2026-2027学年广东省广州市南沙区高三上学期9月月考练习数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，，则（）A.2 B. C. D.83.已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.94.设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（）A.存在无数条直线与α，β都平行B.存在无数个平面与α，β都垂直C.对任意的直线，都存在直线，使得D.对任意的直线，都存在直线，使得5.某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（）A. B.C. D.6.由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.7.已知函数有唯一零点，则A. B. C. D.18.在锐角中，，则的一个可能的取值为（）A. B. C.2 D.3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）A.若事件，互斥，则B.若事件，互斥，则C.若事件，相互独立，则D.若，则10.已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（）A.E的准线方程为B.若与E没有公共点，则C.若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上D.若，则面积的最小值为11.已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则____________.13.已知向量满足，则的最小值是______.14.设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若是奇函数，，求；（2）当时，求解方程：．16.已知公比大于的等比数列满足.（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数．（i）写出；（ii）求数列的前项和．17.已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P．（i）证明：；（ii）试判断与的位置关系，并说明理由．18.已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）．（1）证明：平面平面；（2）若，，（i）求PD的长；（ii）求平面与平面夹角的余弦值．19.已知函数，，，且．（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围；（3）若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围．

数学一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：令，解得或，则或，而，则，故A正确，由题意得，均不成立，故B，C错误，而，故D错误.2.已知复数，，则（）A.2 B. C. D.8答案：B解析：解答过程：由复数，，得，所以.

3.已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.9答案：B解析：思路：利用焦点在轴上的双曲线渐近线方程列等式求解即可.解答过程：双曲线的渐近线方程为.由题意知，解得.4.设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（）A.存在无数条直线与α，β都平行B.存在无数个平面与α，β都垂直C.对任意的直线，都存在直线，使得D.对任意的直线，都存在直线，使得答案：C解析：思路：借助于长方体模型逐一判断各选项即可.解答过程：

如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面.对于A，因，且，且，则，显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误；对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误；对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线，则，从而对平面内的任意直线，都有，即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误；

对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面，则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得，因，则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立；反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面，使，则必有，故必要性成立，故C正确.5.某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向.直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数；直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数；直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数.故此题选D.6.由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，按和分类确定曲线并求出面积.解答过程：当时，曲线，即是以为圆心，为半径的圆，面积为；当时，曲线，即是以为圆心，为半径的圆（除原点外），面积为，所以曲线围成的图形的面积为.7.已知函数有唯一零点，则A. B. C. D.1答案：C解析：思路：令，得到的解析式，判断出是偶函数，从而得到的图象关于直线轴对称，根据函数有唯一零点，得到，从而得到的方程，解出的值.解答过程：因为，设，则，函数定义域为，且，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.8.在锐角中，，则的一个可能的取值为（）A. B. C.2 D.3答案：B解析：思路：依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得.解答过程：在锐角中，，则，又，所以，又，所以，所以，所以，故符合题意的只有B.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）A.若事件，互斥，则B.若事件，互斥，则C.若事件，相互独立，则D.若，则答案：ACD解析：思路：根据互斥事件、对立事件的概率计算公式及条件概率、全概率公式求解即可.解答过程：选项A：若事件，互斥，则，A正确；选项B：，.若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此.实际（事件，互斥，），B错误；选项C：若事件相互独立，则，C正确；选项D：由得，，所以，D正确.10.已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（）A.E的准线方程为B.若与E没有公共点，则C.若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上D.若，则面积的最小值为答案：ABD解析：思路：A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理.解答过程：A选项，，则，故准线，A选项正确；B选项，设直线为，则，联立得到，，直线和抛物线无交点，则，结合，解得，B选项正确；C选项，由联立方程，若与相交于唯一点，只可能是相切，则，解得，此时，解得，进而得，则，若过焦点（如图），由于，，而，根据倾斜角的定义，，，而，此时的正切值为，即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误；D选项，当，此时直线方程为，设，则到的距离为，即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确.C选项方法二：求得，则，，则，则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误.D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可，由于，设直线为，联立，得到，由，此时直线为，由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上.11.已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：将题中的换成并化简，推出，接着求出即的通项公式，然后逐一判断即可.解答过程：，将代入题中已知条件可得，，将等式两边同时乘以并化简可推出，故B正确.，即，故A错误.数列是以1为首项，2为公差的等差数列..由，利用分子有理化可化简得.C错误，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则____________.答案：1解析：思路：根据对数的运算求解.解答过程：因为，所以，故，故113.已知向量满足，则的最小值是______.答案：4解析：思路：利用向量模的运算性质得到，再结合换元法并构造函数求解即可.解答过程：设向量的夹角为，由题意得，，则，令，则构造，且.则，令，由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，而，，则，则.所以.14.设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________．答案：解析：思路：由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望.解答过程：由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6.依题意，可得，，，，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若是奇函数，，求；（2）当时，求解方程：．答案：（1）（2），或或解析：思路：（1）由奇函数满足得到关于的方程，再验证是否满足奇函数定义.（2）利用诱导公式化简，再用二倍角公式展开，将方程转化为关于或的因式乘积形式，分别求解两个三角方程.（1）由于是奇函数，故，又，所以，当时，，故此时确实是奇函数，因此．（2），若，则，若，则，或，综上，方程的解集为．16.已知公比大于的等比数列满足.（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数．（i）写出；（ii）求数列的前项和．答案：（1）（2）（i），；（ii）解析：思路：（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式；（2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则（1）由于数列是公比大于1的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得：或（舍）.所以.（2）（i）由题意，，即，当时，，当时，；（ii）当时，，共有个，则.17.已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P．（i）证明：；（ii）试判断与的位置关系，并说明理由．答案：（1）（2）（i）证明：，故，故.（ii），理由如下：由（1）知，要证，只需证，即，得，又，所以只需证.设，因为，所以，当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则，因为，，所以将代入得，代入得.当直线的斜率存在时，设其方程为，易知，则，代入，得：，整理得，又圆与直线相切，所以，所以，，因为点在椭圆上，所以，整理得，又，所以，由，解得.综上，，即可得证.解析：思路：（1）由圆过点，得到的值，结合图形求解，即可写出椭圆方程.（2）（i）利用的面积可得，再将等式左侧通分可证；（ii）将证明，转化为证明纵坐标定值（两直线斜率相等）；分两类讨论直线：斜率不存在：直接代入椭圆方程，结合垂直条件算出；斜率存在：设直线方程，利用圆与直线相切得到；结合的向量垂直条件、点在椭圆上，联立化简，消参求出.（1）因为圆经过下顶点，所以，又，所以，所以，所以椭圆E的方程为.（2）（i）略；（ii），略.18.已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）．（1）证明：平面平面；（2）若，，（i）求PD的长；（ii）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明：如图连接交于点，连接，因四边形是边长为2的正方形，则，，根据题意，，则，，从而，又因，平面，则平面，因平面，故平面平面；（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）连接交于点，连接，因四边形是边长为2的正方形，则，，再通过得到，从而有，进而得到平面，最后证得平面平面；（2）（i）在中，由余弦定理可得，同理可得，再使用勾股定理逆定理可知，是直角三角形，最后在，中，由余弦定理求出的长；（ii）由勾股定理逆定理可知，结合（1）可得平面平面，又平面平面，平面，可得平面．结合平面，可得到，，根据面，面，可知平面与平面的交线，又，，那么即为平面与平面夹角，通过解三角形求得．（1）略（2）（i）由条件，，，结合余弦定理可得：，同理可得.因，则，是直角三角形.又，则.在，中，根据余弦定理可得:，代入数据可得，（ii），故，由（1）可得平面平面，又平面平面，平面，可得平面．结合平面，可得，，因为,平面，平面，所以面，同理可得面，设平面平面,由面，平面可得,同理可得,又因为，，所以，，故为平面与平面夹角，所以．19.已知函数，，，且．（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围；（3）若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围．答案：（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单