2026-2027学年湖南省衡阳市衡阳县第五中学高三上学期开学数学试卷（含解析）

/数学考试范围：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.23.在展开式中，常数项的二项式系数为（）A.4 B.3 C.2 D.14.已知向量，满足，，则（）A. B. C.0 D.15.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（）A. B.2 C. D.37.已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位:103km）.A类轮胎:；B类轮胎:.根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是（）A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数B.A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差C.A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数D.A类轮胎的性能更加稳定10.若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（）A.圆与圆内切 B.C.公切线l的方程为 D.公切线l的方程为11.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________.13.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________．14.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．16.同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立.（1）若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率；（2）若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？17.如图，在三棱柱中，与相交于点O，G为的中点.（1）求证：平面.（2）若O为点C在平面内的射影，，求二面角的余弦值.18.已知右焦点为的椭圆过点.（1）求的方程；（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；（3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”.（1）请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由；（2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：；（3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证.进而证明且.

数学考试范围：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出集合、，再求交集即可.解答过程：，，.故选：B.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：解答过程：法一：由题意得，所以，故C正确.法二：由题意得，故，故C正确.3.在展开式中，常数项的二项式系数为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：A解析：思路：根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出常数项即得.解答过程：二项式展开式的通项，由，得，则展开式的常数项是第2项，所以常数项的二项式系数为.故选：A4.已知向量，满足，，则（）A. B. C.0 D.1答案：B解析：思路：利用向量的线性运算求出，结合向量的模长公式求解即可.解答过程：由，，两式相加得，所以，所以，所以.5.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分离参数，构造新函数，转化为与新函数的最值关系，利用导数求出新函数最值，即可得出结论.解答过程：关于的不等式在上有解，即在上有解，设，，恒成立，即在上为增函数，.故选：C.方法提示：本题考查不等式能成立问题、应用导数求函数的最值，分离参数构造函数是解题的关键，属于中档题.6.双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（）A. B.2 C. D.3答案：D解析：思路：利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．解答过程：如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，，可知，在中，则，，，可得，由余弦定理得，整理得，即，所以双曲线的离心率为.故选：D．7.已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据给定条件，利用对数函数性质求出的范围，利用函数零点的意义，数形结合求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义求解判断.解答过程：由函数是减函数，得，即命题；由，得，依题意，直线与函数的图象有两个交点，当时，作出直线与函数的图象，如图1，由直线与函数的图象有两个交点，得，解得，当时，作出直线与函数的图象，如图2，显然，因此直线与函数的图象只有一个交点，不符合题意，综上命题.所以p是q的必要不充分条件.8.在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：证明,为直角三角形后可得的中点为外接球的球心，为半径,分别计算外接球的表面积与三棱锥的体积即可.解答过程：取的中点,连接，因为面面面所以，所以，所以，，因为面面所以面，又因为面，所以，所以，所以，所以为三棱锥的外接球的圆心,半径，所以球的表面积为，三棱锥的体积为，故.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位:103km）.A类轮胎:；B类轮胎:.根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是（）A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数B.A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差C.A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数D.A类轮胎的性能更加稳定答案：ABD解析：思路：根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.解答过程：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A正确；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为，B类轮胎行驶的最远里程的极差为，选项B正确．对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误．对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确．故选：ABD.10.若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（）A.圆与圆内切 B.C.公切线l的方程为 D.公切线l的方程为答案：ABD解析：思路：A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程.解答过程：圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切.圆：的圆心为，半径为，圆：（），即，圆心，半径为.A项，将代入方程左边得，则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确；B项，圆，由圆与内切，所以，由，即，解得，故B正确；CD项，，得，则公切线斜率为，法一：联立方程和，解得，所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为，即．法二：①；②，两圆方程作差得，即．设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程，又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直，故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线.故C错误，D正确．故选：ABD．11.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减答案：ABD解析：思路：首先化简函数，再根据函数的图象求函数的解析式，结合三角函数的性质，即可判断A，B；利用图象平移求函数的解析式，再结合函数的性质，即可判断C，D.解答过程：函数，当，此时，，因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数图象向左平移个单位长度后得到，，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________.答案：解析：思路：利用三角形面积公式结合余弦定理化简即可求解.解答过程：，，且，，则.又，.13.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________．答案：解析：思路：首先根据条件求出，进而可求得，再用点斜式写出切线方程，化简转换即可得到一般式方程．解答过程：把代入，解得，即，由的斜率为2，得到，，，即所求切线的斜率为6，又，即所求直线与的切点坐标为，则所求切线的方程为，即．14.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________．答案：解析：思路：根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可.解答过程：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的点，且，设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得，将代入抛物线方程，解得，由对称性不妨取，设，则，，因为，则，解得，即，所以，所以的面积，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用与的关系消去得到数列递推式，构造等比数列，即可求得数列通项；（2）依题求出的通项，利用错位相减法即可求得.（1）已知，当时，，故当时，，，则又数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故得，整理得（2）由（1）知，，．①②由①②得．16.同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立.（1）若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率；（2）若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？答案：（1）（2）至少要进行16轮比赛解析：思路：（1）分答对题为3道或4道两类情况，结合概率乘法公式即可求解；（2）通过，结合，求出同学在第一轮比赛中晋级的概率的最大值，再结合二项分布即可求解.（1）第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为3道或4道，概率为.（2）同学在第一轮比赛中晋级的概率为.，由于，因此，故.令，则，当时，可得，同学在轮比赛中晋级的次数，由，知，即要想晋级9次，那么理论上至少要进行16轮比赛.17.如图，在三棱柱中，与相交于点O，G为的中点.（1）求证：平面.（2）若O为点C在平面内的射影，，求二面角的余弦值.答案：（1）在三棱柱中，取的中点M，连接，在中，，，由G为的中点，得，，因此，，四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）取的中点M，利用线面平行的判定推理得证.（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用面面角的向量法求解.（1）略（2）由O为点C在平面内的射影得平面，而平面，则，由得平行四边形为菱形，则，以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，故，，设平面的一个法向量，则，取，得，显然为平面的一个法向量，设二面角的大小为，显然为锐角，因此，所以二面角的余弦值为.18.已知右焦点为的椭圆过点.（1）求的方程；（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；（3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（3）存在解析：思路：（1）由求解；（2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可；（3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可.（1）由题意得解得，所以的方程为.（2）设，由题意知，所以，因为，所以当时，，所以.（3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为联立直线与的方程，得消去并整理，得，所以.所以.联立直线与抛物线的方程，得消去并整理，得，所以，所以，所以，若为定值，