第11讲 函数的概念及其表示 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第11讲函数的概念及其表示内内容导航知识点1函数的概念及其判断知识点2函数的定义域知识点3同一个函数知识点4函数的表示方法知识点5分段函数知识点6函数的概念及其判断知识点7相同函数的判定知识点8求抽象函数的定义域知识点9求分段函数的函数值知识点10解分段函数不等式题型1由定义域求解函数或参数题型2由值域求解函数或参数题型3判断两个函数是否为同一函数题型4区间题型5解析法表示函数题型6列表法表示函数题型7图象法表示函数题型8画出函数的图象题型9由函数解析式求解函数图象题型10由函数图象求解函数或参数题型11函数图象的简单变换知知识点通关知识点1函数的概念及其判断函数的概念非空性一般地，设A，B是非空的实数集唯一性对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A知识点2函数的定义域函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．必记结论几种特殊函数的定义域：（1）分式函数：定义域是，分母不为0.（2）0次幂类型：定义域是，底数不为0.（3）根式类型：（4）对数函数：真数大于0.✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。知识点3同一个函数（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.（2）结论：这两个函数为同一个函数.知识点4函数的表示方法解析法用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域)列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征)图象法用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点)知识点5分段函数（1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.知识点6函数的概念及其判断方法技巧利用函数概念判断（1）A，B是非空的实数集.（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.知识点7相同函数的判定方法技巧判断两个函数为同一函数的关注点（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（3）在化简解析式时，必须是等价变形．知识点8求抽象函数的定义域方法技巧抽象函数的定义域求法（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解.知识点9求分段函数的函数值方法技巧分段函数值的求法（1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值（2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.知识点10解分段函数不等式方法技巧求解分段函数不等式的方法（1）求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.（2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.考考点演练题型1由定义域求解函数或参数【典例1】若函数f(x)=mx2−mx+2的定义域为A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞）【变式1】若函数f（x）=ax2−2ax+4的定义域为R，则实数a题型2由值域求解函数或参数【典例1】已知a＞0且a≠1，若函数f(x)=−x2−2ax−2，x＜0aA．（1，2] B．[2，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞）【变式1】设函数f（x）定义域为D＝[0，+∞），值域为A．对∀x∈D，都满足f(x)=f(2026ax+1)．若集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}可取得AA．2023 B．2024 C．2025 D．2026题型3判断两个函数是否为同一函数【典例1】下列各组函数中，图像不完全相同的是（）A．y=1−x2B．y=x−1•x−2和y=C．y=x+33−x和D．y＝ex，x∈R和s＝et，t∈R【变式1】下列函数中与y＝x定义域、值域都相同的是（）A．y=xB．y=nC．y=aD．y=lo题型4区间【典例1】2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用a标记亚运会开始的日期，即a＝9.23，用b表示亚运会结束的日期，即b＝10.08．那么以实数a、b为端点的区间可以表示为（）A．{9.23，10.08} B．[10.08，9.23] C．[9.23，10.08] D．（﹣∞，9.23]∪[10.08，+∞）【变式1】不等式|x﹣2|＜3的解集可用区间表示为．题型5解析法表示函数【典例1】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求出函数f（x）在R上的解析式；（2）画出函数f（x）的图象（不用列表），并根据图象写出f（x）的单调区间．【变式1】给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≥g（x）的解集；（Ⅱ）∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的最大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，用解析法表示函数M（x）；（Ⅲ）设函数M（x）在[t，t+1]上的最小值为h（t），求函数h（t）的表达式．题型6列表法表示函数【典例1】已知函数y＝f（x）可表示为x0＜x≤22＜x≤44＜x≤66＜x≤8y2345则下列结论正确的是（）A．f（f（5））＝5 B．f（x）的值域是{2，3，4，5} C．f（x）的值域是[2，5] D．f（x）在区间[4，8]上单调递增【变式1】已知函数f（x）可用列表法表示如下，则f[110f(xx≤11＜x＜2x≥2f（x）123题型7图象法表示函数【典例1】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系，若定义“速度差函数”u（x）为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u（x）的图象是（）A． B． C． D．【变式1】某产品投入市场后，其销量y与月份x之间的散点图如图所示，则下列模型能较好地反映销量y与月份x之间的关系的是（）A．y＝30x B．y＝20x2+30x﹣10 C．y＝30×1.2x D．y＝30log2x+60题型8画出函数的图象【典例1】函数f(x)=2sinx+9xA． B． C． D．【变式1】函数f(x)=ln|x|A． B． C． D．题型9由函数解析式求解函数图象【典例1】函数f（x）＝xsinx﹣cosx在[﹣π，π]上的图象大致为（）A． B． C． D．【变式1】函数f(x)=cosxA． B． C． D．题型10由函数图象求解函数或参数【典例1】f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=lnxx2 C．f（x）＝x2lnx D．f(x)=xln【变式1】已知函数f（x）的图象如图所示，若g（x）＝f（x2），则下列数值排序正确的是（）A．12B．2g′(1C．g′(1D．1题型11函数图象的简单变换【典例1】为得到函数y=2x2+1的图象，只需把函数A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位【变式1】观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为r1，图2两个变量的相关关系为r2，则下列说法错误的是（）A．r1＜0 B．r1r2＜0 C．|r1|＜|r2| D．r1+r2＜0过过关验收1．若函数f(x)=x−12mx2−mx+1的定义域为R，则实数m2．若函数f(x)=xax2+x+1的定义域为R，则实数a的取值范围是3．若函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)的定义域为R，且f（x+1）＝f（﹣x﹣1），则实数4．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)=x+a，x＜2ax，x≥2的值域为A．[2，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，2] D．（1，2]5．若存在区间[a，b]（a＜b），使得函数f（x）＝ln（ex+m）在[a，b]上的值域为[a2，b2]，则实数6．已知函数f(x)=x+1+m，若存在区间[a，b]（b＞a≥﹣1），使得函数f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则实数m的取值范围为7．下列函数f（x）和g（x）为同一函数的是（）A．f（x）＝x+1和g(x)=(x+1)B．f（x）＝x2+x0和g(x)=xC．f（x）＝x2+x和g(xD．f(x)=x28．在下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的（）A．y=x2|x| C．y=(x)29．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+2）．（1）画出函数f（x）的图像，并写出f（x）的单调区间；（2）求出f（x）的解析式．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式，并补出函数f（x）在y轴右侧的图象；（Ⅱ）①根据图象写出函数f（x）的单调递减区间；②若x∈[﹣1，m]时，函数f（x）的值域是[﹣1，1]，求m的取值范围．11．函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（）x﹣2﹣101235f（x）2.31.10.71.12.35.949.1A．f（x）＝ka|x|+b B．f（x）＝kxex+b C．f（x）＝k|x|+b D．f（x）＝k（x﹣1）2+b12．已知函数y＝f（x）表示为：x[﹣2，0）0（0，2]y10﹣2设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（）A．m＝﹣2，M＝{﹣2，0，1} B．m＝﹣2，M＝{y|﹣2≤y≤1} C．m＝1，M＝{﹣2，0，1} D．m＝1，M＝{y|﹣2≤y≤1}13．已知a∈{−23，−13，2，3}，幂函数y＝xa14．函数y＝（2x﹣2﹣x）sinx在区间[−πA． B． C． D．15．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A．f(x)=2x+2C．f(x)=2x−16．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1x2−1C．f(x)=1|x17．将函数y＝|﹣x2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（）A． B． C． D．18．将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数g（x）的图象．再将g（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合．则f（x）可以是（）A．f（x）＝log3x B．f（x）＝log3（3x+1） C．f（x）＝3x D．f（x）＝32x+119．为得到函数y＝lg（10x+10）的图象，只需（）A．把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移10个单位 B．把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移1个单位 C．把函数y＝lg（x+10）的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D．把函数y＝lg（x+1）的图象上的所有点横坐标变成原来的11020．已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或521．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列选项中不正确的是（）A．f（x+1）＝f（x） B．f(6C．函数y＝f（x）的图象与直线y=12D．函数f（x）的最大值为1第11讲函数的概念及其表示内内容导航知识点1函数的概念及其判断知识点2函数的定义域知识点3同一个函数知识点4函数的表示方法知识点5分段函数知识点6函数的概念及其判断知识点7相同函数的判定知识点8求抽象函数的定义域知识点9求分段函数的函数值知识点10解分段函数不等式题型1由定义域求解函数或参数题型2由值域求解函数或参数题型3判断两个函数是否为同一函数题型4区间题型5解析法表示函数题型6列表法表示函数题型7图象法表示函数题型8画出函数的图象题型9由函数解析式求解函数图象题型10由函数图象求解函数或参数题型11函数图象的简单变换知知识点通关知识点1函数的概念及其判断函数的概念非空性一般地，设A，B是非空的实数集唯一性对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A知识点2函数的定义域函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．必记结论几种特殊函数的定义域：（1）分式函数：定义域是，分母不为0.（2）0次幂类型：定义域是，底数不为0.（3）根式类型：（4）对数函数：真数大于0.✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。知识点3同一个函数（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.（2）结论：这两个函数为同一个函数.知识点4函数的表示方法解析法用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域)列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征)图象法用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点)知识点5分段函数（1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.知识点6函数的概念及其判断方法技巧利用函数概念判断（1）A，B是非空的实数集.（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.知识点7相同函数的判定方法技巧判断两个函数为同一函数的关注点（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（3）在化简解析式时，必须是等价变形．知识点8求抽象函数的定义域方法技巧抽象函数的定义域求法（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解.知识点9求分段函数的函数值方法技巧分段函数值的求法（1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值（2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.知识点10解分段函数不等式方法技巧求解分段函数不等式的方法（1）求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.（2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.考考点演练题型1由定义域求解函数或参数【典例1】若函数f(x)=mx2−mx+2的定义域为A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞）【答案】C【解答】解：若函数f(x)=mx2−mx+2的定义域为R，则mx2﹣mx+2≥0对任意当m＝0时，显然成立；当m≠0时，有m＞0m2−8m≤0综上所述，实数m的取值范围是[0，8]．故选：C．【变式1】若函数f（x）=ax2−2ax+4的定义域为R，则实数a【答案】[0，4]．【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴不等式ax2﹣2ax+4≥0的解集为R，①a＝0时，4≥0恒成立；②a≠0时，a＞0Δ=4a2∴综上得，实数a的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．题型2由值域求解函数或参数【典例1】已知a＞0且a≠1，若函数f(x)=−x2−2ax−2，x＜0aA．（1，2] B．[2，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f(x)=−x2若0＜a＜1，当x≥0时f（x）＝ax+1，此时f（x）∈（1，2]，又当x＜0时f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣2＝﹣（x+a）2+a2﹣2≤a2﹣2，此时f（x）的值域不可能为R，故舍去；所以a＞1，则当x≥0时f（x）＝ax+1，此时f（x）∈[2，+∞）；当x＜0时f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣2＝﹣（x+a）2+a2﹣2≤a2﹣2，要使f（x）的值域为R，则a2−2≥2a＞1即a的取值范围是[2，+∞）．故选：B．【变式1】设函数f（x）定义域为D＝[0，+∞），值域为A．对∀x∈D，都满足f(x)=f(2026ax+1)．若集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}可取得AA．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【解答】解：由函数恒等式f(x)=f(2026ax+1)对任意x∈[0，+∞）成立，可知f（x）的值由x要使集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}取遍值域A，需对任意x∈[0，+∞），要么x∈[0，a]，要么2026ax+1由2026ax+1≤a，得2026x+1≤1，即当x≥2025时，2026ax+1≤a，此时f(x)=f(2026a故这些点的函数值均被[0，a]覆盖．当x＜2025时，2026ax+1＞a，若a＜2025，则存在x∈（此时x＞a且2026ax+1＞a，二者均不在[0，a]内，其函数值无法被[0，当a＝2025时，对任意x∈[0，+∞）：若x∈[0，2025]，则x∈[0，a]，函数值直接被覆盖；若x＞2025，则x+1＞2026，故2026×2025x+1此时f(x)=f(2026ax+1)因此，a的最小值为2025．故选：C．题型3判断两个函数是否为同一函数【典例1】下列各组函数中，图像不完全相同的是（）A．y=1−x2B．y=x−1•x−2和y=C．y=x+33−x和D．y＝ex，x∈R和s＝et，t∈R【答案】B【解答】解：A：由解析式，两函数的定义域均为[﹣1，1]，故y=1−x2B：对于y=x−1⋅x−2在[2，+∞）上y=xC：由解析式，两函数的定义域均为[﹣3，3），则y=x+33−x=D：显然y＝ex，x∈R和s＝et，t∈R的对应法则和定义域都相同，即图象相同，不符．故选：B．【变式1】下列函数中与y＝x定义域、值域都相同的是（）A．y=xB．y=nC．y=aD．y=lo【答案】D【解答】解：y＝x的定义域为R，值域为R，y=x2x的定义域为{x|x当n＝2时，y=x2的值域为{y|y≥0}，故y=alogax的定义域为{xy=logaax=x，y的定义域为R故选：D．题型4区间【典例1】2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用a标记亚运会开始的日期，即a＝9.23，用b表示亚运会结束的日期，即b＝10.08．那么以实数a、b为端点的区间可以表示为（）A．{9.23，10.08} B．[10.08，9.23] C．[9.23，10.08] D．（﹣∞，9.23]∪[10.08，+∞）【答案】C【解答】解：以实数a＝9.23、b＝10.08为端点的区间可以表示为[9.23，10.08]．故选：C．【变式1】不等式|x﹣2|＜3的解集可用区间表示为．【答案】（﹣1，5）．【解答】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，故解集为（﹣1，5）．故答案为：（﹣1，5）题型5解析法表示函数【典例1】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求出函数f（x）在R上的解析式；（2）画出函数f（x）的图象（不用列表），并根据图象写出f（x）的单调区间．【答案】（1）f(x)=x（2）图象见解答，单调增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）．【解答】解：（1）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0；②当x＜0时，﹣x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）]＝﹣x2﹣2x．综上：f(x)=x（2）函数图象如下所示：由函数图象可知，函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）．【变式1】给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≥g（x）的解集；（Ⅱ）∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的最大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，用解析法表示函数M（x）；（Ⅲ）设函数M（x）在[t，t+1]上的最小值为h（t），求函数h（t）的表达式．【答案】（Ⅰ）[0，3]；（Ⅱ）M（x）=(x−1（Ⅲ）h（t）=t【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥g（x）⇔x+1≥（x﹣1）2⇔x2﹣3x≤0，解得0≤x≤3，所以不等式f（x）≥g（x）的解集为[0，3]；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x∈[0，3]时，x+1≥（x﹣1）2，所以当x+1＜（x﹣1）2时，解得x＜0或x＞3，又因为M（x）＝max{f（x），g（x）}，所以M（x）=(x−1（Ⅲ）作出M（x）的图象，如图所示：由此可得，当t+1≤0，即t≤﹣1时，M（x）在（﹣∞，0]上单调递减，此时h（t）＝M（x）min＝M（t+1）＝t2；当t＜0＜t+1，即﹣1＜t＜0时，M（x）在（t，0）上单调递减，在（0，t+1）上单调递增，此时h（t）＝M（x）min＝M（0）＝1；当3≥t≥0时，M（x）在[t，3]上单调递增，此时h（t）＝M（x）min＝M（t）＝t+1；当t＞3时，M（x）在（3，+∞）上单调递增，此时h（t）＝M（x）min＝M（t）＝（t﹣1）2；综上，h（t）=题型6列表法表示函数【典例1】已知函数y＝f（x）可表示为x0＜x≤22＜x≤44＜x≤66＜x≤8y2345则下列结论正确的是（）A．f（f（5））＝5 B．f（x）的值域是{2，3，4，5} C．f（x）的值域是[2，5] D．f（x）在区间[4，8]上单调递增【答案】B【解答】解：由图表可知f（5）＝4，f（f（5））＝f（4）＝3，A错误；根据题意可知，f（x）的值域是{2，3，4，5}，B正确，C错误；由题意可知，f（x）在区间[4，8]上单不调，D错误．故选：B．【变式1】已知函数f（x）可用列表法表示如下，则f[110f(xx≤11＜x＜2x≥2f（x）123【答案】1．【解答】解：根据表格可知：32满足1＜x＜2，所以f(又因为210=15满足故答案为：1．题型7图象法表示函数【典例1】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系，若定义“速度差函数”u（x）为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u（x）的图象是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为图中反映了翼人从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系，所以当x∈[0，6]时，翼人做匀加速运动，v(x)=80+403x，“速度差函数”u(x)=当x∈[6，10]时，翼人做匀减速运动，速度v（x）从160开始下降，一直降到80，u（x）＝160﹣80＝80；当x∈[10，12]时，翼人做匀减速运动，v（x）从80开始下降，易得v（x）＝180﹣10x，则u（x）＝160﹣（180﹣10x）＝10x﹣20；当x∈[12，15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u（x）＝160﹣60＝100，结合所给的图象，故选项D正确．故选：D．【变式1】某产品投入市场后，其销量y与月份x之间的散点图如图所示，则下列模型能较好地反映销量y与月份x之间的关系的是（）A．y＝30x B．y＝20x2+30x﹣10 C．y＝30×1.2x D．y＝30log2x+60【答案】D【解答】解：根据其销量y与月份x之间的散点图，可得销量y与月份x之间呈对数形式增长，故结合选项可得D选项能较好地反映销量y与月份x之间的关系．故选：D．题型8画出函数的图象【典例1】函数f(x)=2sinx+9xA． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为f（x）=2sinx+9x3e|x|，x∈R，且f（﹣x）=2sin(−x)+9(−x)所以f（x）是定义域R上的奇函数，图象关于原点对称，排除选选项C、D；x≥0时，f（x）=2sinx+9x3ex，x→+∞时，f（x故选：B．【变式1】函数f(x)=ln|x|A． B． C． D．【答案】A【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，因为f（﹣x）=ln|−x|e−x−e所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C；取x＝1，则f（1）=ln1取x=12，则f（12）=ln1验证选项A满足题意．故选：A．题型9由函数解析式求解函数图象【典例1】函数f（x）＝xsinx﹣cosx在[﹣π，π]上的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：因为f（x）＝xsinx﹣cosx，所以f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）﹣cos（﹣x）＝xsinx﹣cosx＝f（x），所以f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，B；又因为f（0）＝﹣cos0＝﹣1＜0，故排除D．所以C选项正确．故选：C．【变式1】函数f(x)=cosxA． B． C． D．【答案】B【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=cos(−x)2−x−2x=−又当x＞0时，2x＞1，2﹣x∈（0，1），可知2x﹣2﹣x＞0，此时f（x）的符号性与y＝cosx的符号性一致，故D错误；综上，B符合．故选：B．题型10由函数图象求解函数或参数【典例1】f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=lnxx2 C．f（x）＝x2lnx D．f(x)=xln【答案】A【解答】解：f(x)=lnxx2，定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，函数lnx递增速度远小于函数x2，f当x＝1时，f（1）＝0，符合图像特征，A正确；易得函数的定义域为R，x＞0时，f（x）＞0，B错误；f（x）＝x2lnx的定义域为{x|x＞0}，当x→+∞时，f（x）→+∞，C错误；f(x)=xln1x=−xlnx的定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，f（x故选：A．【变式1】已知函数f（x）的图象如图所示，若g（x）＝f（x2），则下列数值排序正确的是（）A．12B．2g′(1C．g′(1D．1【答案】A【解答】解：由题意得：g′（x）＝2xf′（x2），所以g′′（1）＝2f′（1），g′(12)=f′(14)，g所以12根据导数的几何意义得，f′(1所以2g′(1故选：A．题型11函数图象的简单变换【典例1】为得到函数y=2x2+1的图象，只需把函数A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位【答案】A【解答】解：根据题意，由于y=2故要得到函数y=2x2+1的图象，只需要把函数故选：A．【变式1】观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为r1，图2两个变量的相关关系为r2，则下列说法错误的是（）A．r1＜0 B．r1r2＜0 C．|r1|＜|r2| D．r1+r2＜0【答案】D【解答】解：根据题意，由图可得r1＜0，r2＞0，图2线性相关性比图1强，所以|r1|＜|r2|，则﹣r1＜r2，即r1+r2＞0．则A、B、C都正确，D错误．故选：D．过过关验收1．若函数f(x)=x−12mx2−mx+1的定义域为R，则实数m【答案】[0，8）．【解答】解：函数f（x）=x−12mx2−mx+1的定义域为R，则t＝2当m＜0时，t＝2mx2﹣mx+1的图象开口向下，不满足题意；当m＝0时，t＝1＞0恒成立，满足题意；当m＞0时，Δ＝m2﹣8m＜0，解得0＜m＜8．综上所述，实数m取值范围是[0，8）．故答案为：[0，8）．2．若函数f(x)=xax2+x+1的定义域为R，则实数a的取值范围是【答案】{a|a＞1【解答】解：由f(x)=xax2+x+1的定义域为R，则当a＝0时，x+1＞0，得x＞﹣1，不符合要求，故舍去，当a≠0时，有a＞01−4a＜0，解得a＞综上，a＞1故答案为：{a|a＞13．若函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)的定义域为R，且f（x+1）＝f（﹣x﹣1），则实数【答案】1．【解答】解：∵函数f(x)=x−m∴﹣m2+2m+3＞0，解得﹣1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0，1，2，而f（x+1）＝f（﹣x﹣1），可知f（x）为偶函数，则m＝1．∴实数m的值为1．故答案为：1．4．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)=x+a，x＜2ax，x≥2的值域为A．[2，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，2] D．（1，2]【答案】D【解答】解：因为函数y＝x+a在（﹣∞，2）上单调递增，所以要使函数f（x）的值域为R，须满足函数y＝ax在[2，+∞）上单调递增，且2+a≥a2，即a＞12+a≥解得1＜a≤2，即a的取值范围为（1，2]．故选：D．5．若存在区间[a，b]（a＜b），使得函数f（x）＝ln（ex+m）在[a，b]上的值域为[a2，b2]，则实数【答案】(0，1【解答】解：由题意，函数f（x）＝ln（ex+m）在[a，b]上为单调递增函数．要使得f（x）在[a，b]上的值域为[a2，所以a，b是方程ln(e由ln(ex+m)=令t=ex2，则t＞0，所以方程t2﹣t设方程t2﹣t+m＝0有两个不同的正实数根为t1，t2，则满足Δ=(−1)2−4m＞0t1所以实数m的取值范围为(0，1故答案为：(0，16．已知函数f(x)=x+1+m，若存在区间[a，b]（b＞a≥﹣1），使得函数f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则实数m的取值范围为【答案】{m|−17【解答】解：由函数f(x)=x+1+m，显然该函数在[a，由函数f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则f(a)=a+1等价于4x2﹣（4m+1）x+m2﹣1＝0存在两个不相等且大于等于﹣1的实数根，且2x﹣m≥0在x∈[﹣1，0）上恒成立，则Δ=(4m+1)解得−17故答案为：{m|−177．下列函数f（x）和g（x）为同一函数的是（）A．f（x）＝x+1和g(x)=(x+1)B．f（x）＝x2+x0和g(x)=xC．f（x）＝x2+x和g(xD．f(x)=x2【答案】B【解答】解：两个函数若为同一函数，需要定义域和解析式相同，对于A，函数f（x）＝x+1的定义域为R，函数g(x)=(x+1)2的定义域为R，而所以函数f（x）和g（x）不为同一函数；对于B，函数f（x）＝x2+x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数g(x)=x而f（x）＝x2+x0＝x2+1，g(x)=x即两个函数的定义域和解析式相同，所以函数f（x）和g（x）为同一函数；对于C，函数f（x）＝x2+x的定义域为R，函数g(x2)=即两个函数的定义域不同，所以函数f（x）和g（x）不为同一函数；对于D，函数f(x)=x函数g(x)=x而f(x)=x所以函数f（x）和g（x）不为同一函数．故选：B．8．在下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的（）A．y=x2|x| C．y=(x)2【答案】B【解答】解：函数y＝x的定义域为R，A：函数y=x2|x|的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故与函数yB：函数y=3x3的定义域为R，可化简为y=3xC：函数y=(x)2的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，故与函数yD：函数y=x，x≥0，−x，x＜0与函数y＝x解析式不相同，定义域不同，故与函数y＝故选：B．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+2）．（1）画出函数f（x）的图像，并写出f（x）的单调区间；（2）求出f（x）的解析式．【答案】（1）图象见解答，单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递增区间为[﹣1，1]；（2）f（x）=x(2−x)，x＞0【解答】解：（1）根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数f（x）的大致图像，如图所示：函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递增区间为[﹣1，1]；（2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+2），设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣x（﹣x+2）＝x（x﹣2）＝﹣f（x），所以f（x）＝x（2﹣x），故f（x）=x(2−x)，x＞010．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式，并补出函数f（x）在y轴右侧的图象；（Ⅱ）①根据图象写出函数f（x）的单调递减区间；②若x∈[﹣1，m]时，函数f（x）的值域是[﹣1，1]，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）f（x）=x（Ⅱ）①（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；②m∈[1，2+【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．则令x＞0，故可得﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，所以f（x）=x函数的图象如图：（Ⅱ）①由图象知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．②f（﹣1）＝﹣1，f（1）＝1，令﹣x2+2x＝﹣1，解得x＝1±2因为x＞0，所以x=2故由图可知m∈[1，2+11．函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（）x﹣2﹣101235f（x）2.31.10.71.12.35.949.1A．f（x）＝ka|x|+b B．f（x）＝kxex+b C．f（x）＝k|x|+b D．f（x）＝k（x﹣1）2+b【答案】A【解答】解：由函数f（x）的数据可知，函数f（﹣2）＝f（2），f（﹣1）＝f（1），偶函数满足此性质，可排除B，D；当x＞0时，由函数f（x）的数据可知，函数f（x）增长越来越快，可排除C．故选：A．12．已知函数y＝f（x）表示为：x[﹣2，0）0（0，2]y10﹣2设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（）A．m＝﹣2，M＝{﹣2，0，1} B．m＝﹣2，M＝{y|﹣2≤y≤1} C．m＝1，M＝{﹣2，0，1} D．m＝1，M＝{y|﹣2≤y≤1}【答案】A【解答】解：由函数关系知f（1）＝﹣2，即m＝﹣2，函数的值域为{1，0，﹣2}，故选：A．13．已知a∈{−23，−13，2，3}，幂函数y＝xa【答案】−2【解答】解：由图象知，a＜0时，y＝xa在第一象限单调递减，故排除a＝2，3，图象关于y轴对称，故函数是偶函数，a=−13时，y=x−13，定义域为{x|x≠0}，满足f（﹣a=−23时，y=x−23，定义域为{x|x≠0}，满足f（﹣∴a=−2故答案为：−214．函数y＝（2x﹣2﹣x）sinx在区间[−πA． B． C． D．【答案】A【解答】解：由已知，f（x）定义域为R，且f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sinx＝f（x），则f（x）是偶函数，排除选项C．又f（0）＝0，f(π2)=2π故选：A．15．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A．f(x)=2x+2C．f(x)=2x−【答案】C【解答】解：由图象可得f（x）图象关于原点对称，为奇