2026-2027学年广东省部分校高三上学期9月供题训练（C1）数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，则（）A. B.9 C. D.44.已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（）A. B. C. D.5.设甲：，乙：，，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（）A.81本 B.84本 C.87本 D.90本7.三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.设函数的图象与函数的图象关于直线对称，则在点处的切线方程为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.有一组样本数据，，，，这组样本数据的中位数为，则（）A.，，，，的极差等于，，，的极差B.，，，，的平均数等于，，，的平均数C.，，，，的中位数等于，，，的中位数D.，，，，的标准差等于，，，的标准差10.已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（）A. B.的方程为C.若圆心在上，则圆与相切 D.若圆与相切，则圆心在上11.已知，，…，均为有限实数集，记中的最大元素为，对，都有．若，则（）A. B.C.中的元素个数为 D.中所有元素的和为752三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正四棱台上下底面正方形的边长分别为1和2，该正四棱台的高为3，则该正四棱台体积为__________．13.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________．14.三个编号为1，2，3的不同小球，全部随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子可放任意数量的小球（允许空盒）．规定：若一个盒子为空盒，得0分；若不是空盒子，则得分为盒内小球编号的最小值．记三个盒子的总得分为，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记为数列的前项和，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求数列的通项公式．16.如图，等腰梯形中，，，沿对角线折叠，使平面平面．为中点，为的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.在某学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行（为正整数）局比赛，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）若，时，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列；（2）记事件表示“乙最终获胜”，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．（ⅰ）若，，求，；（ⅱ）求．18.已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程；（3）证明：点在直线上．19.已知函数．（1）当，时，求的单调区间；（2）当时，有，求的最大值；（3）若满足，则称为函数的不动点．（ⅰ）当，，时，，使得既是的极值点，也是的不动点，求的值；（ⅱ）是否存在，，使得有两个相异的极值点均为的不动点？请说明理由．

数学本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：集合，所以，故A正确；元素与集合之间没有子集与真子集关系，故CD错误.2.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：3.已知向量，，且，则（）A. B.9 C. D.4答案：B解析：思路：由向量垂直的坐标表示列方程求x.解答过程：∵，，，∴，∴，故选：B.4.已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出右焦点坐标及渐近线，再利用点到直线距离公式计算求解.解答过程：双曲线：的右焦点为，渐近线为，则点到直线的距离为．点到直线的距离为．所以到的两条渐近线的距离之和为.5.设甲：，乙：，，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：思路：根据充分条件与必要条件的定义即可确定选项.解答过程：若乙成立，即，，则，根据正弦的诱导公式可得：，故：乙甲成立，即甲是乙的必要条件.若甲成立，即，令，，满足，但，不满足，故：甲乙不成立，甲不是乙的充分条件.所以，甲是乙的必要条件但不是充分条件.6.某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（）A.81本 B.84本 C.87本 D.90本答案：C解析：解答过程：数列后7项构成等差数列，公差为d，则，，.由，得，即；①由，得.②②−①，得，即；代入②，得，即.又成等差数列，且，，故。因此9层书架图书总数为7.三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由△ABC面积为定值，得体积最大时点P到平面ABC的距离最大，即PC⊥平面ABC，再通过空间向量求异面直线所成角的余弦值.解答过程：由，，得的面积，为定值，三棱锥体积，其中为点到平面的距离，已知，故，当且仅当平面时，取最大值1，此时三棱锥体积最大，以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，由平面且，得,则，,设异面直线与所成角为，，，，，

所以

，所以直线与所成角的余弦值为.8.设函数的图象与函数的图象关于直线对称，则在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先利用互为反函数的图象关于对称求出的解析式，再通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求出切线方程.解答过程：因为与的图象关于直线对称，故是的反函数.令，由对数运算性质得，即，将互换得，.

将代入，得，故切点为.

对求导得，将代入得，即切线斜率.由直线的点斜式方程得，整理得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.有一组样本数据，，，，这组样本数据的中位数为，则（）A.，，，，的极差等于，，，的极差B.，，，，的平均数等于，，，的平均数C.，，，，的中位数等于，，，的中位数D.，，，，的标准差等于，，，的标准差答案：AC解析：思路：根据给定条件，利用极差、中位数的意义判断AC；举例并结合平均数、标准差的意义判断BD.解答过程：将原4个样本数据从小到大排序并记为，由中位数定义，得，，对于A，两组数据的极差均为，A正确；对于B，取原数据为1,2,3,6，原平均数为，中位数，新数据平均数为，B错误；对于C，新数据共5个，排序后为，中位数为排序后的第3个数，与原数据中位数相等，C正确；对于D，取原数据为1,2,3,4，其平均数为，标准差为，而，则新数据的平均数为，标准差为，二者不相等，D错误.10.已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（）A. B.的方程为C.若圆心在上，则圆与相切 D.若圆与相切，则圆心在上答案：BCD解析：解答过程：因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误；准线的方程为，故B正确；当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得，又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确；反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点．即，故点在上，即D正确.11.已知，，…，均为有限实数集，记中的最大元素为，对，都有．若，则（）A. B.C.中的元素个数为 D.中所有元素的和为752答案：ACD解析：思路：由定义计算得到，由定义可知满足等比数列，从而求出，由定义判断与没有任何重复元素，即得到的元素个数；通过定义知道与中所有元素的和的关系，逐项求得结果.解答过程：由题意可知中的最大元素为，则，A选项正确；由题意可知，所以，B选项错误；因为有2个元素，且，所以的元素个数为个，且不存在任意两个元素差为6，所以的元素个数为个，所以中不存在任意两个元素的差为，即与没有任何重复元素，所以的元素个数为个，C选项正确；令中所有元素的和为，因为，所以，，，，，，D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正四棱台上下底面正方形的边长分别为1和2，该正四棱台的高为3，则该正四棱台体积为__________．答案：7解析：解答过程：正四棱台上底面面积，下底面面积，高，所以该正四棱台体积.13.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________．答案：解析：解答过程：设，.因为为奇函数，所以对任意，有，即；①因为为偶函数，所以对任意，有，即，整理得.②由①得.③由②③联立，得，即，故.所以.14.三个编号为1，2，3的不同小球，全部随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子可放任意数量的小球（允许空盒）．规定：若一个盒子为空盒，得0分；若不是空盒子，则得分为盒内小球编号的最小值．记三个盒子的总得分为，则__________．答案：解析：思路：写出随机变量的取值，然后根据古典概型求得对应的概率，即可求得期望.解答过程：随机变量的可取值为1,3,4,6.三个小球任意放在三个盒子里，总共有种可能；时，三个小球全部放在一个盒子里，则，时，编号1放在一个盒子，编号2放在另一个盒子，编号3跟编号1或者编号2放在一个盒子里，则，时，编号1和编号2放在一个盒子，编号3放在一个盒子，则，时，编号1、编号2、编号3各放在一个盒子，则，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记为数列的前项和，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求数列的通项公式．答案：（1）证明：由数列的前项和为，当时，；当时，，因为适合上式，所以数列的通项公式为，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）解析：思路：（1）根据题意，利用和的关系式，求得数列的通项公式为，结合等比数列的定义，即可得证；（2）设数列的公比为，根据题意，分别令和，列出方程组，求得的值，即可求解.（1）略（2）解：由数列是各项均为正数的等比数列，设数列的公比为，且，因为且，令和，可得，即，两式相除，可得，所以，则，解得，所以数列的通项公式为.16.如图，等腰梯形中，，，沿对角线折叠，使平面平面．为中点，为的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）因为，为中点，因此等腰中，又因为平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，得平面，由于平面，因此.（2）解析：思路：（1）先证明；根据面面垂直的性质定理可得平面，进而可证.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，直线的方向向量，通过向量的夹角公式计算线面角的正弦值.（1）因为，为中点，因此等腰中，又因为平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，得平面，由于平面，因此.（2）在等腰梯形中，，，，取中点，连接、，由得，结合且，可知且，且，因此四边形、四边形均为平行四边形，由平行四边形性质得，结合，可知是边长为的等边三角形，因此，，由，可得，又，所以，所以AD⊥BD，由（1）平面，又平面，所以，结合，平面，可得平面，以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

，，，，因为为中点，故，直线的方向向量，，，设平面的法向量为，则

，

令，解得，，即，设直线与平面所成角为，根据线面角的向量公式，可得

.所以直线与平面所成角的正弦值为．17.在某学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行（为正整数）局比赛，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）若，时，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列；（2）记事件表示“乙最终获胜”，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．（ⅰ）若，，求，；（ⅱ）求．答案：（1）随机变量的分布列为：（2）（ⅰ），；（ⅱ）解析：思路：（1）先确定的可能取值，再确定取各值的概率，由此可得其分布列；（2）（ⅰ）结合独立事件概率乘法公式求，，再由条件概率公式求结论；（ⅱ）结合条件概率的意义及独立事件概率乘法公式求结论.（1）当时，共进行局，是两人所赢局数之差的绝对值，的取值有，即为甲赢局乙赢局、甲赢局乙赢局，所以；即为甲赢局乙赢局、甲赢局乙赢局，所以；即为甲赢局乙赢局、甲赢局乙赢局，所以；所以随机变量的分布列为：（2）（ⅰ）若，，则，，，，所以，；（ⅱ）事件发生等价于甲赢了局，则乙赢了局，则剩余局乙需要全部获胜，才能最终总赢局数超过甲，因此，事件发生等价于甲赢了局，则乙赢了局，则剩余局中乙至少赢下局，才能最终总赢局数超过甲，因此，所以．18.已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程；（3）证明：点在直线上．答案：（1）（2）（3）证明：由题意知，点，可得因为，可得直线，所以的方程为，即，又因为，可得直线的方程为，联立方程组，整理得，因为点在直线上，可得，且代入得，即，即方程，要证得点在直线上，只需这个方程的解为，把代入上述方程，可得：左边，因为，可得，所以左边，，所以左边右边，所以是联立方程组的解，所以点在直线上.解析：思路：（1）根据题意，求得，结合椭圆的几何性质，即可求解；（2）设的方程为，联立方程组，求得，由，得到，求得，结合韦达定理，列出方程，求得的值，即可求解；（3）根据题意，分别求得直线和的方程，联立方程组，结合点在直线上，化简得到方程，进而证得是联立方程组的解，即可得证.（1）解：由椭圆，可得，则，所以椭圆的离心率为.（2）解：由题意知