第17讲 三角函数的概念与诱导公式 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第17讲三角函数的概念与诱导公式内内容导航知识点1任意角与弧度制知识点2三角函数的概念知识点3同角三角函数的基本关系式知识点4三角函数的诱导公式知识点5象限角与弧度制的应用知识点6三角函数的定义与坐标运算知识点7同角三角函数基本关系的应用知识点8诱导公式的化简与求值知识点9同角关系与诱导公式的综合应用知识点10三角函数的化简与证明题型1终边相同的角（角度制）题型2象限角、轴线角题型3终边相同的角（弧度制）题型4弧长公式题型5扇形面积公式题型6三角函数的定义域题型7三角函数值的符号题型8单位圆与周期性题型9同角正弦、余弦的平方和为1题型10同角正弦、余弦的商为正切题型11运用诱导公式化简求值知知识点通关知识点1任意角与弧度制一、 角的概念推广1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。3. 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成集合（角度制）或（弧度制）。二、 弧度制换算关系：1. 180∘=πrad，2. 弧长公式：l=|α|⋅r（3. 扇形面积公式：S=知识点2三角函数的概念1.坐标定义

设角α终边上任意一点P(x,y)2.单位圆定义

角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sin⁡α=y，cos⁡α=x，3.三角函数在各象限的符号三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫做α的正弦，记作sinα叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c)补充：只需要了解的其他三角函数。叫做的正割，记作叫做的余割，记作叫做的余切，记作特殊角的三角函数值角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°15°75°弧度0sinα010cosα10－1tanα01-102-2+知识点3同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：sin22. 商数关系：tan⁡α=常用变形• sin2⁡α=1−cos• (sin⁡α±cos⁡α)• sin⁡α=tan⁡α⋅cos⁡α。知识点4三角函数的诱导公式1.六组核心诱导公式组数角的形式正弦余弦正切一α+2kπ(k∈Z)sin⁡αcos⁡αtan⁡α二π+α−sin⁡α−cos⁡αtan⁡α三−α−sin⁡αcos⁡α−tan⁡α四π−αsin⁡α−cos⁡α−tan⁡α五πcos⁡αsin⁡α—六πcos⁡α−sin⁡α—2.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变：π2的奇数倍加α，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加α符号看象限：将α视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。3.化简原则

负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。知识点5象限角与弧度制的应用方法技巧1. 判断αn所在象限：先写出α的范围，再除以n，对k分n2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长l=θr，面积S=；3. 终边相同角问题，统一表示为，再根据范围确定k值。易错分析1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误；2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况；3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。知识点6三角函数的定义与坐标运算方法技巧1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意r>0恒成立；2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解；3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。易错分析1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况；2. 定义中分子分母记反，导致结果错误；3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。知识点7同角三角函数基本关系的应用方法技巧1. 齐次式求值：分子分母同除以cosn⁡α，化为2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果；3. sin⁡α±cos⁡α与sin⁡αcos⁡α的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。易错分析1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误；2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为0次，需补sin23. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。知识点8诱导公式的化简与求值方法技巧1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值；2. 互余、互补角的转化：若α+β=π2，则sin⁡α=cos⁡β；若α+β=π，则sin⁡α=sin⁡β，3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。易错分析1. “奇变偶不变”中奇偶判断错误，函数名变错；2. 符号判断时，未将α视为锐角，导致符号错误；3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。知识点9同角关系与诱导公式的综合应用方法技巧1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值；2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联；3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。易错分析1. 诱导公式化简过程中符号连续出错；2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误；3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。知识点10三角函数的化简与证明方法技巧1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题；3. 常用技巧：1的代换（1=sin易错分析1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误；3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。考考点演练题型1终边相同的角（角度制）【典例1】下列选项中与角α＝1560°终边相同的角是（）A．﹣60° B．60° C．120° D．240°【变式1】下列各角中，与996°终边相同的角为（）A．﹣84° B．﹣276° C．245° D．84°题型2象限角、轴线角【典例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=−3x上，则角A．{α|α=2kπ−π3，k∈Z} C．{α|α=kπ−2π3，k∈Z}【变式1】下列结论正确的是（）A．若α为第一象限角，则α∈(0，πB．若α−β=π2，则sinβ+cosαC．tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1 D．cos43°sin13°−sin43°cos13°=题型3终边相同的角（弧度制）【典例1】已知集合A={α|kπ＜α＜kπ+π2，k∈Z}，B={β|2kπ＜β＜2kπ+π4A．{x|2kπ＜x＜2kπ+π4，k∈Z} C．{x|2kπ＜x＜2kπ+π2，k∈Z}【变式1】与−23πA．−π12 B．π12 C．π题型4弧长公式【典例1】如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为2πR3，则A，BA．R B．2R C．3R D．2R【变式1】某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A．10π B．5π C．π3 D．题型5扇形面积公式【典例1】如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为M和N，Q为圆M上一点，且三角形MNQ为直角三角形，则阴影部分的面积为（）A．2.5π B．2.25π C．3π D．3.25π【变式1】如图，在扇形OPQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π4，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为题型6三角函数的定义域【典例1】已知函数f(x)=sinxA．f（x）的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} B．f（x）的值域为R C．f（x）在(0，π2D．存在a∈(π，3π2)，使得函数y＝f（x【变式1】下列说法正确的是（）A．命题“函数y＝tan（x+π4）的定义域为{x|x≠kπ+π4，kB．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充要条件 C．“a＝﹣1”是“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件 D．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x02﹣x0≤0”题型7三角函数值的符号【典例1】角θ是第三象限角的充要条件是（）A．sinθ＞0且cosθ＞0 B．sinθ＜0且tanθ＞0 C．cosθ＜0且tanθ＜0 D．sinθ＜0且cosθ＞0【变式1】角θ为第三象限角的充要条件是（）A．sinθ＞0，cosθ＞0． B．sinθ＜0，C．sinθ＞0，cosθ＜0． D．题型8单位圆与周期性【典例1】设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（）A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα【变式1】已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin11π6，cos11π6），则sinA．−32 B．−12 C．题型9同角正弦、余弦的平方和为1【典例1】已知α是锐角，3sinα+22cosα=A．7711 B．3311 C．5511【变式1】已知sinα−cosα=22，则A．−14 B．﹣4 C．1题型10同角正弦、余弦的商为正切【典例1】已知tanθ=12，则A．13 B．14 C．19【变式1】若sinα=3cosα，α∈(0，π)，则A．π8 B．π3 C．5π8题型11运用诱导公式化简求值【典例1】已知tan（3π+θ）＝﹣1，则2−sinA．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【变式1】若3sinα2A．[−1，78) B．(78，1]过过关验收1．与角943°18′的终边相同的角的集合为（）A．{x|x＝43°18′+k×360°，k∈Z} B．{x|x＝43°18′+k×180°，k∈Z} C．{x|x＝223°18′+k×180°，k∈Z} D．{x|x＝223°18′+k×360°，k∈Z}2．集合{α|45°+k•180°≤α≤90°+k•180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（）A． B． C． D．3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知tanA=12，角A为第三象限角，则cosA．−255 B．−55 5．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（）A．{α|5πB．{α|5πC．{α|−7πD．{α|−6．如图，△ABC是边长为a的正三角形．曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，称曲线CA1A2A3为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧，⋯，如此下去，画到第10圈，则所得螺旋线的总长度为（）A．1103πa B．310πa C．58πa D．1107．下列说法正确的是（）A．sin2cos3＜0 B．若圆心角为π3的扇形的面积为3π2，则扇形的弧长为C．终边落在直线x+y＝0上的角的集合是{α|α=±πD．函数y=tan(2x−π68．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85﹣165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角α（0°＜α＜360°）所对的弦长记为crdα．例如60°圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crdA．crd30°＝30 B．若crdα＝120，则α＝180° C．crdα=602(1−cosα)D．crdα+crdβ＞crd（α+β）（0°＜α+β＜360°）9．在面积为S（S为定值）的扇形中，当扇形圆心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是（）A．θ＝1，r=S B．θ＝2，r=4s C．θ＝2，r=3s 10．如图，分别以等边三角形ABC三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．π+3 B．π−3 C．2π−2311．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，AB∥CD，∠CAD＝120°，扇形圆心角∠BAC＝45°，CD=23A．12π B．(2−2)π C．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是（）A．32+π12 B．32−13．下列说法正确的是（）A．若cosα＜0且sinα＞0，则α为第二象限角 B．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α=πC．若扇形的圆心角为π6，弧长为π，则扇形的面积为3πD．函数y=tan(2x−π314．若cosθ＞0且tanθ＜0，则θ为第（）象限的角．A．一 B．二 C．三 D．四15．若α＝﹣5，则（）A．sinα＞0，cosα＞0 B．sinα＞0，cosα＜0 C．sinα＜0，cosα＞0 D．sinα＜0，cosα＜016．如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(35，（1）求sin∠COA，cos∠COA的值；（2）求cos∠COB的值．17．已知函数f（x）＝cos2x+2cos2（x−π（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若α∈（0，π2），f（α）=4318.设甲：cos2α+cos2β＝1，乙：cosα+sinβ＝0，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件19．已知α∈（0，π），cosα=31010A．3 B．13 C．−120．设α∈(0，π2)，β∈(0，A．2α+β=π2 B．2α−β=π2 C．21．若θ∈（0，π），sinθcosθ=−16，则A．−233 B．233 22．已知tanα=−12，则A．﹣1 B．−32 C．323．若sin20°＝m，则tan20°＝（）A．−m1−m2 B．m1−m24．已知α∈（0，π），则“sin(π−α)=12”是“A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要25．已知P(−311，1)是角α终边上的一点，则sin（π﹣A．110 B．−110 C．326．sin（π6+α）=13A．12 B．−12 C．1第17讲三角函数的概念与诱导公式内内容导航知识点1任意角与弧度制知识点2三角函数的概念知识点3同角三角函数的基本关系式知识点4三角函数的诱导公式知识点5象限角与弧度制的应用知识点6三角函数的定义与坐标运算知识点7同角三角函数基本关系的应用知识点8诱导公式的化简与求值知识点9同角关系与诱导公式的综合应用知识点10三角函数的化简与证明题型1终边相同的角（角度制）题型2象限角、轴线角题型3终边相同的角（弧度制）题型4弧长公式题型5扇形面积公式题型6三角函数的定义域题型7三角函数值的符号题型8单位圆与周期性题型9同角正弦、余弦的平方和为1题型10同角正弦、余弦的商为正切题型11运用诱导公式化简求值知知识点通关知识点1任意角与弧度制一、 角的概念推广1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。3. 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成集合（角度制）或（弧度制）。二、 弧度制换算关系：1. 180∘=πrad，2. 弧长公式：l=|α|⋅r（3. 扇形面积公式：S=知识点2三角函数的概念1.坐标定义

设角α终边上任意一点P(x,y)2.单位圆定义

角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sin⁡α=y，cos⁡α=x，3.三角函数在各象限的符号三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫做α的正弦，记作sinα叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c)补充：只需要了解的其他三角函数。叫做的正割，记作叫做的余割，记作叫做的余切，记作特殊角的三角函数值角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°15°75°弧度0sinα010cosα10－1tanα01-102-2+知识点3同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：sin22. 商数关系：tan⁡α=常用变形• sin2⁡α=1−cos• (sin⁡α±cos⁡α)• sin⁡α=tan⁡α⋅cos⁡α。知识点4三角函数的诱导公式1.六组核心诱导公式组数角的形式正弦余弦正切一α+2kπ(k∈Z)sin⁡αcos⁡αtan⁡α二π+α−sin⁡α−cos⁡αtan⁡α三−α−sin⁡αcos⁡α−tan⁡α四π−αsin⁡α−cos⁡α−tan⁡α五πcos⁡αsin⁡α—六πcos⁡α−sin⁡α—2.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变：π2的奇数倍加α，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加α符号看象限：将α视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。3.化简原则

负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。知识点5象限角与弧度制的应用方法技巧1. 判断αn所在象限：先写出α的范围，再除以n，对k分n2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长l=θr，面积S=；3. 终边相同角问题，统一表示为，再根据范围确定k值。易错分析1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误；2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况；3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。知识点6三角函数的定义与坐标运算方法技巧1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意r>0恒成立；2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解；3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。易错分析1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况；2. 定义中分子分母记反，导致结果错误；3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。知识点7同角三角函数基本关系的应用方法技巧1. 齐次式求值：分子分母同除以cosn⁡α，化为2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果；3. sin⁡α±cos⁡α与sin⁡αcos⁡α的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。易错分析1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误；2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为0次，需补sin23. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。知识点8诱导公式的化简与求值方法技巧1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值；2. 互余、互补角的转化：若α+β=π2，则sin⁡α=cos⁡β；若α+β=π，则sin⁡α=sin⁡β，3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。易错分析1. “奇变偶不变”中奇偶判断错误，函数名变错；2. 符号判断时，未将α视为锐角，导致符号错误；3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。知识点9同角关系与诱导公式的综合应用方法技巧1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值；2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联；3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。易错分析1. 诱导公式化简过程中符号连续出错；2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误；3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。知识点10三角函数的化简与证明方法技巧1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题；3. 常用技巧：1的代换（1=sin易错分析1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误；3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。考考点演练题型1终边相同的角（角度制）【典例1】下列选项中与角α＝1560°终边相同的角是（）A．﹣60° B．60° C．120° D．240°【答案】C【解答】解：α＝1560°＝120°+4×360°，故与角α终边相同的角为120°，其他角显然和120°的终边不相同．故选：C．【变式1】下列各角中，与996°终边相同的角为（）A．﹣84° B．﹣276° C．245° D．84°【答案】A【解答】解：对于A项，因996°﹣（﹣84°）＝1080°＝3×360°，故A项正确；对于B项，因996°﹣（﹣276°）＝1272°不是360°的整倍数，故B项错误；对于C项，因996°﹣245°＝751°不是360°的整倍数，故C项错误；对于D项，因996°﹣84°＝912°不是360°的整倍数，故D项错误．故选：A．题型2象限角、轴线角【典例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=−3x上，则角A．{α|α=2kπ−π3，k∈Z} C．{α|α=kπ−2π3，k∈Z}【答案】D【解答】解：根据题意，角α的终边在直线y=−3α为第二象限角时，α=2π3+2kπ＝（2k+1）π−π3α为第四象限角时，α=5π3+2kπ＝（2k+2）π−π3综上，角α的取值集合是{α|α＝kπ−π3，k∈故选：D．【变式1】下列结论正确的是（）A．若α为第一象限角，则α∈(0，πB．若α−β=π2，则sinβ+cosαC．tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1 D．cos43°sin13°−sin43°cos13°=【答案】BC【解答】解：对于A，13π6是第一象限角，但不是锐角，故A对于B，由α−β=π2，得β=α−π2，所以sinβ=sin(α−π2)=−cosα对于C，由tan（22°+23°）＝tan45=tan22°+tan23°所以tan22°+tan23°＝1﹣tan22°tan23°，即tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1，故C正确；对于D，因为cos43°sin13°−sin43°cos13°=sin(13°−43°)=sin(−30°)=−sin30°=−12，故故选：BC．题型3终边相同的角（弧度制）【典例1】已知集合A={α|kπ＜α＜kπ+π2，k∈Z}，B={β|2kπ＜β＜2kπ+π4A．{x|2kπ＜x＜2kπ+π4，k∈Z} C．{x|2kπ＜x＜2kπ+π2，k∈Z}【答案】A【解答】解：因为A={α|kπ＜α＜kπ+π当k＝2n+1，n∈Z时，A={α|(2n+1)π＜α＜(2n+1)π+π2，n∈Z}，此时A∩B当k＝2n，n∈Z时，A={α|2nπ＜α＜2nπ+π2，n∈Z}综上所述，A∩B={α|2kπ＜α＜2kπ+π故选：A．【变式1】与−23πA．−π12 B．π12 C．π【答案】C【解答】解：由题意，−23π故与−23π6终边相同的角可表示为：对A，−π12=π6对B，π12=π6+2kπ对C，π6=π6+2kπ，解得：k＝0对D，7π6=π6+2kπ故选：C．题型4弧长公式【典例1】如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为2πR3，则A，BA．R B．2R C．3R D．2R【答案】C【解答】解：设AB⌢所对的圆心角为α则由题意，得αR=2π所以α=2π所以AB=2Rsinα故选：C．【变式1】某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A．10π B．5π C．π3 D．【答案】C【解答】解：由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为3×2515因此小轮每秒钟转的弧度数为5×2π60所以小轮每秒转过的弧长是π6故选：C．题型5扇形面积公式【典例1】如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为M和N，Q为圆M上一点，且三角形MNQ为直角三角形，则阴影部分的面积为（）A．2.5π B．2.25π C．3π D．3.25π【答案】B【解答】解：由题意两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，设∠QNM＝α，∠QMN＝β，因为三角形MNQ为直角三角形，所以α+β=π所以阴影部分的面积S=12α×故选：B．【变式1】如图，在扇形OPQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π4，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为【答案】2−1【解答】解：设点C(2cosθ，2因为∠POQ=π所以OA=AD=BC=2sinθ，所以矩形ABCD的面积S＝AD•AB=2＝2sinθcosθ﹣2sin2θ＝sin2θ﹣（1﹣cos2θ）=2（22sin2θ+2=2由0＜θ＜π4，可得π4所以0＜2所以矩形ABCD的面积的最大值为2−1故答案为：2−1题型6三角函数的定义域【典例1】已知函数f(x)=sinxA．f（x）的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} B．f（x）的值域为R C．f（x）在(0，π2D．存在a∈(π，3π2)，使得函数y＝f（x【答案】ACD【解答】解：由题意函数f(x)=sinx对于选项A，要使函数表达式有意义，可得sinx≥0，解得2kπ≤x≤π+2kπ（k∈Z），故选项A正确；对于选项B，由f(x)=sinx+x，对函数求导可得令f′（x）＝0，解得cosx=−2sinx，进一步可得sin2x+4sinx正根为sinx=5−2≈0.236，当k＝0时，对应极值点有此时f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，π）单调递减，所以函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（x0）≈3.39，最小值为f（0）＝0，当k＝1时，x∈（2π，3π），该区间内f（x）的最小值为f（2π）＝2π≈6.28，因此区间（3.39，6.28）内所有实数都无法被f（x）取到，函数图象如图所示，所以值域不可能是全体实数R，故选项B错误；对于选项C，因为sinx在(0，π2)上单调递增，x所以f（x）在(0，π2)对于选项D，当k＝0时，f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，π）单调递减，且f（π）＝π＝3.14，最大值为f（x0）≈3.39，当a∈（π，3.39）时，f（x）＝a在[0，π]恰好有两个不同的解，同时，所有k≤﹣1的定义域区间内f（x）的最大值都小于﹣2π+3.39＜π，所有k≥1的定义域区间内f（x）的最小值都大于2π＞3.39，所以此时y＝f（x）﹣a总共有2个零点，区间(π，3.39)⊂(π，3π所以确实存在满足条件的a，故选项D正确．故选：ACD．【变式1】下列说法正确的是（）A．命题“函数y＝tan（x+π4）的定义域为{x|x≠kπ+π4，kB．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充要条件 C．“a＝﹣1”是“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件 D．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x02﹣x0≤0”【答案】AC【解答】解：“函数y＝tan（x+π4）的定义域为{x|x≠kπ+π4，k∈“α＝β”推出“sinα＝sinβ”成立，反之不成立，所以“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件，所以B不正确；“a＝﹣1”推出“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”，反之不成立，所以“a＝﹣1”推出“函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件，所以C正确；命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x02﹣x0≤0”，不满足命题的否定形式，所以D不正确；故选：AC．题型7三角函数值的符号【典例1】角θ是第三象限角的充要条件是（）A．sinθ＞0且cosθ＞0 B．sinθ＜0且tanθ＞0 C．cosθ＜0且tanθ＜0 D．sinθ＜0且cosθ＞0【答案】B【解答】解：当θ是第三象限角时，sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0．故选：B．【变式1】角θ为第三象限角的充要条件是（）A．sinθ＞0，cosθ＞0． B．sinθ＜0，C．sinθ＞0，cosθ＜0． D．【答案】B【解答】解：若角θ为第三象限角，则sinθ＜0，cosθ＜0，反之，若sinθ＜0，cosθ＜0，则角θ为第三象限角，即角θ为第三象限角的充要条件为sinθ＜0，cosθ＜0．故选：B．题型8单位圆与周期性【典例1】设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（）A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα【答案】B【解答】解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），∴由三角函数的定义得，sinα＝y，cosα＝x，同理sin（α+θ）＝﹣x，cos（α+θ）＝y，则sin（α+θ）＝﹣cosα，cos（α+θ）＝sinα，故选：B．【变式1】已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin11π6，cos11π6），则sinA．−32 B．−12 C．【答案】D【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P（sin11π6，cos11π∴sinα＝cos11π6=cos（2π−π故选：D．题型9同角正弦、余弦的平方和为1【典例1】已知α是锐角，3sinα+22cosα=A．7711 B．3311 C．5511【答案】B【解答】解：α是锐角，3sinα+2则311令cosβ=311，sin故sin（α+β）＝1，所以α+β=π故sinα＝cosβ=3故选：B．【变式1】已知sinα−cosα=22，则A．−14 B．﹣4 C．1【答案】D【解答】解：sinα−cosα=2则(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=tanα+1故选：D．题型10同角正弦、余弦的商为正切【典例1】已知tanθ=12，则A．13 B．14 C．19【答案】D【解答】解：由tanθ=12=(−2si故选：D．【变式1】若sinα=3cosα，α∈(0，π)，则A．π8 B．π3 C．5π8【答案】B【解答】解：根据题意可得tanα=sinαcosα=3，结合α∈（0，π故选：B．题型11运用诱导公式化简求值【典例1】已知tan（3π+θ）＝﹣1，则2−sinA．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：由题意，tan（3π+θ）＝tanθ＝﹣1，可得2−sin故选：D．【变式1】若3sinα2A．[−1，78) B．(78，1]【答案】A【解答】解：因为3sin所以14所以cos(α−5π又cos(α−5π所以cos(α−5π3)故选：A．过过关验收1．与角943°18′的终边相同的角的集合为（）A．{x|x＝43°18′+k×360°，k∈Z} B．{x|x＝43°18′+k×180°，k∈Z} C．{x|x＝223°18′+k×180°，k∈Z} D．{x|x＝223°18′+k×360°，k∈Z}【答案】D【解答】解：因为943°18′＝223°18′+2×360°，943°18′终边相同的角的集合为{x|x＝223°18′+k×360°，k∈Z}．故选：D．2．集合{α|45°+k•180°≤α≤90°+k•180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：当k＝2n，n∈Z时，n•360°+45°≤α≤n•360°+90°，n∈Z．角α的终边与45°≤α≤90°终边相同，位于第一象限靠近y轴的区域；当k＝2n+1，n∈Z时，n•360°+225°≤α≤n•360°+270°，n∈Z．角α的终边与225°≤α≤270°终边相同，角α的终边位于第三象限靠近y轴的区域．故选：C．3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解答】解：因为α是锐角，故0°＜α＜90°，则α一定是第一象限角，若α是第一象限角，不妨取﹣330°，则α不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．故选：A．4．已知tanA=12，角A为第三象限角，则cosA．−255 B．−55 【答案】A【解答】解：因为tanA=12，所以解得sinA=55cosA=因为角A为第三象限角，所以cosA=−2故选：A．5．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（）A．{α|5πB．{α|5πC．{α|−7πD．{α|−【答案】B【解答】解：终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是{α|5π故选：B．6．如图，△ABC是边长为a的正三角形．曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，称曲线CA1A2A3为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧，⋯，如此下去，画到第10圈，则所得螺旋线的总长度为（）A．1103πa B．310πa C．58πa D．110【答案】B【解答】解：根据弧长公式，CA1，A1A2，A2A3，⋯，A28A29，A29A30的长度分别为：2π3故此数列是2π3a为首项，则数列前30项的和为S30故选：B．7．下列说法正确的是（）A．sin2cos3＜0 B．若圆心角为π3的扇形的面积为3π2，则扇形的弧长为C．终边落在直线x+y＝0上的角的集合是{α|α=±πD．函数y=tan(2x−π6【答案】ABD【解答】解：对于A，由π2＜2＜3＜π，得sin2＞0，cos3＜0，则sin2cos3＜0，对于B，设扇形半径为r，由题意，可得12解得r＝3，可得扇形的弧长为π3r=π，对于C，终边落在射线y＝﹣x（x≥0）上的角集合为S1终边落在射线y＝﹣x（x≤0）上的角集合为S2因此终边落在直线x+y＝0上的角的集合是S1∪S对于D，由2x−π6≠因此函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠故选：ABD．8．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85﹣165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角α（0°＜α＜360°）所对的弦长记为crdα．例如60°圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crdA．crd30°＝30 B．若crdα＝120，则α＝180° C．crdα=602(1−cosα)D．crdα+crdβ＞crd（α+β）（0°＜α+β＜360°）【答案】BCD【解答】解：设圆的半径为r，圆心角θ＝30°时所对应的弦长为l，由余弦定理得l2＝r2+r2﹣2r•rcos30°＝2r2（1−3故l=2−3r=3−1所以crd30°=6−2若crdα＝120，则圆心角α所对的弧长为2r，即圆的直径，故α＝180°，B正确；设圆心角α所对应的弦长为l，由余弦定理得l2＝r2+r2﹣2r•rcosα＝2r2（1﹣cosα），所以l＝r2(1−cosα)=602(1−cosα)，C若crdα+crdβ＞crd（α+β）（0°＜α＜360°，0°＜β＜360°，0°＜α+β＜360°），则60（2(1−cosα)+2(1−cosβ)）＞60⇔1−cosα⇔2（sinα2+sinβ2）⇔2sinα2+β22cos⇔cosα4cosβ4+sinα4sinβ4＞cosα⇔sinα4sinβ4＞故选：BCD．9．在面积为S（S为定值）的扇形中，当扇形圆心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是（）A．θ＝1，r=S B．θ＝2，r=4s C．θ＝2，r=3s 【答案】D【解答】解：S=12θr2⇒θ又∵扇形周长P＝2r+θr＝2（r+Sr）≥4∴当P最小时，r=Sr⇒r此时θ＝2，故选：D．10．如图，分别以等边三角形ABC三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．π+3 B．π−3 C．2π−23【答案】C【解答】解：因为S△ABC=12×2×2×sin所以莱洛三角形的面积为S△ABC故选：C．11．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，AB∥CD，∠CAD＝120°，扇形圆心角∠BAC＝45°，CD=23A．12π B．(2−2)π C．【答案】D【解答】解：由题可得：∠ACD＝∠BAC＝45°．△ACD中，∠ACD＝45°，∠CAD＝120°，∠ADC＝15°，CD=23由正弦定理得23sin120°=即扇形所在圆的半径为4sin15°，故扇形区域面积为12故选：D．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是（）A．32+π12 B．32−【答案】A【解答】解：∵将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，∴∠A＝60°，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∴AB=AF=2AC=2，BC=CE=AC=3∴S阴故选：A．13．下列说法正确的是（）A．若cosα＜0且sinα＞0，则α为第二象限角 B．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α=πC．若扇形的圆心角为π6，弧长为π，则扇形的面积为3πD．函数y=tan(2x−π3【答案】ABC【解答】解：设P（x，y）为角α终边上一点，则r＝|OP|=x根据cosα=xr＜0，可得x＜0，由sinα=所以P（x，y）为第二象限的点，即α为第二象限角，故A项正确；根据终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k∈Z}若扇形的圆心角为π6，弧长为π，则扇形所在圆的半径r满足π6⋅r=π可得扇形的面积S=12×π×6=3π函数y=tan(2x−π3)解得x≠5π12+kπ2，k∈Z，所以该函数的定义域为{故选：ABC．14．若cosθ＞0且tanθ＜0，则θ为第（）象限的角．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解答】解：由三角函数的定义可知，cosθ＞0时θ在第一、四象限；tanθ＜0时θ在第二、四象限，所以cosθ＞0且tanθ＜0时，θ在第四象限．故选：D．15．若α＝﹣5，则（）A．sinα＞0，cosα＞0 B．sinα＞0，cosα＜0 C．sinα