2026-2027学年湖南省衡阳市衡阳县第五中学高一上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（）A.1 B. C.15 D.256.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（）A.20 B.30 C.40 D.607.集合，，的关系是（）A. B.C. D.8.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.，则D.若，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.下列命题是真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，且，则11.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“若，则关于x的方程有实数根”的否定D.若，则且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数已知x<2，则的最大值是______.13.当时，，就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有非空子集中，为具有“匹配关系”集合的个数是__________.14.如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，或，.（1）求；（2）若，求m的取值范围.16.已知命题，；命题，.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.17.如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为.（1）已知，求常数、的值；（2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围.18.已知，，.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.19.对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列"（1）对于，试求的"下位序列";（2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论；（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：直接根据并集含义即可得到答案.解答过程：由题意得.故选：C.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据特称命题的否定即可得到答案.解答过程：根据特称命题的否定，可得命题的否定为“”.故选：D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出集合、，再求交集即可.解答过程：，，.故选：B.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：解不等式后根据充分条件、必要条件求解.解答过程：因为，且，但推不出，所以是的充分不必要条件，故选：A5.已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（）A.1 B. C.15 D.25答案：D解析：解答过程：，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.6.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（）A.20 B.30 C.40 D.60答案：B解析：思路：先根据题意列出一年的总运费与总存储费用之和的关系式，然后利用均值不等式进行求解.解答过程：某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，即吨时，等号成立，所以每次购买吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.故选：B.7.集合，，的关系是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论.解答过程：任取，则，，所以，所以，任取，则，，所以，所以，所以，任取，则，，所以，所以，又，，所以，所以，故选：C.8.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.，则D.若，则答案：D解析：思路：根据不等式的性质、结合作差法比较大小或取特殊值判断即可.解答过程：对于A，由，得，则，A错误；对于B，由，得，而，则，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，由，得，因此，D正确.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：ACD解析：思路：根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可.解答过程：对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，则，故B错误；对于C，若，则，则，故C正确；对于D，若，又，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10.下列命题是真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，且，则答案：ABD解析：思路：利用不等式的性质逐项判断即可．解答过程：对于A，由于，所以，故A正确；对于B，由于，则的两边同乘以，得，故B正确；对于C，由于，故，即，故C错误；对于D，由于，，故，，则，，所以，故D正确．11.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“若，则关于x的方程有实数根”的否定D.若，则且答案：ABD解析：解答过程：满足，所以命题“若，则”为真命题，A正确；由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；因为，所以，所以时，方程有实数根，故命题“若，则关于x的方程有实数根”为真命题，所以该命题的否定为假命题，C错误；因为，所以且，所以命题“若，则且”为真命题，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数已知x<2，则的最大值是______.答案：解析：思路：将原式变形为，利用基本不等式求出的最小值，进而可得的最大值.解答过程：解：，，，又，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是.故答案为.方法提示：本题考查基本不等式求最值，当积不是定值的时候，需要凑项来得积为定值，是基础题.13.当时，，就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有非空子集中，为具有“匹配关系”集合的个数是__________.答案：7解析：思路：根据题意列举出满足条件的集合，即可得解.解答过程：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，因此由具有“匹配关系”集合的定义可得，集合的子集中为具有“匹配关系”集合的有，，，，，，，共7个.14.如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h.答案：30解析：解答过程：记热带风暴中心t小时后到达点B处，如图，自B向x轴作垂线，垂足为C.由题意，知km，则km，km.若在点B处受到热带风暴的影响，则km，即，可得，解得，所以该码头将受到热带风暴影响的时长为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，或，.（1）求；（2）若，求m的取值范围.答案：（1）（2）{或}解析：思路：（1）根据补集、并集的知识求得正确答案.（2）对进行分类讨论，由此求得的取值范围.（1），或，，所以.（2），若，，则，满足.若，，则或解得或.综上所述，m的取值范围是或.16.已知命题，；命题，.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由为真命题，构造不等式即可求解；（2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解.（1）由题意得，，为真命题，则，即，故为真命题时，的取值范围为.（2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，；当为真命题时，，即，所以为假命题时，；若同时为假命题，则，所以若至少有一个真命题时，.17.如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为.（1）已知，求常数、的值；（2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围.答案：（1），（2）或（单位：）解析：思路：（1）求出、，利用矩形的面积公式可得出关于的二次函数关系式，即可得出实数、的值；（2）根据题意列出关于的不等式组，解出的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围.（1）解：易知矩形与矩形全等，，所以，，，所以，，又因为，所以，，所以，，又因为，则，.（2）解：由（1）可知，，解得，因为蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，则，整理可得，解得或，因为，当时，；当时，.所以，或（单位：）.18.已知，，.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.答案：（1）5（2）8（3）5解析：思路：（1）由条件解出消去，并用界定的范围，再用基本不等式求的最小值，最后验证等号能取到.（2）由把目标式化为，用基本不等式求最小值并验证等号成立.（3）先由得以保证各项为正，再把、分别拆配为、，用基本不等式求和的最小值并验证等号能取到.（1）因为，，，所以，所以解得，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为5.（2），当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为8.（3）因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为5.19.对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列"（1）对于，试求的"下位序列";（2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论；（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值.答案：（1）（2），证明如下：由题意可知此时取，