数函数性质，f（x）无限接近x＝3，则x→3时，ax+b→0，即3a+b＝0，故a+b=23a+b=0，解得a=−1b=3，则a﹣故选：A．题型10求对数函数及对数型复合函数的单调性【典例1】函数f(x)=logA．(−∞，−12) B．(−2，−12)【答案】D【解答】解：由题意可得，﹣x2+x+2＞0，解得﹣1＜x＜2，则t＝﹣x2+x+2在（﹣1，12f（x）的单调递减区间为（﹣1，12故选：D．【变式1】已知f（x）＝|lgx|，若a＝f（14），b＝f（13），c＝A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】D【解答】解：依题意，f（x）＝|lgx|=lgx，x＞1所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（2）＝f（12所以f（14）＞f（13）＞f（12所以c＜b＜a，故选：D．题型11求对数函数及对数型复合函数的最值【典例1】已知函数f(x)=log3ax（a＞0且A．2 B．3 C．13 D．【答案】BD【解答】解：f(x)=log当0＜a＜1时，log3a＜0，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，则f（﹣1）＝﹣log3a＝2，解得a=1当a＞1时，log3a＞0，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，则f（2）＝2log3a＝2，解得a＝3．故选：BD．【变式1】设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝﹣2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，3【答案】（1）a的值为12【解答】解（1）由题可得：1+x＞03−x＞0，得﹣1＜x由f（1）＝﹣2，得f（1）＝loga2+loga2＝﹣2，解得a=1所以a的值为12，函数y＝f（x（2）由（1）得，f(x)=log令t＝﹣x2+2x+3，由x∈[0，32]，得t＝﹣（x﹣1）2则原函数为y=log12t，t∈[3，4]，由于该函数y=lo所以ymin=log124=−2，因此，函数y＝题型12对数值大小的比较【典例1】下列选项正确的是（）A．logB．logC．logD．lo【答案】D【解答】解：eln2＝2；log35，因31＜5＜31.5（31.5=33log23，因21.5=22323=91综上得log故选：D．【变式1】已知a＝20.2，f(x)=sinxx，c＝logA．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】D【解答】解：a＝20.2＞20＝1，0＜b＝0.22＝0.04＜1，c＝log0.22＜log0.21＝0，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．题型13指数函数与对数函数的关系【典例1】已知m＞1，直线y＝m与函数y=log12x、y=(12)x、y=x12的图象分别交于三点A、B、CA．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【答案】D【解答】解：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=m，y=log由图可知，b＜a＜c．故选：D．【变式1】已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（）A．x1+x2＝2 B．exC．x1lnx2+x2lnx1＞0 D．x【答案】C【解答】解：画出直线y＝﹣x+2与函数y＝ex和y＝lnx的图象，如图所示：因为y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称；直线y＝﹣x+2的图象也关于y＝x对称，所以交点A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝x对称；所以x1＝y2，x2＝y1，又A（x1，y1）在直线y＝﹣x+2上，所以x1+y1＝2，即x1+x2＝2，选项A正确；因为ex1+ex2＞2e由y=−x+2y=ex，得ex+x﹣2＝0，设f（x）＝ex+x﹣2，则f因为f（0）＝﹣1，f（12）=e−32＞0，所以f（x）的零点在（0，由x1+x2＝2得，1＜x2＜2，x1lnx2+x2lnx1＝x1lnx2﹣x2ln1x1＜x1lnx2﹣x2lnx2＝（x1﹣x2）lnx2设g（x）＝2﹣x﹣lnx，则g（1）＝1＞0，g（e）＝2−e−12＜又因为x1x2＝x2lnx2，函数y＝xlnx在（1，e）上单调递增，所以x1x2＝x2lnx2＜elne=e故选：C．题型14反函数【典例1】如果函数y＝f（x﹣1）的反函数是y＝f﹣1（x﹣1），则下列等式中一定成立的是（）A．f（x）＝f（x﹣1） B．f（x）﹣f（x﹣1）＝﹣1 C．f（x）﹣f（x﹣1）＝1 D．f（x）＝﹣f（x﹣1）【答案】B【解答】解：由y＝f﹣1（x﹣1）得：x﹣1＝f（y），x＝1+f（y），将x，y互换后得y＝f﹣1（x﹣1）的反函数为：y＝1+f（x），又∵函数y＝f（x﹣1）的反函数是y＝f﹣1（x﹣1），∴f（x﹣1）＝1+f（x），即：f（x）﹣f（x﹣1）＝﹣1故选：B．【变式1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+3），当x∈[4，6]时，f（x）＝2x+1，若f﹣1（x）是函数f（x）在区间[﹣2，0]上的反函数，则f﹣1（19）的值为（）A．log215 B．3﹣2log23 C．5+log23 D．﹣1﹣2log23【答案】B【解答】解：由f（x﹣1）＝f（x+3）得f（x）＝f（x+4），所以函数周期为T＝4，所以x∈[0，2]时，x+4∈[4，6]，所以f（x）＝f（x+4）＝2x+4+1，又函数f（x）为偶函数，所以x∈[﹣2，0]时﹣x∈[0，2]，则f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x+4+1，令f（x）＝2﹣x+4+1＝19，解得x＝4﹣log218＝3﹣2log23，从而f﹣1（19）＝3﹣2log23故选：B．题型15对数函数图象与性质的综合应用【典例1】已知函数f（x）=2xx≤1f(x−1)x＞1，则A．3 B．32 C．1 【答案】B【解答】解：∵2＝log24＞log23＞log22＝1∴f（log23）＝f（log23﹣1）而log23﹣1＜1∴f（log23）＝f（log23﹣1）=2log故选：B．【变式1】如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log22x，y=x12，y＝（22A．（12，14） B．（13，14） C．（12，13）【答案】A【解答】解：由题意得，A，B，C分别在函数y=log22x，y=x12，把y＝2代入y=log22x得，2=log22x，即x由四边形ABCD是矩形得，B点的纵坐标也是2，把y＝2代入y=x12得，2=x1则点C的横坐标是4，把x＝4代入y＝（22）x得，y=所以点D的坐标是（12，1故选：A．过过关验收1．已知实数x，y满足3x＝4，4y＝9，则下列结论错误的是（）A．x2y2＝3x B．x＜y C．1x+1y＞2 【答案】D【解答】解：由3x＝4，4y＝9，得x＝log34＝2log32，由4y＝9，得y＝log49＝log23=1∴x2y2x＝log34＜log333=log3332=321x+1x+y＝x+2x≥2x⋅2x=22，而2xy＝2故选：D．2．若ea＝2，eb＝50，则（）A．a+b＝100 B．b﹣a＝25 C．ab＝2ln5 D．b【答案】D【解答】解：由题可得：a＝ln2，b＝ln50，所以a+b＝ln2+ln50＝ln100，A选项错误；b﹣a＝ln50﹣ln2＝ln25，B选项错误；ab＝ln2•ln50，C选项错误；ba=ln50故选：D．3．已知3m＝2n＝k，且1n+3m=1，则k【答案】54．【解答】解：∵3m＝2n＝k，∴m＝log3k，n＝log2k，又1n+3m=1，即1log2则k＝54，故答案为：54．4．已知a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．若a﹣b＝1，则a3﹣b3＜1 B．若a﹣b＝1，则3aC．若ea﹣eb＝1，则a﹣b＜1 D．若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＞1【答案】C【解答】解：对于A，取a＝2，b＝1，满足a﹣b＝1，但是a3﹣b3＞1，故A错误；对于B，取a＝2，b＝1，满足a﹣b＝1，但是3a−3对于C，若ea﹣eb＝1，则ea＝eb+1，即a＝ln（1+eb），因此：a−b=ln(1+e又因为b＞0，eb＞1，故0＜1所以可得a−b=ln(1+1eb对于D，若lna﹣lnb＝1，得a＝eb，因此a﹣b＝b（e﹣1），取b=12，则a=e2，满足条件，此时故选：C．5．已知1x+1y=2，记z＝2xA．1100 B．12 C．10【答案】C【解答】解：由z＝2x得x＝log2z，由z＝5y得y＝log5z，则1x=log因此1x因此z2＝10，又因z＝2x＞0，故z=10故选：C．6．已知实数a＞1，b＞1，若logab＝2，log2ba=A．14 B．13 C．1【答案】C【解答】解：因为log2b又logab＝2，故a2＝b，所以a2所以a=213所以log故选：C．7．方程log2（x+1）﹣log4（x+4）＝1的解为．【答案】5．【解答】解：由已知可得，log4（x+1）2﹣log4（x+4）＝1．∴log4(x+1)∴x+1＞0x+4＞0(x+1)故答案为：x＝5．8．已知函数f（x）＝a+log2（x+1）（a为常数）过点（3，1）．（1）求实数a的值及函数的定义域；（2）解关于x的方程f(x)+1=log【答案】（1）a＝﹣1，{x|x＞﹣1}（2）{2}．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝log2（x+1）+a过点（3，1），∴log24+a＝1，∴a＝﹣1，∵f（x）＝log2（x+1）﹣1有意义，∴x+1＞0，∴x＞﹣1，∴a＝﹣1，函数的定义域为{x|x＞﹣1}；（2）∵a＝﹣1，∴函数f（x）＝log2（x+1）﹣1，f(x)+1=log即log则有x+1=7−x2x+1＞0即方程f(x)+1=log9．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．a【答案】D【解答】解：∵ln2＝a，ln3＝b，又∵log32=∴log32=故选：D．10．a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b+ma+m＞ba（a＞b＞0，m＞0）．若x1＝log32，x2＝log1510，A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x1【答案】B【解答】解：根据题意，由题目中的不等式b+ma+mx1=lg2lg3，则有x1＜x3＜x2，故选：B．11．若函数y=logax+a2−3a+2为对数函数，则【答案】2．【解答】解：因为y=log所以a2﹣3a+2＝0且a≠1，则a＝2．故答案为：2．12．求下列方程的解集：（1）log（2）2x+2|x﹣1|＝6．【答案】（1）{5（2）{2，log【解答】解：（1）因为log所以有x−1=92x+1x−1＞02x+1＞0，即2x故方程log3(x−1)=lo（2）当x＜1时，2x+2|x﹣1|＝6可化为2x+21﹣x＝6，整理得（2x）2﹣6•2x+2＝0，解得2x=3−7因为2x=3+7＞2，所以所以x=log当x≥1时，2x+2|x﹣1|＝6可化为2x+2x﹣1＝6，即2x＝4，解得x＝2，综上，方程2x+2|x﹣1|＝6的解集为{2，log13．已知f（3ˣ﹣2）＝x．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x），求g（x）的定义域．【答案】（1）f（x）＝log3（x+2），（x＞﹣2）；（2）（﹣2，2）．【解答】解：（1）令t＝3x﹣2，则x＝log3（t+2），t＞﹣2，因为f（3ˣ﹣2）＝x，所以f（t）＝log3（t+2），即f（x）＝log3（x+2），x＞﹣2；（2）因为函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝log3（x+2）﹣log3（﹣x+2），由x+2＞0−x+2＞0，可得﹣2＜x故函数g（x）的定义域为（﹣2，2）．14．已知集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣3）}，则A∩B＝（）A．[3，4] B．（3，4] C．[2，+∞） D．[2，3）【答案】B【解答】解：B＝{x|y＝ln（x﹣3）}＝{x|x＞3}，A＝{x|x2﹣6x+8≤0}＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝（3，4]．故选：B．15．函数f(x)=2x−1A．[12，3) C．（1，3） D．[【答案】B【解答】解：要使原函数有意义，则2x−1≥0x−1≠03−x＞0，解得12所以原函数的定义域为[1故选：B．16．函数f(x)=1A．（﹣∞，1）∪（1，2） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）【答案】A【解答】解：由题意可得2﹣x＞0且2﹣x≠1，解得x＜2且x≠1．故选：A．17．函数f(x)=−A．[﹣3，3] B．0，3] C．[﹣3，1）∪（1，3] D．（1，2）∪（2，3]【答案】D【解答】解：由题可得：−x2+9≥0x−1＞0ln(x−1)≠0，即−3≤x≤3即函数的定义域为（1，2）∪（2，3]．故选：D．18．给定集合P＝{a|a＝log3x，x≥2}，集合Q＝{b|b＝lnx，x≥2}，集合M={c|c=(A．P⊆Q B．Q⊆P C．M⊆Q D．Q⊆M【答案】B【解答】解：函数a＝log3x，x≥2的值域为[log32，+∞），所以P＝[log32，+∞），函数b＝lnx，x≥2的值域为[ln2，+∞），所以Q＝[ln2，+∞），因为c=(令t=1x，则c=(函数c=(15)t所以M=[5因为1log2所以Q⊆P，集合M与集合P、Q无包含关系．故选：B．19．已知函数f(x)=(a−1)x+5−3a，x＜2，log2x，x≥2A．（2，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[2，+∞）【答案】B【解答】解：∵函数y＝log2x，x≥2在[2，+∞）上单调递增，∴y≥log22＝1，又∵f（x）的值域为R，则y＝（a﹣1）x+5﹣3a，x＜2需满足，a−1＞0(a−1)×2+5−3a≥1，解得1＜a故选：B．20．已知函数f（x）＝log2（x+2）﹣2．（1）若f（x）＞0，求x的取值范围．（2）若x∈（﹣1，6]，求f（x）的值域．【答案】（1）（2，+∞）；（2）（﹣2，1]．【解答】解：（1）由f（x）＞0，得log2（x+2）﹣2＞0，可得log2（x+2）＞2＝log24，所以x+2＞4，即x＞2，所以x的取值范围是（2，+∞）；（2）函数f（x）＝log2（x+2）﹣2是（﹣2，+∞）上的增函数，当x∈（﹣1，6]时，有f（﹣1）＜f（x）≤f（6），而f（﹣1）＝log2（﹣1+2）﹣2＝﹣2，f（6）＝log2（6+2）﹣2＝1，所以﹣2＜f（x）≤1，即f（x）的值域为（﹣2，1]．21．函数y=log12x(x∈[116，2])（1）求A；（2）若B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围．【答案】（1）A＝{x|﹣1≤x≤4}；（2）[﹣3，1]．【解答】解：（1）因为y=log12所以当x=116时y有最大值，且最大值为当x＝2，y有最小值，且最小值为log所以A＝{x|﹣1≤x≤4}；（2）由