2026-2027学年福建省厦门市厦门第六中学高二上学期每周一见素养提升数学试卷

/2026-2027学年福建省厦门第六中学高二（上）每周一见素养提升数学试卷（9.18）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,，，则下列向量中与相等的向量是（

）A. B.

C. D.2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=2，则AC1的长为（）A.

B.

C.

D.3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若，则x+y+z=（）

​​​​​​​A.1 B.2 C. D.4.已知，，，若P，A，B，C四点共面，则λ=（）A.3 B.-3 C.7 D.-75.已知x,y∈R，向量，，，且，，则=（）A. B. C.4 D.36.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是（）A.A1O∥EF

B.A1O⊥EF

C.A1O∥平面EFB1

D.A1O⊥平面EFB17.直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A. B. C. D.8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线A1C1与AB1间的距离为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60o，M为A1C1与B1D1的交点，若=，=，=，则下列正确的是（）A.

B.

C.AC1的长为

D.cos＜，＞=10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则（）A.B1C⊥BD1

B.点E到直线B1C的距离为

C.直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为

D.点C1到平面B1CE的距离为

11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（）

​​​​​​​A.直线BD1⊥平面A1C1D

B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值

C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是

D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设，是两个不共线的空间向量，若=2，，=，且A，C，D三点共线，则实数k的值为

．13.已知向量，满足，，且，则在上的投影向量的坐标为

.14.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，，AC1与平面EFG交于点M，则=

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设，.

（1）若，，求；

（2）求与的夹角的余弦值；

（3）若与互相垂直，求k.16.(本小题15分)

如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．

（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．17.(本小题15分)

如图1，五边形ABCEF中，AC∥EF，AC⊥CE，AB⊥BC，AC=2BC=2CE=4.将三角形ABC沿AC翻折，使得平面ABC⊥平面ACEF，如图2.

（Ⅰ）求证：平面ABF⊥平面BCE；

（Ⅱ）记直线AF与平面BEF所成角为θ.若，求EF长.18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F分别为CC1，BC的中点.

（1）求异面直线A1B与EF所成角的余弦值；

（2）求点B1到平面AEF的距离；

（3）求平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值.19.(本小题17分)

如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，AD⊥AE，AE=.将△ADE沿AD翻折至△ADP，如图2.点M在线段PD上运动.

（1）若PM=MD，证明：PB∥平面MAC；

（2）若AM⊥CD，且VM-ABP=2VM-ACD，证明：平面PAD⊥平面PCD；

（3）求二面角P-CD-A的余弦值的最小值.

1.【正确答案】A

2.【正确答案】C

3.【正确答案】A

4.【正确答案】C

5.【正确答案】D

6.【正确答案】B

7.【正确答案】B

8.【正确答案】C

9.【正确答案】BD

10.【正确答案】AC

11.【正确答案】ABD

12.【正确答案】

13.【正确答案】

14.【正确答案】

15.【正确答案】解：（1）因为=（-2，-1，2），∥，

可设=（-2λ，-λ，2λ），

则||==3|λ|=3，解得λ=±1，

所以=（-2，-1，2）或=（2，1，-2）．

（2）因为==（1，1，0），==（-1，0，2），

所以cos＜，＞===-．

（3）k+=（k-1，k,2），k-2=（k+2，k,-4），

又因为（k+）⊥（k-2），

所以（k+）•（k-2）=k2-k•-2=2k2+k-10=0，

解得k=2或k=-．

16.【正确答案】证明：（1）=+，=+．

因为BB1⊥平面ABC，

所以•=0，•=0．

又△ABC为正三角形，

所以＜，＞=π-＜，＞=π-=．

因为•=（+）•（+）

=•+•++•

=||•||•cos＜，＞+=-1+1

=0，

所以AB1⊥BC1．

解：（2）由（1）知•=||•||•cos＜，＞+=-1．

又||===||，

所以cos＜，＞==，

所以||=2，

即侧棱长为2．

17.【正确答案】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ACEF，且CE⊂平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，AC⊥CE，则CE⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，所以CE⊥AB，

又BC⊥AB，且CE∩BC=C，CE，BC⊂平面BCE，所以AB⊥平面BCE，

又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面BCE．

（Ⅱ）解：如图，过点B作BO⊥AC于点O，则结合（Ⅰ）得AC，CE，BO两两垂直，

则以C为原点，直线AC，CE，BO的平行线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，

在Rt△ABC中，由AC=2BC=4，，则，

则在Rt△BOC中，得，

设EF=a,则A（4，0，0），，E（0，2，0），F（a,2，0），

所以，，，

设平面BEF的一个法向量为，

则，

令，则x=0，z=2，所以，

所以sinθ=|cos＜＞|=，解得a=4，即EF=4，

所以EF长为4．

18.【正确答案】解：（1）由题意可知AB、AC、AA1两两垂直，

如图所示建立空间直角坐标系，

则A1（0，0，2），B（2，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），

即，

所以=，

即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为；

（2）由（1）知：，

设面AEF的一个法向量为，

则由，，有，

取y=-1，可得x=1，z=2，即，

所以点B1到平面AEF的距离为；

（3）由（1）知：，

设面A1EB的一个法向量为，

则由，，有，

取c=2，可得b=1，a=2，即，

设平面AEF与平面A1EB夹角为α，

则cosα==，

即平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值．

19.【正确答案】解：（1）证明：如图，作出符合题意的图形，

连接AC，BD相交于点O，连接OM，

四边形ABCD为菱形，所以O为BD中点，

又M为PD中点，所以PB∥OM，

又OM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，所以PB∥平面MAC．

（2）证明：如图，作出符合题意的图形，

因为VM-ABP=2VM-ACD，有VB-AMP=2VC-AMD，

所以VC-AMP=2VC-AMD，得S△AMP=2S△AMD，

有M是PD靠近D的三等分点，则，

又AD⊥AP，，AD=1，所以，

，，

则AM2+DM2=AD2，即AM⊥DM，AM⊥PD，

又AM⊥CD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD，又AM⊂平面PAD，所以平面