2026-2027学年安徽省阜阳市太和县第八中学高二上学期自测（9月）数学试卷

/2026-2027学年安徽省阜阳市太和县第八中学高二上学期自测数学试卷（9月）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.△ABC中，D为AB上一点且满足，P为直线CD上一点，且，则x的值是（）A. B. C.或

D.2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=3，点M为A1B1的中点，则异面直线BM与AC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.3.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，点P（-6，-8）为角α终边上一点，则cosα=（）A. B. C. D.4.若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b=（）A.1 B.-1 C.2 D.-25.若对于任意的实数x∈R都有cos（x-θ）=sinxcosθ+cosxsinθ成立，则θ的值可能是（）A. B. C. D.06.已知，若，则=（）A.（1，-2） B.（1，0） C.（3，-2） D.（6，-2）7.化简cos15°cos45°-cos75°sin45°的值为（）A. B. C.- D.-8.已知ω∈R，函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A.A=0.5 B.ω=2 C.φ= D.f（0）=10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）A.若A＞B，则sinA＞sinB

B.若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解

C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＜c2

D.若sin2A=sin2B，则此三角形为等腰三角形11.下列说法正确的有（）A.△ABC中，AB=5，A=60°，，则满足条件的△ABC的个数为2

B.若，则关于α的方程有一解

C.

D.锐角△ABC中，AB=5，AC=4，则BC的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.已知，，则sin2α=

.13.已知，则=

，向量与向量的夹角=

.14.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则sinα+cosα=

.​

15.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，b+c=3，向量=（2cos2A+3，2），=（2cosA，1），且∥．则△ABC的面积是

．四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

（1）已知角α终边上一点，且，求cosα和tanα的值．

（2）已知α是第三象限的角，且，

①化简f（α）；②若，求f（α）．17.(本小题15分)

已知函数.

（1）完善下面的表格并作出函数f（x）在[0，π]上的图象：0πxf（x）1（2）解不等式

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD，PB=8，BC=4，E为PA的中点，F为PD上靠近点P的三等分点.

（1）设平面PAB∩平面PCD=l,证明：CD∥l.

（2）作出平面BEF与棱PC的交点，并说明作法与理由.

（3）当2≤BD≤2时，作出二面角B-PC-D的平面角，并求二面角B-PC-D的正弦值的取值范围.19.(本小题17分)

设函数f（x）的定义域为D，I⊆D，如果f（x）满足：任意x1，x2∈I，均有|f（x1）-f（x2）|≤1成立，则称f（x）是在I上的“密切函数”.

（1）判断函数是否为[-1，3]上的“密切函数”；

（2）某市拟在直线段道路OP一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段OAB，是函数的图象；第二部分为曲线段BC，是函数且a≠1）的图象.

（i）求点B的坐标；

（ii）为确保分流车道不至于偏离道路OP过远，要求分流车道对应的函数是在x∈[0，10]上的“密切函数”，求符合要求的实数a的取值范围.

1.【正确答案】A

2.【正确答案】A

3.【正确答案】D

4.【正确答案】A

5.【正确答案】A

6.【正确答案】A

7.【正确答案】A

8.【正确答案】C

9.【正确答案】AB

10.【正确答案】AB

11.【正确答案】BCD

12.【正确答案】-

13.【正确答案】2

14.【正确答案】

15.【正确答案】

16.【正确答案】（本小题满分12分）

解：（1）∵sinα==y．由=，解得y=．

∴P（-，），r=．

∴cosα=-，tanα=-．（6分）

（2）①

=

=-cosα．

②由cos（α-π）=得：cos[-2π+（α+）]=cos（+α）=-sinα=．

∴sinα=-．

∵α是第三象限的角，

∴cosα＜0．

∴f（α）=-cosα===．（12分）

17.【正确答案】解：（1）表格如下：

0

π

x

0

πf（x）

010-1

图象如下：

（2）由得，

所以，

解得，

所以不等式

的解集为．

18.【正确答案】解：（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，

所以CD∥BA，

因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以CD∥平面PAB，

因为CD⊂平面PCD，

又平面PAB∩平面PCD=l,

所以CD∥l.

（2）设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH，

连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM，

因为F为PD上靠近点P的三等分点，

所以F为PM的中点，

所以EF∥AM，

因为EF⊄平面AMO，AM⊂平面AMO，

所以EF∥平面AMO，

同理可证BF∥平面AMO，

因为BF∩EF=F，

所以平面BEF∥平面AMO．

因为平面BEF∩平面PCD=FH，平面AMO∩平面PCD=MC，

所以FH∥MC，

因为F为PM的中点，

所以H为PC的中点．

（3）过点D作DN⊥BC，垂足为N，过点N作NI⊥PC，垂足为I，连接DI，

因为PB⊥DN，DN⊥BC，PB∩BC=B，

所以DN⊥平面PBC，

所以DN⊥PC，

因为NI⊥PC，DN∩NI=N，

所以PC⊥平面NID，则PC⊥ID，

所以∠NID为二面角B-PC-D的平面角，

在Rt△PBC中，，

由底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD，得CD⊥BD，

所以，

由等面积法可得，

由△BDC∽△DNC，△CNI∽△CPB，

所以，，

则，

令BD=x,，

在Rt△NID中，则，

令，，则f（x）在上单调递增，

所以，，

所以二面角B-PC-D的正弦值的取值范围为．

19.【正确答案】解：（1）由题意知，函数，

那么函数f（x）在[-1，3]上单调递增，

因此，

因此．

所以∀x1，x2∈[-1，3]，有|f（x1）-f（x2）|≤1．

因此是[-1，3]上的“密切函数”．

（2）（i）根据图可知，g（x）在x∈[0，5]上的最大值为，所以．

又因为，那么函数，所以sin3ω=1．

由于，因此，

那么，所以函数．

因此，所以．

（ii）由于函数h（x）过点，因此，那么，

因此函数．

设函数，那么函数u（x）在其定义域上单调递减