2026-2027学年江苏省南京市师范大学附属中学高一上学期限时作业（一）数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.2.已知高一（1）班人数比高一（2）班人数多，两个班的女生总人数比男生总人数多，则下列判断一定正确的是（）A.高一（1）班女生人数比男生人数多B.高一（2）班女生人数比男生人数多C.高一（1）班男生人数比高一（2）班女生人数多D.高一（1）班女生人数比高一（2）班男生人数多3.集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.恰有一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.5.记已知，则的最小值为（

）A.2 B. C.4 D.36.若正实数x，y，z满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.37.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.48.对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若正实数，满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最大值 D.有最小值10.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.11.已知，若，且，则下列说法正确的有（）A.若，则且B.若，则的最小值为-1C.若，则有两个不同的取值D.不存在，使得均为正数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若x，y是正实数，，则的最小值为________.13.设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________．14.已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________．四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知关于x的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为；（i）求实数a，b的值；（ii）讨论关于x的不等式的解集.16.已知都是正数.（1）若，求的最大值；（2）若，且，求的最小值；（3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围.17.数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”（1）若，，求和；（2）试证明：“”是“”的充要条件；（3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.解答过程：命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，.故选项A中，是的充分必要条件；选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件；选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件；选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.故选：C.2.已知高一（1）班人数比高一（2）班人数多，两个班的女生总人数比男生总人数多，则下列判断一定正确的是（）A.高一（1）班女生人数比男生人数多B.高一（2）班女生人数比男生人数多C.高一（1）班男生人数比高一（2）班女生人数多D.高一（1）班女生人数比高一（2）班男生人数多答案：D解析：思路：设高一（1）班男生、女生人数分别为、，高一（2）班男生、女生人数分别为、，可得出，结合不等式的基本性质可得出结论.解答过程：设高一（1）班男生、女生人数分别为、，高一（2）班男生、女生人数分别为、，由题意可得，由不等式的基本性质可得，化简可得，即高一（1）女生人数比高一（2）班男生人数多.故选：D.3.集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由二次函数的性质可得，解不等式得，从而得，根据，可得，求解即可.解答过程：因为，，所以，又因为，所以，解得.故选：A.4.恰有一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为函数恰有一个零点在区间内，则需要满足：①，，解得：；②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，，解得，经检验，当时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;综上：实数m的取值范围为故选：D5.记已知，则的最小值为（

）A.2 B. C.4 D.3答案：D解析：思路：通过设，得到的不等式约束，结合基本不等式求出的下界，再验证等号成立的条件，从而得到的最小值.解答过程：设，由的定义，得且（）.将两式相加，得.由基本不等式，（当且仅当时取等），（当且仅当时取等）.因此，故，即.当时，，此时，等号成立.故选：D6.若正实数x，y，z满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.3答案：B解析：思路：由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可.解答过程：由条件可得，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，且，即，，等号成立.故选：B.7.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：将原式化为，再利用基本不等式求解即可.解答过程：解：因为，当且仅当，即时，等号成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为4，此时.故选：D.方法提示：关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为.8.对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.解答过程：解：由题意得：集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：第一类:包含的子集；第二类：不包含的子集；在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若正实数，满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最大值 D.有最小值答案：ABC解析：思路：A选项，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，，求出；C选项，平方，结合B选项，得到，求出C正确；D选项，举出反例即可.解答过程：A选项，正实数，满足，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，A正确；B选项，由基本不等式得，解得，当且仅当，时等号成立，故有最大值，B正确；C选项，，由B选项知，，故，当且仅当，时等号成立，所以，C正确；D选项，若，满足，但，D错误.故选：ABC10.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：由一元二次不等式的性质可得，且，即可得A、D，结合二次函数的性质可得，即可得B、C.解答过程：由题意可得，，即，即有，即，，故A正确、D错误；令，其根为，，结合二次函数性质可得，，即，故B正确、C错误.故选：AB.11.已知，若，且，则下列说法正确的有（）A.若，则且B.若，则的最小值为-1C.若，则有两个不同的取值D.不存在，使得均为正数答案：ABC解析：思路：先通过展开已知等式得到关键关系式，再用完全平方公式整体换元，设，将问题转化为关于的一元二次方程，最后通过代入求值及判别式分析根的情况，即可判断各选项的正确性.解答过程：因为，所以：，，即，①又由完全平方公式：代入①，得整理得②令，代入②得③选项A：若，则且把代入③得，所以，即，所以，代入①：A正确；选项B：若，则的最小值为由，得：则，代入则是方程的实根，故判别式，所以所以，所以所以，，即因此的最小值为.B正确；选项C：若，则有两个不同的取值③的判别式：当时，，方程有两个不同的实根，即有两个不同取值.C正确；选项D：不存在，使得均为正数，假设，我们验证是否存在这样的：由①得，即，由③得，所以，取，则，，要证明存在使得且，只需说明存在使得关于的方程，（其中）有三个正实根，令，则，令，解得，,所以极大值（在处）：极小值（在处）：，所以当时，方程在上有三个不同的正实根，这三个根即为，满足，说明存在使得均为正数.D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若x，y是正实数，，则的最小值为________.答案：解析：解答过程：因为且是正实数，所以两边同时除以得，又因为，当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥，故的最小值为.13.设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________．答案：解析：思路：先根据不等式成立的条件确定的关系，再将其代入所求式子，最后利用基本不等式求最小值.解答过程：，若对任意，恒有成立，当时，，此时也应满足，，又，把代入，得，，又，，即，，，则，令，，则，上式化为，利用基本不等式可得，，当且仅当，即等号成立，则，故答案为.14.已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________．答案：##0.5解析：思路：利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值．解答过程：，，，原不等式化简为，，，，，，，，，令，令，则，则，则，当时，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，即，，当且仅当，即时等号成立，此时，，，故最大值为．故．四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知关于x的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为；（i）求实数a，b的值；（ii）讨论关于x的不等式的解集.答案：（1）或（2）（i）（ii）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.解析：思路：（1）直接解一元二次不等式即可求解；（2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解.（1）因为，所以不等式为即，解得或，所以不等式的解集为：或.（2）（ⅰ）因为不等式的解集为，所以是方程的根，所以，所以不等式为即，解集为所以，综上：；（ⅱ）所以不等式即为，即，情形一：当时，解得，解集为，情形二：当时，解得，解集为，情形三：当时，解得，解集为.16.已知都是正数.（1）若，求的最大值；（2）若，且，求的最小值；（3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围.答案：（1）；（2）2；（3）或.解析：思路：（1）直接利用基本不等式即可求得最值.（2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果.（3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得.（1）由都是正数，得，解得，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.（2）由都是正数，且，，得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.（3）由都是正数，，得，当且仅当，即时取等号，由不等式有解，得，当时，，解得，则；当时，，解得，无解；当时，，解得，则，所以的取值范围是或.17.数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”（1）若，，求和；（2）试证明：“”是“”的充要条件；（3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在