2026-2027学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期（新高三）第一次适应性测试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知（是虚数单位），则复数的共轭复数（）A. B. C. D.2.的展开式中，的系数为.A.25 B.30 C.35 D.403.棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（）A. B. C. D.4.设向量，，若，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.25.已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.在数列中，已知，则等于（）A.4 B.8 C.10 D.118.直线与圆的位置关系是（

）A.相交 B.相切C.相交或相切 D.相离二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从中随机不放回地抽取两个不同的数，记它们的乘积为M，则下列结论正确的是（）A.M是偶数的概率大于 B.M是3的倍数的概率为C.M是完全平方数的概率大于 D.M各数字之和的奇偶性与相同10.如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.当时，二面角的正切值为2C.四面体的外接球体积为D.若，则的取值范围是11.已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列为单调递增的等差数列D.满足不等式的正整数n的最小值为63三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线：是曲线的切线，则______．13.已知，则等于______.14.一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前n项和．16.如图，在三棱柱中，直线平面，E是棱上一点，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.在中，三边，，所对的角分别为，，，已知，.（1）若，求；（2）若边上的中线长为，求的长.18.已知椭圆的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．.（1）求的方程.（2）不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；并求定点坐标.（ii）求面积的最大值．19.已知函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当，时，恒有成立，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知（是虚数单位），则复数的共轭复数（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的四则运算求出复数，再由共轭复数的定义求.解答过程：已知，由题意得，所以.故选：B.2.的展开式中，的系数为.A.25 B.30 C.35 D.40答案：B解析：思路：将展开式中所有包含的项，再相加，得到的系数解答过程：的通项为，所以的展开式中含的项为，和，因为，所以的系数为30，选择B方法提示：求二项式展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求，解出k，得到系数3.棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正方体的对称性得到内切球的球心为正方体的中心，然后求体积即可.解答过程：正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，即球的体积为.故选：B.4.设向量，，若，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：思路：利用向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示即可求解.解答过程：，，因为，所以，得．故选：C5.已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理列出方程求出离心率.解答过程：如图，设双曲线的左焦点为，，连接，，，则，，，，依题意，，由双曲线的对称性知四边形为矩形，在中，由，得，化简得，即，，在中，由，得，化简得，所以双曲线的离心率.故选：A6.已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围.解答过程：令，因为，所以因为函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，且，即．因为，所以函数在上单调递增，等价于或，解不等式得或，所以的取值范围是．7.在数列中，已知，则等于（）A.4 B.8 C.10 D.11答案：D解析：思路：根据递推关系式，依次求解.解答过程：由条件可知，，，.8.直线与圆的位置关系是（

）A.相交 B.相切C.相交或相切 D.相离答案：C解析：思路：联立直线方程和圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据方程解的个数得到直线与圆的交点个数，从而得到直线与圆的位置关系.解答过程：联立，消元得，∴，∴或，由可得，解得，故当时，方程组存在唯一解，此时直线与圆相切，当时，方程组存在两个不同解，此时直线与圆相交，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从中随机不放回地抽取两个不同的数，记它们的乘积为M，则下列结论正确的是（）A.M是偶数的概率大于 B.M是3的倍数的概率为C.M是完全平方数的概率大于 D.M各数字之和的奇偶性与相同答案：AC解析：思路：首先计算出全部的抽取结果数，对于A，利用奇数奇数奇数分析对立事件M是奇数的概率；对于B，利用两个不是的倍数的数的乘积不是的倍数分析对立事件M不是3的倍数的概率；对于C，两个不相等的数的乘积若是完全平方数，则除去它们各自包含的完全平方数因子后，剩下的无平方因子部分必须相同，分析形如的数的个数，得到P(M是完全平方数)大于；对于D，举反例即可.解答过程：从中随机不放回地抽取两个不同的数，共有种结果.对于A，考虑为奇数的情况，只有当两个数均为奇数时乘积才是奇数，而中有个奇数，所以P(M是奇数)，从而P(M是偶数)，A正确；对于B，考虑不是的倍数的情况，只有当两个数均不是的倍数时乘积才不是的倍数，而中的倍数有个，不是的倍数有个，所以P(M不是3的倍数)，从而P(M是3的倍数)，B错误；对于C，若两个数符合的形式，则它们的乘积为完全平方数，其中的因子不包含完全平方数，当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果，可得P(M是完全平方数)，C正确；对于D，假设，则为偶数，而，各数字之和为为奇数，两者的奇偶性不相同，D错误.10.如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.当时，二面角的正切值为2C.四面体的外接球体积为D.若，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系利用空间向量法分析A选项，选项B结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析求解，选项C找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算即可，选项D根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解即可.解答过程：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，，设，对于A，由，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；对于B，过作垂足为，如图所示：因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又，故，又，，平面，所以平面，平面，故，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分，所以在平面上的轨迹方程为，而，故此时的轨迹方程为，联立得，，因为平面，平面，所以，根据二面角定义可知是二面角的平面角，则，故B正确；对于C，由直角三角形外心为中点，设外接球心为，由球心到各点距离相等得，即，解得，所以半径，体积，故C错误；对于D，因为，，所以的坐标中，故，因为的轨迹方程为，设，得，由得，故，所以，故D正确.11.已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列为单调递增的等差数列D.满足不等式的正整数n的最小值为63答案：ABD解析：思路：由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确；→→为单调递增的等差数列→C选项不正确；→→→D选项正确解答过程：因为，所以，所以，则，解得，，所以，，所以A选项正确，B选项正确；因为，所以，所以，又，所以，所以为单调递增的等差数列，则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；，则，，解得，又，所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确．故选：ABD．方法提示：数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线：是曲线的切线，则______．答案：或解析：思路：设切点坐标为，由导数的几何意义表示斜率，由切点在曲线上得出方程组，解得，即可求解.解答过程：由已知设切点坐标为，因为，则，所以，解得或，所以或.故或.13.已知，则等于______.答案：##解析：思路：根据两角和差的正切公式求得，再由二倍角公式实现弦化切的目标，得到.解答过程：由题意得，所以.故答案为.14.一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是__________.答案：解析：思路：记3名主持人分别为甲、乙、丙，将主持人甲作为参照物，考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法，再分析主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组的人数情况，从而得到参与者连续站在一起的人数不超过13人的站法种数，即可得到结果.解答过程：记3名主持人分别为甲、乙、丙，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法，参与者连续站在一起的人数不超过13人，则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，按照顺时针方向记为第一、二、三组，由，考虑的情况，第一、二、三组人数有、，三种分组方法，考虑，第一、二、三组人数有种分组方法，考虑，第一、二、三组人数有1种分组方法，同理可知，共有种分组方法，则参与者连续站在一起的人数不超过13人共有种站法，可得参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是故答案为方法提示：关键点点睛：将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，参与者连续站在一起的人数不超过13人，则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，分析出分组方法即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案.（2）由错位相减法求和即可.（1）因为，所以数列为等差数列，设数列的公差为d，且，则，解得，又，所以，即，则，解得，所以；（2）由（1）可知，，所以，则，两式相减可得：，即，化简可得.16.如图，在三棱柱中，直线平面，E是棱上一点，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）.解析：思路：（1）应用余弦定理得出，应用勾股定理得出，应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出线线垂直；（2）方法1：建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算求解；方法2：应用线面角定义得出即为直线与平面所成角，结合边长计算求解.（1）连接，由且得，结合，，可得，即，于是，即，.因为，所以.又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以.（2）方法1：以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.，，，，，，，，设平面的一个法向量，，即，令，则，记直线与平面所成角为，则.因此直线与平面所成角的正弦值为.方法2：由棱柱性质可知平面平面，故直线与平面所成角等于直线与平面所成角.取线段中点H，连接，，因为，所以，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角，即为直线与平面所成角.在中，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.17.在中，三边，，所对的角分别为，，，已知，.（1）若，求；（2）若边上的中线长为，求的长.答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）利用正弦定理把等式中的边化成角，利用三角恒等变换得到，再利用正弦定理，求得；（2）设边上的中线为，利用向量加法法则得，对式子两边平方转化成代数运算，求得，再利用余弦定理可得的长．解答过程：（1）因为，由正弦定理，得，所以.所以.又因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以.（2）设边上的中线为，则，所以，即，.解得或（舍去）.又，，所以故.方法提示：关键点点睛：本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解决本题的关键点是在解题过程中，利用向量关系并两边平方，可求出，结合余弦定理得出的长，考查学生计算能力，属于中档题．18.已知椭圆的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．.（1）求的方程.（2）不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；并求定点坐标.（ii）求面积的最大值．答案：（1）（2）（i）证明见解析；；（ii）解析：思路：（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值即可.