数学北师大版（2024）八年级上册第二章《实数》全章导学案（含答案）

1认识实数第1课时无限不循环小数学案班级姓名组别总分【学习目标】1.经历无线不循环小数的发现过程，感受认识无理数的必要性;2.经历探索与思考，会判断一个数是不是有理数;【学习过程】任务一：a是有理数吗？1.由于换了新桌子，原来边长为1的小正方形桌布不够用了，请你剪一剪、拼一拼，将两块边长为1的小正方形桌布拼成一块大正方形桌布。11问题1:设大正方形的边长为a,a满足什么条件？问题2:a可能是整数吗？说说你的理由。问题3:a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。2.如图,以直角三角形的斜边为正方形的面积是多少?请同学们合作讨论下列问题：（1）设该正方形的边长为b,b满足什么条件?（2）b是有理数吗?【即时测评】1.满足下列条件的数a不是有理数的是 ()A.2a+5=8 B.a2=0.16 C.a2=7D.a2=92.长、宽分别为3,2的长方形,它的对角线的长()A.是分数B.是小数C.是整数D.不是有理数评价任务一得分：任务二：无限不循环小数面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?（1）如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.（2）边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.（3）小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1＜a＜21＜S＜41.4＜a＜1.51.96＜S＜2.251.41＜a＜1.421.9881＜S＜2.01641.414＜a＜1.4151.999396＜S＜2.0022251.4142＜a＜1.41431.99996164＜S＜2.00024449问题：a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【即时测评】3.下列各数中,是有理数的是()A.面积为3的正方形的边长B.体积为8的正方体的棱长C.两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长D.圆周率π4.无限不循环小数与有理数的关系是（）A.无限不循环小数是有理数B.有理数是无限不循环小数C.无限不循环小数不是有理数D.无法确定评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1.以下哪个数是无限不循环小数？（）A.0.333…B.πC.0.121212D.-3.142．如图，在正方形网格中，按如下要求设计三角形：（1）三角形的三边长都是有理数；（2）三角形的两边长是有理数；（3）三角形只有一边长是有理数；（4）三角形的三边长都不是有理数．参考答案参考答案即时测评：1.C2.D3.B4.C当堂训练1.B2.（1）如图1（答案不唯一），三角形的三边长都是有理数，（2）如图2（答案不唯一），三角形的两边长是有理数，（3）如图3（答案不唯一），三角形只有一边长是有理数，（4）如图4，（答案不唯一），三角形的三边长都不是有理数．第2课时实数学案班级姓名组别总分【学习目标】1.通过把整数和分数化成小数，归纳出无理数概念，会判断一个数是有理数还是无理数，发展归纳能力。2.能对实数进行分类，在实数范围会求相反数、倒数和绝对值，了解有理数的运算规律在实数范围内仍然适用。3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。【学习过程】任务一：认识实数活动1把下列个数表示成小数，你发现了什么？3，，，-，问题1:分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?问题2:不是有理数的小数应该称为什么数?小结：无理数的概念【方法归纳】有理数与无理数的区别活动2例下列各数中，那些是有理数，哪些是无理数？3.14，-，，0.1010001000001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.小结：实数的概念活动3无理数和有理数一样，也有正负之分。（1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。负数集合负数集合正数集合正数集合（2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数分类吗？小结：实数的分类思考：1.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗？你还知道哪些？2.有理数的运算及运算律对实数仍然适用小结：（1）a是一个实数，它的相反数为，绝对值为；（2）如果a≠0，那么它的倒数为.【即时测评】1.下列各实数中，是无理数的是（）A．0B．﹣3C．0.5D．Π2.请你写出一个无理数a，使得0＜a＜1，则a为．评价任务一得分：任务二：在数轴上表示实数活动4前面讨论的两个正方形，边长分别是a、b,且满足a2=2，b2=5.（1）如图，OA=OB，数轴上点A对应a、b中的哪个数？（2）你能在数轴上找到另一个数的对应点吗？与同伴进行交流。（3）如果将所有实数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？问题1：实数与数轴上的点的关系？问题2：如何用数轴比较实数的大小？【即时测评】3．如图，数轴上放了三个正方形①②③，正方形②的面积是．评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1.判断题：①实数不是有理数就是无理数.（）②无理数都是无限不循环小数.（）③无理数都是无限小数.（）④两个无理数之积不一定是无理数.（）⑤两个无理数之和一定是无理数.（）⑥数轴上的任何一点都可以表示实数.（）2．把下列各数填入相应的集合内（填序号）：（1）无理数集合{…}；（2）分数集合{…}；（3）负实数集合{…}．3.实数a,b的位置如图所示,化简|a+b|–|a–b|参考答案即时测评：1.D2.0.1010001000001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.3.5×当堂训练×1.=1\*GB3①√②√③√④√⑤⑥√2.(1)④,⑥(2)①,②,⑤(3)①,④,⑤3.解:由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而原式=－(a＋b)－[－（a－b）]=－a－b＋（a－b）=－a－b＋（a－b）=－a－b＋a－b=－2b2平方根与立方根第1课时算术平方根学案班级姓名组别总分【学习目标】1.通过解决情境问题的活动，体会算术平方根的概念形成的必要性及创新性，会用要根号表示一个非负数的算术平方根，发展创新意识与符号意识.2.通过求一个非负数的算术平方根的活动，探究归纳算术平方根的性质，发展探究、归纳等数学能力.3.通过实际问题的解决，体会算术平方根的应用，进一步提升应用数学的意识.【学习过程】任务一：算术平方根的概念和性质活动1前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：，，，．x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数？你求出这些未知数吗？活动2，，，这些未知数你能表示吗？归纳概念：（1）一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根，记为“”，读作“根号”．（2）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．模仿定义列举几个算术平方根的例子：.活动3例1求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14；(5)-25；(6)0.解：(1)因为，所以900的算术平方根是30，即；(2)因为，所以1的算术平方根是1，即；(3)因为，所以的算术平方根是，即；(4)14的算术平方根是；(5)没有一个数的平方等于-25，所以-25没有算术平根；(6)0的算术平方根是0.活动4思考并独立探究：问题1.负数有算术平方根吗？问题2.一个数的算术平方根可能是负数吗？【方法归纳】小组合作交流归纳算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根是；0的算术平方根是；负数没有.（2）双重非负性：式子的含义：(1)；(2).【即时测评】1.求下列各数的算术平方根：36，，15，0.64，2.下列各式是否有意义，为什么？；；.评价任务一得分：任务二：算术平方根的应用活动5例2自由下落物体的高度(米)与下落时间(秒)的关系为．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？【即时测评】3.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．数5的算术平方根为()A.eq\r(5) B．25 C．±25 D．±eq\r(5)2．的算术平方根是；3.eq\r(4)的算术平方根是．4．要切一块面积为0.81m2的正方形钢板，它的边长是m.5．求下列各式的值：(1)eq\r(144)；(2)eq\r(0.81)；(3)eq\r(104).参考答案1112151.6，，，0.8，10-1（1）无意义（2）有意义（3）有意义解：由题意得AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得(米)．所以帐篷支撑竿的高是米．221.A2.3.4.0.95.(1)12(2)0.9(3)102第2课时平方根学案班级姓名组别总分【学习目标】1．通过类比算数平方根的概念，归纳平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根．2.会用平方运算求某些非负数的平方根．3.了解平方与开平方互为逆运算。【学习过程】任务一：探究平方根的概念活动1填一填：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_____；(2)的平方等于，那么的算术平方根就是_____；(3)展厅地面为正方形，其面积49m2，则边长为______m.问题：平方等于9，，49的数还有吗？分别是什么？活动2填一填：问题：上述都是形如x2＝a的式子，x的取值范围是什么？类比算术平方根的概念，你能得到新的概念吗？算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的算术平方根.即.类比可得：平方根的定义：__________________________________________________________________________________________________________活动3问题：(1)144的平方根是什么？(2)0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)-4有没有平方根？为什么？通过这些题目的解答，你能得出结论?1.正数有几个平方根？2.0有几个平方根？3.负数呢？【方法归纳】平方根的性质：正数有___个平方根，两个平方根________,其中___________为算术平方根.0的平方根是______.3.负数______平方根.【即时测评】1.（1）9的平方根是。（2）0的平方根是。（3）－4有没有平方根?为什么?2.判断下列各式计算是否正确，并说明理由3.下列说法不正确的是()A．－eq\r(2)是2的平方根 B.eq\r(2)是2的平方根C．2的平方根是eq\r(2) D．2的算术平方根是eq\r(2)评价任务一得分：任务二：开平方及其运算活动4已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，其中a叫作被开方数.平方与开平方互为逆运算.活动5例3求下列各数的平方根：64；(2)；(3)0.0004；(4)(-25)2；(5)11.小结：平方根与算术平方根的联系与区别：活动6例4求下列各式的值1694（1）225（2）-（3）【即时测评】4.QUOTEaa的一个平方根是3，则另一个平方根是，=。5.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）．A.a+1B.C.+1D.6.求下列各数的平方根：(1)eq\f(144,169)；(2)10－4；评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．9的平方根是()A．±3 B．±eq\f(1,3) C．3 D．－32．关于平方根，下列说法正确的是()A．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数B．负数没有平方根C．任何一个数只有一个算术平方根D．以上都不对3．如果16的两个平方根是a、b，那么ab＝．4．若25x2＝16，则x的值为．5．求下列各数的平方根：(1)196；(2)1eq\f(24,25).参考答案即时测评：1.（1）±3（2）02.（1）错（2）对（3）错3.C4.-3，95.D6.（1）±（2）102当堂训练1.A2.B3.-164.±eq\f(4,5)5.解：(1)±14.(2)±eq\f(7,5).第3课时立方根学案班级姓名组别总分【学习目标】1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；2.能用立方运算求某些数的立方根，知道开立方与立方互为逆运算。【学习过程】任务一：立方根的定义及性质活动11.怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？（1）；（2）；（3）．2.一个正方体的体积是8cm3，那么它的棱长a是多少呢？如果正方体的体积是9cm3呢？如何去表示它呢？定义：立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（cuberoot，也叫作三次方根）．如：2是8的立方根，，0是0的立方根．活动21.填空∵（）3=64，∴（）是64的立方根；∵（）3=-27，∴（）是-27的立方根；∵x3=2，∴x是的的立方根；∵a3=5，∴a是的的立方根.思考：正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？【方法归纳】小结：立方根的性质（1）正数的立方根是；0的立方根是；负数的立方根是.（2）每一个数a都有立方根，记作：，读作：“三次根号a”，求一个数a的立方根的运算叫作，a叫作被开方数.【即时测评】1.下列判断正确的是（）Ａ.64的立方根是±4Ｂ.（-1）-1的立方根是１Ｃ.的立方根是2Ｄ如果＝a，则a＝02.下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，13.求下列各式的值： 评价任务一得分：任务二：典例精析活动3例5求下列各数的立方根：（1）；（2）；（3）；（4）．例6求下列各式的值：（1）（2）（3）；（4）．【即时测评】4.（1）（2）（3）5.求下列各式中的x．（1）8x3+27=0；（2）(x－1)3－0.343=0．评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）判断下列说法是否正确.（1）25的立方根是5;()（2）任何数的立方根都只有一个;()（3）如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是0（）(4)一个数的立方根不是正数就是负数（）(5)0的平方根和立方根都是0.（）2.求下列各式的值.3.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？参考答案即时测评：C2.D3.(1)0.5(2)-4(3)5(4)164.（1）-4（2）5（3）0.55.（1）；（2）1.7．当堂训练1.（1）错（2）对（3）错（4）错（5）对2.（1）-0.3（2）-23（3）34（4）3.9cm4.0或4第4课时估算学案班级姓名组别总分【学习目标】1.模仿引例估算，学会使用估算解决一些简单的实际问题．2.建立梯子靠近墙的数学模型，学会平方根、立方根的估算过程，体验估算意识和数感．3.会用计算器估算无理数．【学习过程】任务一：估算无理数的大小活动1某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m)解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：x·2x=400000，x=．那么=？【方法归纳】归纳估算的步骤：活动2思考·交流活动3典型例题例7生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的13【即时测评】1.如果一个正方形凉亭的占地面积为10平方米，那么它的边长大约是米（精确到0.1米）；2.如果一个占地面积为10平方凉亭改建成一个同样面积的圆形凉亭，它的半径大约是米（精确到0.1）3.一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为评价任务一得分：任务二：用计算器估算无理数活动4尝试･思考（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律．【即时测评】4.利用计算器比较下列两数的大小3与25.用计算器比较下面两数的大小5+1与6×评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）通过估算，比较下面各组数的大小：2.利用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字)：（1）800（2）3225（3）0.583.一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1m）参考答案即时测评：1.3.2m2.1.8m3.30.5厘米4.>5.<当堂训练1.（1）<（2）>2.（1）28.28（2）1.639（3）0.7616（4）-0.75603.4m第1课时二次根式与二次根式的乘除运算学案班级姓名组别总分【学习目标】1.了解二次根式的概念及性质.2.掌握二次根式的乘除法则.【学习过程】任务一：二次根式的概念及性质1.观察式子：，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？一般地，形如式子叫作，a叫作。2.二次根式有意义的条件（1）当x是怎样的实数时，x在实数范围内有意义?(2)当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？二次根式的双重非负性（1）a为被开方数或式，为保证其有意义，必有；（2）a表示一个数或式的算术平方根，故.【即时测评】1.若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是A． B． C． D．2.下列式子一定是二次根式的是A． B． C． D．3.若，则化简正确的是A． B．1 C． D． 评价任务一得分：任务二：二次根式的乘除1.计算下列各式，你能得到什么猜想?（1）＝，＝；＝，＝；（2）＝，＝；＝，＝．从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？性质归纳：符号表示：（a，b），（a，b）．算术平方根的积，等于算术平方根的商，等于2.典型例题例1计算：（1）（2）（3）例2计算：（5）（6）【即时测评】4.计算下列各题（1）5×（2）（23−1）2（3）（27+13）评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．下列式子一定是二次根式的是（）A．−x−2 B．x C．x2+2 2．若x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠23．计算：（1）13（2）27−参考答案即时测评：1.C2.A3.D4.（1）32（2）13﹣43（3当堂训练1.C2.B3.(1)3（2）1第2课时最简二次根式与二次根式的加减运算学案班级姓名组别总分【学习目标】1.了解最简二次根式的概念及条件.2.掌握同类二次根式的概念及二次根式的加减法则.【学习过程】任务一：最简二次根式1.上节课我们学习了公式:符号表示：（a，b），（a，b）．我们把公式等号左右两边互换,那么可得符号表示：（a，b），（a，b）．积的算术平方根，等于商的算术平方根，等于2.典型例题例3：化简:（1）；（2）；（3）【方法归纳】最简二次根式的概念：一般地，被开方数不含，也不含能的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。例4：化