2026-2027学年福建省厦门市外国语学校高二上学期阶段性检测（10月）数学试卷

/2026-2027学年福建省厦门外国语学校高二（上）阶段性检测数学试卷（10月）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在空间直角坐标系中，点（4，-1，2）关于x轴对称的点的坐标是（）A.（-4，-1，2） B.（-4，1，-2） C.（4，1，-2） D.（4，-1，-2）2.若两平行直线x+my+2=0与2x-4y+n=0（n＞0）之间的距离是，则m+n=（）A.-2 B.-12 C.12 D.143.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BB1=3，则=（）A.1 B.2 C.3 D.44.设直线l的方程为x-ycosθ+1=0，则直线l的倾斜角α的范围是（）A.[0，π） B. C. D.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（）A.（1，-1，3）

B.（1，-1，-3）

C.（2，-3，6）

D.（-2，3，-6）6.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=A1B1=1，且，若BB1⊥平面ABC，则点B到直线AC1的距离为（）A.

B.

C.

D.7.过定点A的直线（a+1）x-y+2=0与过定点B的直线x+（a+1）y-5a-2=0交于点P（P与A、B不重合），则△PAB面积的最大值为（）A.4 B. C.2 D.8.如图，四边形ABCD，AB=BD=DA=，BC=CD=1，将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的值属于区间时，直线AB和CD所成角为α，则cosα的最小值为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.对于直线l1：ax+2y+3a=0和直线l2：3x+（a-1）y+3-a=0.以下说法正确的有（）A.直线l2一定过定点（-，1）

B.若l1⊥l2，则a=

C.l1∥l2的充要条件是a=3

D.点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为510.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，记各面的对角线为它的面对角线，AC1，A1C，BD1，B1D为它的体对角线.设P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则（）A.存在面对角线与平面MNP平行

B.存在面对角线与平面MNP垂直

C.存在体对角线与平面MNP平行

D.存在体对角线与平面MNP垂直

11.正三棱锥S-ABC中，，SA=3，点M在底面△ABC内运动（含边界），M到棱SA，SB，SC的距离分别为d1，d2，d3，若，则（）A.S-ABC的体积为 B.S-ABC外接球的体积为27π

C.MS的长度为定值 D.M的运动路径的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为

．13.如图，在△ABC中，，BC=6，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于

.

14.已知正四面体ABCD的棱长为，用满足MA2+MB2=MC2+MD2的动点M构成的平面截正四面体ABCD，所得截面多边形的周长为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4），C（0，6）．

（1）求BC边上的高所在的直线方程；

（2）求△ABC的面积．16.(本小题15分)

如图，在四面体OABC中，OA=OB=2，，∠AOB=60°，∠AOC=∠BOC=45°，点E、F分别为OA、BC的中点，设，，.

（1）将用基底表示，并求其模长；

（2）若，，求证：E、F、G、H四点共面.17.(本小题15分)

如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥D1-ABCM（如图2），使得平面AMD1⊥平面ABCM.

（1）求证：AD1⊥BM；

（2）若点E是线段D1B上的一动点，当点E在何位置时，二面角E-AM-D1的余弦值为.18.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），过点P（6，2）作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B.

（1）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；

（2）已知点Q（a,b）在线段OP（包括端点）上运动，求（a-2）2+（b+2）2的取值范围；

（3）求△OAB面积的最小值.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=2，E为PD的中点.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥P-ABCD在点A的曲率为.

①求证：平面PAD⊥平面ABCD；

②在直线BP上是否存在点Q，使得EQ⊥平面PAC，若存在，求BQ的长；若不存在，说明理由.

1.【正确答案】C

2.【正确答案】C

3.【正确答案】B

4.【正确答案】C

5.【正确答案】A

6.【正确答案】C

7.【正确答案】B

8.【正确答案】A

9.【正确答案】ABD

10.【正确答案】AD

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】2x-y=0或x-y+1=0

13.【正确答案】

14.【正确答案】

15.【正确答案】解：（1）直线BC的斜率，则BC边上高所在直线斜率，

则BC边上的高所在的直线方程为，即3x+2y-1=0．

（2）BC的方程为，2x-3y+18=0．

点A到直线BC的距离，，

则△ABC的面积．

16.【正确答案】解：（1），

则

=，

所以；

（2）证明：由题意知，，

因为，所以，

所以，，

，

不妨设，

即，

因为、、不共面，由空间向量基本定理可得，解得，

即，

根据共面向量定理，、、共面且有公共点G，

所以E、F、G、H四点共面．

17.【正确答案】（1）证明：在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，

则，平面AMD1⊥平面ABCM，平面AMD1∩平面ABCM=AM，

且BM⊂平面ABCM，由AM2+BM2=4=AB2，得BM⊥AM，

则BM⊥平面AMD1，又AD1⊂平面AMD1，

所以AD1⊥BM

（2）点E是线段D1B靠近D1的三等分点

18.【正确答案】解：（1）因为射线OA：x-y=0（x≥0），

所以设A（x1，x1）、B（x2，0），且x1＞0，x2＞0．

当AB的中点为P时，则，

解得x1=4，x2=8，

所以A（4，4）、B（8，0）．

所以kAB==-1，

所以直线AB的方程为y=-（x-8），

即一般式方程为：x+y-8=0；

（2）由O（0，0）、P（6，2），得线段OP的方程为：x-3y=0（0≤x≤6），

因为点Q（a,b）在线段OP（包括端点）上运动，

所以a-3b=0（0≤a≤6），则，

因此=，

因为二次函数的开口向上，对称轴方程为，

所以函数f（a）在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因此，当时，f（a）有最小值，最小值，

f（0）=8，f（6）=32，

所以f（a）max=f（6）=32，

故（a-2）2+（b+2）2的取值范围是；

（3）当过点P（6，2）的直线斜率不存在时，A（6，6）、B（6，0），

此时．

当过点P（6，2）的直线斜率存在时，

设直线AB的方程为y-2=k（x-6）（k≠1，k≠0），即y=kx-6k+2．

直线AB与x-y=0（x≥0）相交，

由，得，

可得，

直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．

由，解得k＞1或k＜0．

则．

令t=6k-2，则（t＞4或t＜-2），

可得=，

由t＞4或t＜-2，可得或，

根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为，

此时面积有最小值，且，

此时k=-1，A（4，4）、A（8，0）符合题意．

综上所述，△OAB面积的最小值为16．

19.【正确答案】取PA的中点F，连接EF，BF，

又E为PD的中点，则EF∥AD，且，

又△PAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，BC=AB=2，

则，BC∥AD，所以EF∥BC，且EF=BC，

所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF，

又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB

①由题意知，，

又△PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形，

则，，所以，即AB⊥PA，

又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PAD．

②取AD的中点O，连接PO，CO，则PO⊥AD，CO⊥AD，

又平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，所以PO⊥平