八年级数学上册《用“HL”判定直角三角形全等》课件

【R·数学八年级上册】第5课时用''HL''判定直角三角形全等学习目标探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生的观察、归纳能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.复习导入判定方法简称图示ABCC'A'B'ABCC'A'B'ABCC'A'B'ABCC'A'B'三边分别相等两边和它们的夹角分别相等两角和它们的夹边分别相等两角分别相等且其中一组等角的对边相等SSSSASAASASA探究新知对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ABCA'B'C'知识点

用“HL”判定直角三角形全等①一条直角边和一锐角分别相等②斜边和一锐角分别相等ASA或AASABCA'B'C'AASABCA'B'C'知识点

用“HL”判定直角三角形全等③两直角边分别相等SASABCA'B'C'如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ABCA'B'C'C'A'B'CAB如图，在△ABC

和△A'B'C'

中，∠C=∠C′=90°，A′B′=AB，B′C′=BC.这两个三角形全等吗？探究5知识点

用“HL”判定直角三角形全等如图，由∠C=∠C′=90°可知：①点C

与点C'

重合，射线C'A'

与射线

CA

重合，那么射线C'B'

与射线

CB

重合.②由B'C'=BC

，可知点B'与点B重合.知识点

用“HL”判定直角三角形全等C'A'B'CAB(C')(B')接下来讨论射线CA

上除点C，A

外的点与点B

的连线和边AB

的大小关系.知识点

用“HL”判定直角三角形全等CAB(C')(B')①设点M

在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则∠BMA

＞∠C，∠BMA是钝角．②若过点M

且垂直于BM

的直线与线段AB

相交于点M′，则有AB

＞BM′＞BM．M外角的性质M'垂线段最短知识点

用“HL”判定直角三角形全等③设点N

在线段CA

的延长线上，连接BN，同理可得BN

＞AB．④因此，在射线CA

上，与点B

的连线长度等于AB

的点只有一个.⑤再由点A′在射线CA

上，A′B′

=AB，可知点A′与点A

重合．CAB(C')(B')MM'N在点A

下方时，长度<AB；在点A

上方时，长度>AB.(A')知识点

用“HL”判定直角三角形全等CAB(C')(B')a.设点N

在线段CA

的延长线上，连接BN，则∠BNA

＜∠BAC，∠BNA是锐角．b.若过点A

且垂直于AB

的直线与线段BN

相交于点N′，则有AB

＜BN′＜BN．NN'外角的性质垂线段最短知识点

用“HL”判定直角三角形全等△A'B'C'

的三个顶点与△ABC

的三个顶点分别重合.△A'B'C'

与△ABC

能够完全重合.△A'B'C'≌△ABCCAB(C')(B')(A')在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）如图，在Rt△ABC

与Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

（HL）A′B′=AB，BC=B′C′，几何语言：知识点

用“HL”判定直角三角形全等CABC'A'B'知识点

用“HL”判定直角三角形全等如图，在Rt△ABC

与Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

（HL）A′B′=AB，BC=B′C′，几何语言：CABC'A'B'注意①“H”代表斜边，“L”代表直角边.顺序不要混淆②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”.（1）_______________（）；（2）_______________（）；（3）_______________（）；（4）_______________（）.针对训练如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证明△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由.AB=CDBC=AD∠B=∠D∠BAC=∠DCAHLSASASAAASCDBA或AB

//

CD例6

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.教材P42例题AC⊥BC，BD⊥AD，公共边AB，AC=BDRt△ABD≌Rt△BAC.CDBA证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.教材P42例题∴Rt△ACD≌Rt△ABE

（HL）AB=BA，AC=BD，∴

BC=

AD.CDBA在Rt△ABC和Rt△BAD中，归纳：两个直角三角形全等的判定思路已知可选方法寻找对应相等的条件一锐角（A）斜边（H/S）ASA直角与已知锐角的夹边AAS已知锐角(或直角)的对边HL一直角边一锐角AAS已知可选方法寻找对应相等的条件一直角边（L/S）HL斜边ASA已知边相邻的锐角AAS已知边所对的锐角SAS另一直角边归纳：两个直角三角形全等的判定思路随堂演练1.如图，AB⊥CD，垂足为O，要得到△ABC≌△DEF，添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（

）A.AC=BD，OA=OBB.OA=OD，∠A=∠BC.AC=BD，OC=ODD.AC=BD，AC

//

BDB随堂演练2.如图，AE⊥BD，CD⊥BD，AB=BC，BE=CD，则∠ACB=_______.

90°3.如图，C

是路段AB

的中点，两人从C

同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E

两地，且DA⊥AB，EB⊥AB.D，E

到路段AB

的距离相等吗？为什么？随堂演练ABCDE教材P43练习第1题随堂演练教材P43练习第1题解：D，E

到路段AB

的距离相等.理由：∵C是路段AB

的中点，∴AC=BC.又两人同时同速度出发，并同时到达D，E

两地，∴CD=CE.又DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ACD和Rt△BCE中，ABCDEAC

=BC，CD=CE，∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).∴DA=EB.即D，E

到路段AB

的距离相等.随堂演练教材P43练习第2题4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证AE=DF.ABCDEF随堂演练教材P43练习第1题证明:∵CE=BF，∴CE–EF=BF–EF，即CF=BE.又AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC=∠AEB=90°.在Rt△DFC和Rt△AEB中，DC

=AB，CF=BE，∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL).∴AE=DF.ABCDEF5.如图，AD，AF

分别是两个钝角三角形ABC

和ABE

的高，AD=AF，AC

=AE.求证：BC=BE.ABCDEF随堂演练证明：由题意知，△ADC

与△AFE

均为直角三角形，在Rt△ADC

和Rt△AFE

中，AC

=AE，AD=AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.在Rt△ABD

和Rt△ABF

中，AB

=AB，AD=AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD–CD

=BF–EF，即BC

=BE.ABCDEF随堂演练课堂小结斜边、直角边内容前提条件探索方法斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等在直角三角形中依次说明三角形的三个顶点重合用“HL”判定两个直角三角形全等一、选择题

(共12题，每题3分，共36分)

1.

下列图形中与已知图形全等的是(

A

)A.

B.

C.

D.

2.

已知△

ABC

≌△

DEF

，∠

A

＝45°，∠

F

＝75°，则∠

B

的度数是

(

D

)A.

50°B.

120°C.

75°D.

60°AD12345678910111213141516171819203.

如图，已知图中的两个三角形全等，则图中∠α的度数是(

D

)

第3题图A.

72°B.

60°C.

78°D.

30°D12345678910111213141516171819204.

在△

ABC

中，把两个完全一样的直角三角尺按如图所示的位置摆

放，它们的一组对应直角边分别在

AB

，

AC

上，且这组对应边所对的

顶点重合于点

M

，则点

M

一定在(

C

)A.

AC

边的高上B.

AB

边的中线上C.

∠

A

的平分线上D.

BC

边的中线上第4题图C12345678910111213141516171819205.

如图，△

ACB

≌△A'CB'，∠

ACB

＝70°，∠ACB'＝100°，则

∠BCA'的度数为(

B

)A.

30°B.

40°C.

35°D.

50°B12345678910111213141516171819206.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，将四边形

ABCD

沿对角线

AC

折叠，使点

B

落在点B'处.若∠1＝∠2＝44°，则∠

B

的度数为(

C

)A.

66°B.

104°C.

114°D.

124°C12345678910111213141516171819207.

如图，淇淇站在堤岸的点

A

处，正对他的

S

点停有一艘游艇，他想知

道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆

B

旁(直线

AC

与堤

岸平行)，接着再往前走相同的距离，到达

C

点，然后他向左转90°直

行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于

D

点，那

么

C

，

D

两点间的距离就是在

A

点处淇淇与游艇之间的距离.在这个问

题中，可作为证明△

ABS

≌△

CBD

的依据是(

C

)A.

SAS或SSSB.

AAS或SSSC.

ASA或AASD.

ASA或SAS第7题图C1234567891011121314151617181920

第7题图12345678910111213141516171819208.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

AB

＝

6，

BC

＝9，

CD

＝4，则四边形

ABCD

的面积是(

A

)A.

30B.

24C.

36D.

42第8题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，过点

D

作

DH

⊥

AB

交

BA

的延长线于点

H

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∠

BCD

＝90°，∴

DH

＝

CD

＝4.

第8题图12345678910111213141516171819209.

如图，△

ABE

和△

ADC

是△

ABC

分别沿着

AB

，

AC

边翻折形成

的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为(

A

)A.

80°B.

100°C.

60°D.

45°第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】设∠3＝3

x

，则∠1＝28

x

，∠2＝5

x

.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴28

x

＋5

x

＋3

x

＝180°，解得

x

＝5°.∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.∵△

ABE

是△

ABC

沿着

AB

边翻折形成的，∴∠1＝∠

BAE

＝140°，∠

E

＝∠3＝15°.∴∠

EAC

＝360°－∠

BAE

－∠

BAC

＝360°－140°－140°＝80°.又∵△

ADC

是△

ABC

沿着

AC

边翻折形成的，∴∠

ACD

＝∠3＝∠

E

＝15°.而∠α＋∠

E

＝∠

EAC

＋∠

ACD

，∴∠α＝∠

EAC

＝80°.第9题图123456789101112131415161718192010.

如图，

AB

⊥

CD

，且

AB

＝

CD

，

E

，

F

是

AD

上两点，

CE

⊥

AD

，

BF

⊥

AD

，垂足分别为点

E

，

F

.

若

CE

＝

a

，

BF

＝

b

，

EF

＝

c

，则

AD

的长为(

D

)A.

a

＋

c

B.

b

＋

c

C.

a

－

b

＋

c

D.

a

＋

b

－

c

第10题图D1234567891011121314151617181920

第10题图123456789101112131415161718192011.

如图，

AP

平分∠

BAC

，点

M

，

N

分别在边

AB

，

AC

上，如果添加

一个条件，即可推出

AM

＝

AN

，那么下列条件中不正确的是(

A

)A.

PM

＝

PN

B.

∠

APM

＝∠

APN

C.

MN

⊥

AP

D.

∠

AMP

＝∠

ANP

第11题图A1234567891011121314151617181920【解析】∵

AP

平分∠

BAC

，∴∠

BAP

＝∠

CAP

.

A.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

PM

＝

PN

，

AP

＝

AP

，不能判定△

APM

≌△

APN

，∴不能推出

AM

＝

AN

，故选项A符合题意；B.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∠

APM

＝∠

APN

，能判定△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项B不符合题意；C.

∵

MN

⊥

AP

，∴∠

APM

＝∠

APN

＝90°.第11题图1234567891011121314151617181920又∵∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∴△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项C不符合题意；D.

由∠

AMP

＝∠

ANP

，∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，能判定△

APM

≌△

APN

(AAS)，∴

AM

＝

AN

，故选项D不符合题意.第11题图123456789101112131415161718192012.

如图，在四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，若∠

DAB

的平分线

AE

交

CD

于点

E

，连接

BE

，且

BE

平分∠

ABC

，则以下结论中不正确的有

(

A

)第12题图A

A.

0个B.

1个C.

2个D.

3个1234567891011121314151617181920

∴∠

AEB

＝180°－(∠

BAE

＋∠

ABE

)＝180°－90°＝90°，故

③正确；第12题图1234567891011121314151617181920∵∠

AEB

＝90°，∴

BE

⊥

AF

.

∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

FBE

.

如图，延长

AE

交

BC

的延长线于点

F

.

第12题图∴△

ABE

≌△

FBE

(ASA).∴

AB

＝

BF

，

AE

＝

FE

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

EAD

＝∠

F

.

1234567891011121314151617181920

∴△

ADE

≌△

FCE

(ASA).∴

AD

＝

CF

.

∴

AB

＝

BF

＝

BC

＋

CF

＝

BC

＋

AD

，故①正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，第12题图∴

CE

＝

DE

，即

E

为

CD

的中点，故②正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，∴

S△

ADE

＝

S△

FCE

.

∴

S四边形

ABCD

＝

S△

ABF

.

1234567891011121314151617181920二、填空题

(共4题，每题3分，共12分)

13.

如图，点

B

，

E

，

C

，

F

在同一条直线上，若∠

B

＝∠

DEF

，

AB

＝

DE

，要用SAS证明△

ABC

≌

DEF

，则可以添加的条件是

⁠

⁠.BC

＝

EF

(或

BE

＝

CF

)

123456789101112131415161718192014.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝60°，将△

ABC

沿

DE

翻折后，点

A

落

在

BC

边上的点A'处，如果∠A'EC＝70°

，那么∠A'DE＝

⁠.65°

123456789101112131415161718192015.

如图，淇淇用10块高度都是2

cm的相同长方体小木块垒了两堵与地

面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°)，点

C

在

DE

上，点

A

和点

B

分别与两堵木墙的顶

端重合，则两堵木墙之间的距离

DE

是

⁠.20

cm

123456789101112131415161718192016.

如图，在△

AOB

和△

COD

中，

OA

＝

OB

，

OC

＝

OD

，

OA

＜

OC

，∠

AOB

＝∠

COD

＝36°，连接

AC

，

BD

交于点

M

，连接

OM

，

过点

O

作

OE

⊥

AC

于点

E

，

OF

⊥

BD

于点

F

.

给出以下结论：①∠

AMB

＝36°；②

AC

＝

BD

；③

OE

＝

OF

；④∠

EOF

＝36°.其中正确

的结论有

(填序号).①②③④

1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920∴∠

OAC

＝∠

OBD

，

AC

＝

BD

.

故②正确；∵

OE

⊥

AC

，

OF

⊥

BD

，∴∠

OEA

＝∠

OFB

＝90°.又∵

OA

＝

OB

，∠

OAC

＝∠

OBD

，∴△

OAE

≌△

OBF

(AAS).∴

OE

＝

OF

，∠

AOE

＝∠

BOF

.

∴∠

AOE

－∠

BOE

＝∠

BOF

－∠

BOE

，即∠

AOB

＝∠

EOF

＝36°.故③④正确；1234567891011121314151617181920由三角形的外角性质，得∠

AMB

＋∠

OBD

＝∠

AOB

＋∠

OAC

，∴∠

AMB

＝∠

AOB

＝36°.故①正确.∴正确的结论有①②③④.1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.

(6分)如图，

AB

＝

AD

，∠

BAC

＝∠

DAC

＝25°，∠

D

＝80°.求

∠

BCA

的度数.

123456789101112131415161718192018.

(7分)如图，已知线段

AB

，

O

为

AB

的中点，点

C

在线段

OB

上(不与

点

O

，

B

重合)，将

OC

绕点

O

逆时针旋转一定角度后得到线段

OQ

，

OP

，且

OQ

⊥

QB

，

OP

⊥

AP

.

求证：

AP

＝

BQ

.

证明：∵

OP

⊥

AP

，

OQ

⊥

QB

，∴∠

P

＝∠

Q

＝90°.由题意知，

OA

＝

OB

，

OP

＝

OQ

＝

OC

，∴Rt△

APO

≌Rt△

BQO

(HL).∴

AP

＝

BQ

.

123456789101112131415161718192019.

(8分)[江苏无锡中考改编]如图，△

ABC

为锐角三角形.(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在

AC

右上方确定点

D

，使∠

DAC

＝∠

ACB

，且

AD

＝

BC

，连接

CD

(不写作法，保留作图痕迹)；解：(1)如图，点

D

即为所求.1234567891011121314151617181920(2)指出图中的平行线段，并说明理由.

123456789101112131415161718192020.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，

AC

平分∠

BAD

，

CE

⊥

AB

于点

E

.

(1)若

CE

＝2，则点

C

到

AD

的距离为

⁠；2

1234567891011121314151617181920

解：猜想：∠1＋∠2＝180°.理由：过点

C

作

CF

⊥

AD

交

AD

的延长线于点

F

，如图.∵

AC

平分∠

BAD

，∴∠3＝∠4.1234567891011121314151617181920∵

CE

⊥

AB

，

CF

⊥

AD

，∴

CF

＝

CE

，∠

CFA

＝∠

CEA

＝∠

CEB

＝90°.又∵

AC

＝

AC

，∴Rt△

ACF

≌Rt△

ACE

(HL).∴

AF

＝

AE

.

∴

EB

＝

DF

.

∴△

DFC

≌△

BEC

(SAS).1234567891011121314151617181920∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5