2026-2027学年江苏省南通市某校高二上学期第一次学业水平抽样检测创新班数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（）A. B.C. D.2.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A. B.或C. D.与相交但不垂直3.如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（）A. B.C. D.4.已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（）A. B. C.9 D.45.下列选项中，不正确的命题是（）A.若两条不同直线，的方向向量为，，则B.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心C.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底D.若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使6.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）A.圆上 B.双曲线上 C.抛物线上 D.椭圆上7.已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）A.52π B.39π C.26π D.13π8.在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在平行六面体中，，

，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（）A. B.向量共面C. D.若，则该平行六面体的高为10.如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（）A.当时，点到直线AC的距离为B.当时，直线AP与平面所成角的正弦值是C.若，则点在平面内D.若，则点在平面内11.如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则下列说法正确的是（）A.当二面角的大小为时，直线与所成角为B.当二面角的大小为时，直线与平面所成角的正弦值为C.若，则二面角的余弦值为D.若，则四面体外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________．13.已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________．14.如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：（1）异面直线，所成角的余弦值；（2）点到平面的距离；（3）异面直线，的距离．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分）16.如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，．（1）求点N到直线的距离；（2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分）17.如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.（1）证明：平面BCM；（2）已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为.①求线段PQ的长；②若，求二面角的正弦值.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．（1）证明：平面平面；（2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由；（3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据向量共线列方程，然后解方程即可.解答过程：因为，所以，解得，，所以.2.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A. B.或C. D.与相交但不垂直答案：B解析：思路：通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系.解答过程：因为，所以，所以或.3.如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，所以4.已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（）A. B. C.9 D.4答案：A解析：解答过程：因为四点共面，则有，由共面条件可得，，即，所以，当且仅当，即，即时，等号成立.故选A.5.下列选项中，不正确的命题是（）A.若两条不同直线，的方向向量为，，则B.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心C.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底D.若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使答案：C解析：思路：对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断.解答过程：对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，所以，所以，设为的中点，所以，所以，所以点在平面内，且为的重心，所以B正确，对于C，因为，所以共面，所以不是空间向量的一组基底，所以C错误，对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使，所以D正确，故选：C.6.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）A.圆上 B.双曲线上 C.抛物线上 D.椭圆上答案：A解析：思路：根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.解答过程：由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，则，，因为为底面内的一动点，所以可设，因此，，因为平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圆，因此，动点的轨迹在圆上.故选：A.方法提示：本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.7.已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）A.52π B.39π C.26π D.13π答案：A解析：思路：建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积.解答过程：令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面∵是等边三角形，∴，是的重心.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.∵，，则，∴，.设，由,得，化简得解得.∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.8.在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.答案：D解析：思路：建系，设，根据两点间距离公式分析求解．解答过程：以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

可得，设，则，即，可得，当，即时，取到最小值．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在平行六面体中，，

，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（）A. B.向量共面C. D.若，则该平行六面体的高为答案：ACD解析：思路：设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D.解答过程：设，，则，因为点分别是棱的中点，所以，，则，则，故A正确；，则向量不共面，故B错误；，故C正确；设平面的法向量为，则，令，则，则，则，则在上的投影向量的长度为，则该平行六面体的高为，故D正确.10.如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（）A.当时，点到直线AC的距离为B.当时，直线AP与平面所成角的正弦值是C.若，则点在平面内D.若，则点在平面内答案：BCD解析：思路：以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量求得点到直线AC的距离判断A；利用向量求出直线AP与平面所成角的正弦值判断B；根据空间向量共面定理判断C、D.解答过程：对于A：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建系，则，，，，，所以，则，故，故A错误；对于B：根据A选项可知.又，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以.设直线与平面的夹角为，则，故B正确；对于C：当时，，由共面向量定理知，共面，所以点在面内，故C正确；对于D：，所以，共面，所以点在面内.故D正确.故选：BCD．11.如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则下列说法正确的是（）A.当二面角的大小为时，直线与所成角为B.当二面角的大小为时，直线与平面所成角的正弦值为C.若，则二面角的余弦值为D.若，则四面体外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：过作，且，连接，，即可得到即为直线与所成角，为二面角的平面角，由，即可求出、，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到平面，从而得到即为直线与平面所成角，即可判断B，由A、B中，取的中点，连接，，即可得到即为二面角的平面角，即可判断C，四面体的外接球即为四棱锥的外接球，求出外接球的半径，即可判断D.解答过程：对于A、B，如图，过作，且，连接，，由，，，所以，则为正方形，则，即为直线与所成角，为二面角的平面角，当时，易得，又，，，平面，所以平面，即面，面，所以，所以为等腰直角三角形，故，即直线与所成角为，故A正确；取的中点，连接，，因为为等边三角形，所以，又面，面，所以，，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角，因为，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故B正确；对于C，过作，且，连接，，由，，，所以，则为正方形，则，又，，，平面，所以平面，所以平面，为二面角的平面角，若，则，所以，即为等边三角形，所以，即二面角的大小为，取的中点，连接，，则，所以，由三垂线法可知即为二面角的平面角，又，所以，所以，所以二面角的余弦值为，故C错误；对于D，四面体的外接球即为四棱锥的外接球，又平面，平面，所以平面平面，所以将四棱锥补全为直三棱柱，则四棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，设外接圆的半径为，则，设四棱锥的外接球的半径为，则，所以四棱锥的外接球的表面积，故四面体外接球的表面积为，故D正确．故选：ABD.方法提示：关键点睛：涉及二面角问题关键是找到二面角的平面角，常用定义法和三垂线法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________．答案：解析：解答过程：因为，，且的夹角为钝角，所以且与不共线，由，则解得，当与共线时，，则，解得，综上可得实数λ的取值范围为．13.已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________．答案：（答案不唯一，且不全相等均可）．解析：思路：依据投影向量定义，表示出向量在上的投影向量，根据投影向量为得到即可．解答过程：由点，可得，又向量在上的投影向量为，，则，即，又向量与向量不共线，则不成立，则可令，即，故．（答案不唯一，且不全相等均可）．14.如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________．答案：解析：思路：设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可.解答过程：设平面与直线的交点为，由于平面截所得截面是一个五边形，则点在线段的延长线上，在平行六面体中，平面平面，因为平面，所以平面，又平面，平面平面，则，同理可得，所以四边形为平行四边形，则，，由于点在线段的延长线上，则，即，又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意，因此，则的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：（1）异面直线，所成角的余弦值；（2）点到平面的距离；（3）异面直线，的距离．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分）答案：（1）（2）（3）解析：思路：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线，的方向向量，代入向量的夹角公式，计算得答案；(2)利用向量法可求点到平面的距离；(3)把异面直线，的距离．转化为直线与平面的距离，求出平面的法向量，利用空间向量点到平面的距离公式，计算求解.（1）由且，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意，因为为线段的中点，所以，所以，，所以异面直线,所成角的余弦值为；（2）由（1）可得，设平面的法向量为，则，故，取，而，故点到平面的距离.（3）如上图所示，作交于点，因为平面，平面，所以平面，因此异面直线，的距离就是直线与平面的距离，也即是点到平面的距离，因为为线段的中点．所以，.设平面的法向量为，则，令，则可得，所以点到平面的距离，即异面直线，的距离为．16.如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，．（1）求点N到直线的距离；（2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分）答案：（1）（2）结合（1）的空间直角坐标系，有，则，，设，，则，平面的法向量为，所以，令，得到，又平面，即，所以，解得，所以．解析：思路：（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离；（2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论．（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直，所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由，，，且，分别为棱，的中点，则，，，所以，，所以在上的投影向量的模长为，所以点到直线的距离为．（2）略17.如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）由题意知：，，平面，∴平面，又∵平面，所以．又点C为的中点，所以，又，平面，所以平面，又∵平面，所以．（2）解析：思路：（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可．（1）略（2）由（１）知平面，以O为原点，，的方向分别作为x，z轴，底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，又，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则．18.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.（1）证明：平面BCM；（2）已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为.①求线段PQ的长；②若，求二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）①2或；②解析：思路：（1）先证平面，得，，再由线面平行的判定定理证明结论.（2）①建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由线面角的空间向量法求得值即得；②分别求出平面和平面的一个法向量，由面面角的空间向量法求解.（1）在正方形中，，因为平面，平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以