2026-2027学年福建省厦门市厦门第一中学集美分校高二上学期阶段性检测（10月）数学试卷

/2026-2027学年福建省厦门第一中学集美分校高二（上）阶段性检测数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过A(2,0)、B(0,3)两点的直线方程是(

)A.x2+y3=1 B.x32.已知a=(4,3,2)，b=(2,32,t)A.−1 B.12 C.−123.若直线y=kx+b与直线y=3A.−3 B.3 C.13 D.4.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，A.−12a+12b+c5.若直线l过原点O，且直线l的方向向量u=(2,0,1)，则点P(1,1,1)到直线l的距离为(

)A.33 B.305 C.6.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC、AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为(

)A.π4

B.π3

C.π27.设A(−2,3)，B(1,2)，若点P(x,y)A.[−2,3] B.(−2,3)

C.(−∞,−2]∪[3,+∞) D.(−∞,−2)∪(3,+∞)8.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6A.−23BC

B.23BC

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：y=−x+4A.l在y轴上的截距为4 B.点(2,2)在l上

C.l的一个方向向量为v=(1,1) D.l的倾斜角为10.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,2,1)A.向量a与向量b的夹角为π6 B.c⊥(a−b)

C.向量a在向量b上的投影向量为12b11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是A.当M点与A1点重合时，直线AC1⊂平面ACM

B.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值

C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CC1D1D夹角的正弦值为53

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点P(1,2)且倾斜角为90°的直线方程为

．13.已知三点A(2,−3)，B(4,3)，C(5,k)三点共线，则实数k的值为14.在三棱锥P−ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB=2，PC=3，D为棱四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，b=AC．

(1)求|b|，a⋅b16.(本小题15分)

已知△ABC的三个顶点为A(−2,1)，B(1,4)，C(0,−1)．

(1)求证：△ABC为直角三角形；

(2)17.(本小题15分)如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，∠A1(1)用a，b，c表示BM，并求BM的长；(2)求异面直线BM与AC所成角的余弦值．18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2．

(1)证明：PB/​/平面DEF；

(2)求直线PA19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

(2)若点F为棱B1C1的中点，求直线

1.【正确答案】A

2.【正确答案】D

3.【正确答案】D

4.【正确答案】B

5.【正确答案】B

6.【正确答案】C

7.【正确答案】C

8.【正确答案】D

9.【正确答案】ABD

10.【正确答案】BC

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】x=113.【正确答案】6

14.【正确答案】3215.【正确答案】(1)a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，

故|b|=5，

a⋅b=(1,1,0)⋅(−1,0,2)=−1；

(2)ka+16.【正确答案】解：(1)由A(−2,1)，B(1,4)，C(0,−1)，

法(i)可得AB=(1+2)2+(4−1)2=32，BC=(1−0)2+(4+1)2=26，AC=(0+2)2+(−1−1)2=22，

则AB2+AC2=BC2，

所以△ABC为直角三角形；

17.【正确答案】解：(1)在平行六面体ABCD−因为AB=AD=2，AA1=1，且所以|a因为∠DAB=90°，∠A所以a⋅因为M为A1C1与B1D所以A1所以BM=即(=1所以BM=(2)因为AC=所以|AC所以BM=−2−0+0+2+1+1=2，设异面直线BM与AC所成的角为θ，则cosθ=所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为6

18.【正确答案】(1)证明：由题意知E、F分别是BC、CP的中点，则得PB/​/EF，

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB/​/平面DEF．

(2)解：由PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则以A点为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，

所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)

设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z)，

则DE⋅n=y2=019.【正确答案】解：(1)证明：连接AC1，因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，则BD⊥AC，

已知C1在平面ABC内的射影为D，所以C1D⊥平面ABC，

又C1D⊂平面ACC1A1，则平面ACC1A1⊥平面ABC，

平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，

所以BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，则BD⊥A1C，

由题设知四边形AA1C1C为菱形，则A1C⊥AC1，

因为D，E分别为AC，CC1中点，则DE/​/AC1，

则A1C⊥DE，又BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，

所以A1C⊥平面BDE．

(2)已知C1在平面ABC内的射影为D，

所以C1D⊥平面ABC，

由题设知四边形AA1C1C为菱形，D是线段AC的中点，

所以△ACC1为正三角形，

由BD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，则C1D⊥BD，C1D⊥AC，

又因为△ABC为等边三