2026-2027学年湖南省长沙市部分校高二上学期开学联考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0° B.45° C.90° D.135°2.已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.3.若，，三点共线，则实数a=（）A.2 B.3 C.4 D.54.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.若一个正四面体的体积为，则其表面积为（）A. B. C. D.7.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数的共轭复数为，若，则（）A. B.C.一定是实数 D.可能是方程的根10.已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，11.如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的外接球的表面积为定值B.存在点，使得直线平面C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.若，则平面与平面夹角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，，且与相互独立，则______．13.已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________.14.在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表：学习时长（分）频数4618148（1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率.16.如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，.（1）试用基底表示向量.（2）设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置.17.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求证：平面．18.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上､下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.19.定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足．（1）求证：四面体为对垂四面体；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0° B.45° C.90° D.135°答案：C解析：解答过程：直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°.2.已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为向量，不共线，所以若向量与共线，则它们对应系数成比例，即，即.3.若，，三点共线，则实数a=（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：思路：根据直线的斜率公式进行求解即可.解答过程：由三点共线得，即，解得．故选：A.4.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：C解析：解答过程：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则与的位置关系可能是平行､相交或，故B错误；对于C，由线面平行的性质定理知，，故C正确；对于D，若，，，则与可能平行，也可能异面，故D错误.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：向量在向量上的投影向量为.6.若一个正四面体的体积为，则其表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将正四面体补形为正方体，利用割补法表示出正四面体的体积，从而求出正四面体的棱长，进而求出表面积.解答过程：如图所示，设正四面体为，并将其补形成正方体，设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，所以，解得，故正四面体的棱长为，因此该正四面体的表面积为.7.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦定理及三角恒等式得到，再利用余弦定理结合锐角得到，再根据余弦定理表示出，即可求出答案.解答过程：因为，由正弦定理得，又因为，所以，故，故，由正弦定理得.由题知三个内角均为锐角且，由余弦定理得，代入，得，又，所以，因此，令，则，于是的取值范围为.8.已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用空间向量的数量积运算及几何意义求解解答过程：设，由题意，得.将拆分为，代入所求数量积，得.由于向量两两互相垂直，所以任意两个不同向量的数量积为0，故又，其中，且，故，则，当且仅当与同向时取等号，故最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数的共轭复数为，若，则（）A. B.C.一定是实数 D.可能是方程的根答案：AC解析：思路：本题考查复数､共轭复数的概念和运算.利用复数的四则运算以及共轭复数的定义检验四个选项即可.解答过程：对于A，设，由得，于是，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，结合A项可知是实数，故C正确；对于D，对于方程，由求根公式得该方程的根为，计算根的模为，不满足，因此不可能是该方程的根，故D错误.10.已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：AB解析：思路：A、B选项，通过向量线性运算检验是否存在非零线性组合为零向量进行判断；C、D选项，都满足线性关系式，可得共面.解答过程：由题知不共面.对于A，假设存在实数，使得，即，则，即不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确；对于B，假设存在实数，使得，即，则，即不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确；对于C，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.11.如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的外接球的表面积为定值B.存在点，使得直线平面C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.若，则平面与平面夹角的余弦值为答案：ACD解析：思路：以底面圆心为原点，建立空间直角坐标系，设，得，对于A，易得即为三棱锥外接球的球心，故表面积定值，故A正确；对于B，由已知得，可得平面，则，在中，由，可知不可能成立，故B错误；对于C，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，利用直线的方向向量为，求出再计算出取得最大值；对于D，平面的一个法向量为，当时，不妨设点的坐标为，求得平面的法向量，再求得平面与平面夹角的余弦值即可.解答过程：以底面圆心为坐标原点，以直线､底面内垂直于的直线､直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设且，由为的中点，得.对于A，易知，即点到三棱锥的四个顶点的距离相等，故点即为三棱锥外接球的球心，外接球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积，为定值，故A正确；对于B，若直线平面，则，易知，所以平面，则，在中，由，可知不可能成立，所以不存在点，使得直线平面，故B错误；对于C，易知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，设直线与平面所成的角为，则，当，即或时，对应点的坐标为，符合题意，此时取得最大值，故C正确；对于D，平面的一个法向量为，当时，不妨设点的坐标为，则，；设平面的法向量为，则，令，得，即平面的一个法向量为，则，故平面与平面夹角的余弦值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，，且与相互独立，则______．答案：0.92##解析：思路：由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得.解答过程：事件与相互独立，则，由并事件的概率公式.故0.92.13.已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________.答案：##解析：思路：由的坐标求出，由已知数量积求出，代入夹角公式求解.解答过程：由已知得，所以，，又，所以.14.在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________.答案：解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间向量求得点到直线距离的最小值，进而得到面积的最小值．解答过程：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为2，故，由为线段上的动点，可设，又，得，所以点的坐标为，的面积可表示为，其中为定值，为点到直线的距离，因此的面积最小等价于最小，因为，，，所以，，，，所以，因为，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表：学习时长（分）频数4618148（1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率.答案：（1）48.2分钟.（2）.解析：（1）各组区间的中点值依次为，则样本平均数为（分），因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟.（2）学习时长不足40分钟的学生分布在和两组，频数分别为4和6，总人数为.按分层随机抽样抽取5人，抽样比为，因此，从组抽取人，从组抽取人.记组抽取的2人分别为组抽取的3人分别为.从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为，，共10个样本点.“抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件，共4个样本点.故所求概率.16.如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，.（1）试用基底表示向量.（2）设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置.答案：（1）（2）时，，则点在的延长线上且.解析：思路：（1）利用空间向量线性运算表示向量；（2）设，由共面定理可得存在实数满足，列方程组求值即可得到点的位置.（1）由题意知.（2）因为为的中点，所以.由（1）知.因为，所以，则.因为四点共面，所以存在实数满足，即，整理得，因为不共面，所以解得.当时，，则点在的延长线上且.17.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求证：平面．答案：（1）（2）因为，所以，，所以，又平面，所以平面．解析：思路：（1）利用菱形对角线建系，求出两条异面直线方向向量，套用异面直线夹角向量公式计算余弦值；（2）证明与平面内两条相交直线的向量点积均为0，用线面垂直判定定理完成证明．（1）连接，交于点.以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，得，又，所以，，设异面直线与所成的角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为．（2）略18.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上､下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）由题意知分别是的中点，连接，如图.因为是的中点，所以，又平面平面，所以平面.由圆台的性质可知，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）利用线面平行判定定理、面面平行判定定理和面面平行定义证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；（3）利用向量法求解面与面夹角的余弦值.（1）略（2）如图，以为坐标原点，过点且垂直于直线的直线为轴，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意知，则.所以.设平面的法向量为，则即令，得，即平面的一个法向量为.因为，所以点到平面的距离，即点到平面的距离为.（3）由（2）知平面的一个法向量为.易得.设平面的法向量为，则即令，得，故平面的一个法向量为