2026-2027学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学高三上学期9月诊断性考试数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A.1 B.－1 C. D.5.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.87.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（）A.24种 B.36种 C.48种 D.96种8.已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：206,200,198,205,200,200,202,,192,（单位：），重量在内的水果为优质水果，则（）A.这个数据的第百分位数为B.这个数据的中位数与众数相等C.从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大D.估计这块水果园中优质水果占10.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B.C. D.当或5时，最大11.如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（）A.四棱锥的外接球表面积为B.存在点，使得C.的最小值为D.点到直线的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________．13.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________．14.已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．16.如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．（1）若分别为的中点，求证：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．17.甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立.（1）求p；（2）求射击2次甲得分X的分布列及均值；（3）若甲胜出的概率为，证明.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆过原点的两条弦，且，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因，则.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：化简复数，根据复数的几何意义求解即可．解答过程：，在复平面内对应的点为，位于第二象限．3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解.解答过程：由向量，因为，可得，解得，所以，所以．4.已知，则（）A.1 B.－1 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，故，所以.5.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可.解答过程：圆配方.因此，即，圆心为，半径.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离​，即，整理，解得或.结合圆的条件，因此直线与圆相切等价于.因此是直线与圆相切的充要条件.6.已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8答案：D解析：解答过程：二项式的展开式中所有项的系数和为32，令，得，所以.若，且，则.所以，所以.7.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（）A.24种 B.36种 C.48种 D.96种答案：B解析：解答过程：甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法，则不同的排列方式有种.8.已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解.解答过程：由题当时，，所以，所以当时，，当时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减，当时，当时，；当时，；所以可作出函数的图象，如下图，若要使函数有个不同的零点，所以的图象与直线有个交点，即，解得.即实数的取值范围是.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：206,200,198,205,200,200,202,,192,（单位：），重量在内的水果为优质水果，则（）A.这个数据的第百分位数为B.这个数据的中位数与众数相等C.从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大D.估计这块水果园中优质水果占答案：BD解析：思路：根据已知数据求出相应的第30百分位数、中位数、众数、方差判断ABC，估计出优质水果的占比判断D．解答过程：对于A，这10个数据按从小到大排列为：,192,198,200,200,200,202,205,206,，，第3与第4个数的平均值为，所以第30百分位数为199，A错；对于B，中位数为，众数为200，B正确；对于C，去掉最重的和最轻的数据后，各数据与均值的偏差显著变小，因此方差变小，C错误；对于D，已知10个数据中在上的有6个，占比为，因此估计优质水果占，D正确．10.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B.C. D.当或5时，最大答案：AC解析：思路：由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D.解答过程：设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解得，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以数列单调递增，当时，，当时，，且，所以当或5时，最小，故D错误.11.如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（）A.四棱锥的外接球表面积为B.存在点，使得C.的最小值为D.点到直线的距离的最小值为答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量点积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值.解答过程：以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.则.动点在线段上，设，则.选项A：将四棱锥补成长、宽、高分别为的长方体，其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长，，故，外接球表面积.故A正确.选项B：，，.令，得，故存在点使.故B正确.选项C：，，故，.二次函数在时取最小值，故.故C错误.选项D：直线即轴，点到的距离为.二次函数在时取最小值，故.故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________．答案：解析：思路：本道题结合焦点坐标,计算出m，即可．解答过程：,解得,所以双曲线方程为,所以渐近线方程为方法提示：本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小．13.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________．答案：解析：思路：由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值.解答过程：由抛物线的焦点为，则，即，作抛物线的准线于，则，且，所以周长为，结合图知，当且仅当共线，即时周长最小，所以.14.已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式.解答过程：设幂函数经过点得，，所以，即，故，因为，且定义域为，所以是奇函数，又由于是上的增函数，是上的减函数，是上的增函数，所以是上的增函数，再由，得，所以，解得：，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故（2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为16.如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．（1）若分别为的中点，求证：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．答案：（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，与为等腰直角三角形且，不妨设，..E、F分别为BC、PD的中点，，且.，，，∴四边形FGMN为平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）解析：思路：（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解.（1）略（2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面PCD的一个法向量为，，，取，，.设AB与平面PCD所成角为，则，即AB与平面PCD所成角的正弦值为.17.甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立.（1）求p；（2）求射击2次甲得分X的分布列及均值；（3）若甲胜出的概率为，证明.答案：（1）（2）X的分布列为：X012（3）由题意，射击的总次数为时甲胜出，设此时甲总得分为，乙总得分为，则，，所以甲胜出时必为偶数，令，则，由于，则时，，且，即.解析：思路：（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可；（2）由题意，X的取值为，进而求出对应的概率，再计算均值；（3）由题意，射击的总次数为时甲胜出，分析可得必为偶数，令，进而结合题意及等比数列的求和公式求证即可.（1）设射击2次甲胜出为事件，则，解得.（2）由题意，X的取值为，由题意，而，，所以X的分布列为：X012则.（3）略18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．答案：（1）（2）2解析：思路：（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程；（2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值.（1）当时，，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由题意，知对任意恒成立，可知对