1.1.2空间向量的数量积运算常见的六种题型（突破卷）.2026-2027学年高二上数学人教A版选修一

1.1.2空间向量的数量积运算常见的六种题型（突破卷）目录题型一数量积的概念与运算律题型二几何体中的数量积（基底法）题型三投影向量题型四数量积求模长与距离题型五数量积与夹角题型六垂直、最值与范围题型一数量积的概念与运算律【解题技巧】通法：数量积定义a·b=|a||b|cosθ（θ为夹角）；运算律只有交换律a·b=b·a与对加法的分配律a·(b+c)=a·b1．给出下列命题：①若空间向量满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，由，则；④在向量的数量积运算中.其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（

）

A．异面直线与所成的角为B．C．D．直线与所成角的余弦值为03．在四面体中，下列说法正确的有（

）A．若，则B．若Q为的重心，则C．若，，则D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则．4．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算：(1)；(2)．5．已知向量，向量，(1)求向量，，的坐标；(2)求与所成角的余弦值.题型二几何体中的数量积（基底法）【解题技巧】通法：在正方体、棱柱、棱锥中求数量积，先选从同一顶点出发的三条不共面棱为基底a,b,c，把目标向量沿棱走出来（如AC1=AB+1．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：

(1);(2).2．如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.(1)用，，表示向量；(2)用，，表示向量；(3)若，，，求.3．如图，在三棱柱中，，，，点满足.

(1)用表示；(2)若三棱锥的所有棱长均为，求及.4．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．

(1)用分别表示．(2)若，求：（ⅰ）；（ⅱ）．5．．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．6．平行六面体，(1)若，，，，，，求长；(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．7．如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．

(1)用，，表示向量，并求的模长；(2)求证：，．8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．

(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值．题型三投影向量【解题技巧】通法：a在b上的投影向量等于(a·b)/|b|2·b，即|a|cosθ乘b方向的单位向量；解题固定三步：先算a·b，再算|1．已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（

）A． B．2 C．1 D．2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．3．已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______.四、解答题题型四数量积求模长与距离【解题技巧】通法：求线段长统一平方转化：|AB|2=AB·AB1．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（

）A． B． C． D．2．如图，在大小为45°的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是（

）A． B． C．1 D．3．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________.4．如图，已知线段在平面内，，且，则___________.

5．如图，平行六面体中，，，则线段的长度是______.6．如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______．7．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______．8．已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.9．在如图所示的平行六面体中，，．

(1)求的长度；(2)求二面角的大小；(3)求平行六面体的体积．题型五数量积与夹角【解题技巧】通法：求夹角套cosθ=(a·b)/(|a||b|)（θ为夹角），三步：化简a·b、分别求模、代入求角；异面直线所成角取|cosθ|且范围[0,π/2]，向量夹角范围1．已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．2．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．题型六垂直、最值与范围【解题技巧】通法：垂直⟺数量积为零：坐标法令a·b=x11．在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（

）A． B． C． D．3．已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为(

)A．4 B．12 C．8 D．64．如图所示，直三棱柱的侧棱长为，底面边长，且，点在棱上且，点在棱上，则的最小值为（

）A． B． C． D．《1.1.2空间向量的数量积运算常见的六种题型（突破卷）》参考答案题型一数量积的概念与运算律1．D【详解】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同，则和不相等，故④错误.故选：D.2．BD【详解】A选项，因异面直线夹角范围为，故A错误；B选项，由图可知，又，则，故B正确.C选项，由题可得，，则，故C错误；D选项，，因.又，则，故D正确.故选：BD3．ABC【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，由Q为的重心，得，则，于是，即，B正确；对于C，若，，则，C正确；对于D，由四面体的各棱长都为2，得，，则，D错误．故选：ABC4．(1)(2)【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，，故；（2）.5．(1)(2)【详解】（1）因为向量，所以，解得：，，则，，又因为，则，解得，所以（2）由（1）知，所以，，则，，，即与所成角的余弦值题型二几何体中的数量积（基底法）1．(1)(2)【详解】（1）因为空间四边形的每条边和对角线都等于1，所以，因为点分别是的中点，所以，所以.（2）因为，所以.2．(1)(2)(3)【详解】（1）.（2）.（3），，，.3．(1)(2)，【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为三棱锥的所有棱长均为，所以，所以，所以，所以，所以.4．(1)，(2)（i）；（ii）【详解】（1）如图，连接，

因为六边形为正六边形，所以，则，所以，；（2）因为六边形为正六边形，所以，又，所以，（i）；（ii）因为，所以.5．(1)，(2)【详解】（1），则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.6．(1)；(2).【详解】（1），，，，∴，；（2）∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，设与所成的角为，则.7．(1)；(2)，所以，所以，同理可证，所以.【详解】（1），，所以；（2）略8．(1)(2)【详解】（1）由题意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的长为，（2）∵，∴，∴，，∴，即与夹角的余弦值为．题型三投影向量1．A【详解】在上的投影向量的模为，因为，，所以，，所以投影向量的模为，故选：A.2．A【详解】因为空间向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量是，故选：A3．0【详解】空间三点，，，则有，，，所以，向量在向量上的投影向量的模为0.故答案为：0题型四数量积求模长与距离1．B【详解】由，得，所以．由四点共面，知，解得．又，，∵，∴．故选：B．2．D【详解】因为四边形，都是边长为1的正方形，所以有，因为四边形，都是边长为1的正方形，所以有，因为二面角大小为45°，所以有，因此，因为，所以，因此有.故选：D3．【详解】由已知，，,，所以，所以,故答案为：4．【详解】由于，在平面内，所以,又所以,由于,所以,所以，故答案为：5．【详解】由题知，所以，所以，即，所以线段的长度是.故答案为：6．【详解】由题意可知，，则∠BFC为二面角的平面角，故．又，故异面直线BF，ED所成角也为．∵，∴，∴．故答案为：7．【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，且所以,所以，，，的长．故答案为．8．【详解】为的重心，设中点为，，，，，.故答案为：.9．(1)(2)(3)【详解】（1）方法一：根据图形可知：，则；方法二：如图建系，

，，设，，而，，，（2）

方法一：作，则等于二面角的一个平面角，因为，，则，易知，所以，所以，即二面角的大小为；方法二：，，设平面和平面的一个法向量分别为，，，二面角的大小为．（3）方法一：由（2）知平面，而四边形的面积，则平行六面体的体积.方法二：设在底面ABCD上的射影为点，，在的平分线上，由三余弦定理，，．题型五数量积与夹角1．【详解】由题意可知，，且与不共线．由，解得．若与共线，则，即，则，与方向相反需要舍去，因此实数的取值范围为．故答案为：2．(1)由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．因为为中点，所以，所以，，所以，所以．(2)．【详解】（1）略（2）由（1）得，，，，，所以与所成角的余弦值为．题型六垂直、最值与范围1．B【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径，所以，，，因为，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以当为正方体顶点时，有最大值为；当为内切球与正方体的切点时，有最小值为，即，，所以，故选：B.2．A【详解