新教材高中数学第九章统计921总体取值规律的估计922总体百分位数的估计学案

9.2.1总体取值规律的估计9.2.2总体百分位数的估计

目国国图

考点学习目标核心素养

会画一组数据的频率分布表、频

频率分布表、频率分布直方图直观想象、数据分析

率分布直方图

会用频率分布表、频率分布直方

用样本估计总体图、条形图、扇形图、折线图直观想象、数据分析

等对总体进行估计

掌握求〃个数据的第0百分位数

总体百分位数的估计数学抽象、数学运算

的方法

研读•导学•尝试

◎问题导学

预习教材网92-尺02的内容，思考以下问题:

1.绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤?

2.频率分布直方图有哪些特征？

3.如何求〃个数据的第夕百分位数？

新知初探》

1.频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

在频率分布直方图中，纵轴表示

器，数据落在各小组内的频率

加各小长方形的面积来表示，各小

长方形的面积的总和等于1

2.百分位数

(1)定义：一般地，一组数据的第0百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有成

的数据小于或等于这个值，且至少有(100一2)％的数据大于或等于这个值.

（2）计算步骤：计算一组〃个数据的第〃百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=nX微.

第3步，若，不是整数，而大于，的比邻整数为J,则第夕百分位数为第2项数据；若i

是整数，则第0百分位数为第/项与第。+1）项数据的平均数.

《自我检测》

吼判断（正确的打“，”，错误的打“X”）

（1）直方图的高表示取某数的频率.（）

（2）直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率.（）

（3）直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值.（）

（4）直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.（）

解析：要注意频率分布直方图的特点.在直方图中，纵轴（矩形的高）表示频率与组距的

比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积.

答案：⑴X（2）X（3）X⑷J

0一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本

数据分为（）

A.10组B.9组

C.8组D.7组

解析：选B.极差为140—51=89,而组距为10,故应将样本数据分为9组.

目将容量为1（）0的样本数据按由小到大排列分成8个小组，如表所示，但第3组被墨汁

污染，则第三组的频率为（）

A.0.14

解析：选A.6=0.14.

a（2019•四川省绵阳市教学质量测试）某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段

路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，

根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间［90,110）的约有辆.

频率

0.03

0.02

0.01

08090100110120时速

解析：由图可知，时远在区间［80,90）,［110,120,

所以时速在区间［90,110）的频率为1-0.3=0.7.

所以时速在区间［90,110）的车辆数为400X0.7=280.

答案：280

探究案，解惑•探究•突破….

探究点

频率分布表、频率分布直方

图、频率分布折线图的绘制

角度一频率分布表、频率分布直方图的绘制

屈m为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据（单位：kg）

如下：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,

49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,

69,64,46,54,48

将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图.

【解】以4为组距，列表如下：

分组频率累计频数频率

,)丁20.0455

,)IFT70.1591

,)iF下818

,)TFiFTF一160.3636

,)7F50.1136

,)7F40.0909

,)T20.0455

频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.

oJ0

oa9

oo8

oo7

o6

xook5

oa4

o3

。

oo2

o1

回园四囱

（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系:

①若极磊差为整数，则极源差=组数;

②若赢不为整数，则册的整数部分+1=组数.

(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布

规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容

量不超过1()0,按照数据的多少常分为5〜12组，一般样本量越大，所分组数越多.

角度二须率分布直方图的应用

谢团为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,

将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为

2：4：17：15：9：3,第二小组的频数为12.

8

o.sM0O

S306

0强

O.0

O.204

O.G200

^0收

O.(xx)8

O.0x()4

090100110120130140150次数

⑴第二小组的频率是多少？样本量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

(3)样本中不达标的学生人数是多少？

(4)第三组的频数是多少？

【解】(1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二

4

小组的频率为2+4+17+15+9+3=°.°8-

T7卬不辂一此中第二小组的频数

又因为第一小组的频率=---j-q-Tj------，

一,、,—人已第二小组的频数__12__

所以样本存量=第二小组的频率=丁诵=1C5A0-

17-4-1R4-Q-I-3

(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为100%=88%.

/十4十1/十13十y十J

(3)由(1)(2)知达标率为88%,样本量为150,不达标的学生频率为1-0.88=0.12.

所以样本中不达标的学生人数为150X0.12=18(人).

17

⑷第三小组的频率为“34・

/十4十1/十15十9十3

又因为样本量为150,

所以第三组的频数为150X0.34=51.

期喟前国

频率分布直方图的应用中的计算问题

频率

(1)小长方形的面积=组距X=频率;

⑵各小长方形的面积之和等于1:

频数频数

(3)评言=频率，此关系式的变形为=样本量，样本量义频率=频数.

频率

跟踪训练:某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率

分布直方图，样本数据分组为［76,78),［78,80),…，［84,86］.若这批产品有12c个,

估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是()

A.12B.18

C.25D.90

解析：选D.,所以在该范围内的产品个数为120X0.75=90.

探究点四］

条形统计图

倒⑶为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内

容.为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结

果，绘制统计图如图所示.

请根据统计图提供的信息回答以下问题:

⑴求抽取的学生数；

⑵若该校有30()0名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；

(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比.

【解】(1)从统计图上可以看出，

喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；

喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；

喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；

喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人.

所以抽取的学生数为20+10+30+15+30+38+64-42+6+45=300(人).

(2)喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总

人数的比例为黑，

由于该校有3000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有黑X3000

OUU

=1060(A).

46

⑶该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为而X100%

=15%.

期回词图

(1)绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴

上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图.

实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越

精确.

(2)在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观

反映了各部分在总体中所占比重的大小.

跟踪训练;为了解学生.身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分

层随机抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示.

(1)估计该校男生的人数；

⑵估计该校学生身高在170〜185cm之间的学生占总人数的百分比是多少.

解：(1)样本中男生人数为40,由分层随机抽样比例为10舟估计全校男生人数为40。.

⑵由统计图知，样本身高在170〜185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人)，样

本容量为7(),所以在样本中学生身高在17()〜185cm之间所占比例为数=50%,故可估计该校

学生身高在170〜185腐之间的学生占总人数的50%.

探究点

折线统计图

丽小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图.

体温/摄氏度

40

39

39

38v\

3838

37

61218061218661218

9月7日9月8H9月9日

根据图中的信息，回答以下问题：

(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？

(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？

(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？

,可认为基本康复，那么小明最快什么出院？

【解】(1)根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温.

(2)从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，，最低体温是36.8摄氏度.

(3)从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转.

，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时.因此小明

最快可以在9月10凌晨6时出院.

期倡词图

(1)绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确

定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即

(2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数后的增减变化情况，从陡峭程度

上，可分析数据间相对增长、下降的幅度.

据报道，去年某咨询公司对1500个家庭进行了关于奶粉市场的调查,

下图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉

的比率合计为()

50.0%

40.0%

30.0%

20.0%

10.0%

1袋2袋3袋4袋5袋每月购买

及以上奶粉袋数

A.79.9%B.70.9%

C.38.8%D.32.1%

解析：选B.根据折线图，%%,%%%.

探究点£][

扇形统计图

侧15]下图是48诙所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图:

(1)从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？

(2)已知A学校收到的剪纸作品比8学校的多20件,收到的书法作品比夕学校的少100

件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？

4学校B学校

【解】(1)不能.因为两所学校收到艺术作品的总数不知道.

⑵设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则

10%T—5%y=20,解得|『x=50。0。,，即』学校收到艺术作品的总数为5°。件,〃学校收到艺术

50%y-40%^=100,

作品的总数为600件.

网倒团国

(1)绘制扇形统计图时.，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在

圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注.

⑵扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不

同的百分比不可以作为比较的依据.

跟踪训练:如图是2019年各级学校每10万人口中平均在校生的人数扇形统计图,

则下列结论正确的是()

幼儿园高等学校

8%

高中阶段

12%

26%

48%初中

小学阶段

A.2019年有6%的高中生升入高等学校

B.2019年全国高等学校在校生6000人

C.2019年各级学校10万人口平均在校生数在高等学校学生中占6%

D.2019年高等学校的学生比高中阶段的学生多

解析：选C.由扇形统计图可以看出，2019年各级学校每10万人口中平均在校生的人数

所占的百分比分别为幼儿园占8%,高等学校占6乐高中阶段占12%,初中阶段占26乐小学

占48%,A项中应是高等学校在校学生.B项中6000人应是平均数，D项显然错误.

探究点①]

百分位数的计算

照+茂2+3

因此，甲组数的25%分位数为=2.5：

22

甲组数的75与分位数为一不一=f—=9.5.

乙组数的25与分位数为看要=lil-i乙组的75%分位数为华出=10+14

2T'-2-=12.

期回讨膨

求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列.

I练求1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数，75%分位数，9C%分位

数.

解：因为数据个数为10,而且10X25%,10义75乐：0X90%=9.

所以该组数据的25%分位数为照=3,75%分位数为检=8,90%分位数为空手=”3

测评案▼您@@日验证♦反馈•达标♦

i.下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（）

A

平均产奶ht/升平均产奶量/升

3030

25

20

15

10

5

0

ABCDEF牛的品种ABCDEF牛的品种

解析•：选D.用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的

多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图.注意B选项中的图不能称为统计图.

2.观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在［2700,3000）g

的频率为（）

解析：选C.由题图可得，新生儿体重在［2700,3000）g,故选C.

3.观察卜图所示的统计图，卜列结论止确的是（）

A.甲校女生比乙校女生多

B.乙校男生比甲校男生少

C.乙校女生比甲校男生少

D.甲、乙两校女生人数无法比较

解析：选D.图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生

的具体人数也无法得知.

4.（2019•广西钦州市期末考试）为了了解某城市居民用水量情况，我们抽取了10。位居

民某年的月均用水量（单位：吨）并对数据进行处理，得到该100位居民月均用水量的频率分

布表，并绘制了频率分布直方图（部分数据隐藏）.

组号分组频数频率

1[0)4

2,1)

3[1)15

4,2)22

5[2)X

6，3)14

7[3)6y

8，4)4

9[4]

合计100

频率/组距

IIIIIIII□___________

0651.522.533.544.5月均用水址(吨)

(1)确定表中的*与y的值：

(2)在上述频率分布直方图中，求从左往右数第4个矩形的高度；

(3)在频率分布直方图中画出频率分布折线图.

解：(1)因为总数是100,,1)内的频率为，区间［4,,

，1)内的频数为8,区间［4,)内的频数为2.

6

则x=100-(4+8+15+22+14+6+4+2)=25,y=—=0.06.

,且表中的数据组距为0.5,

所以它的高度为0.224-0.5=0.44.

(3)由频率分布直方图，画出折线图如图所示:

频率/组距

[A基础达标]

1.某地农村2004年到2019年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为

血叫n?

O

25.O21024.8

20.O17.8

15.

°2004200920142019布

A.2004年〜2009年

B.2009年〜2014年

C.2014〜2019年

D.无法从图中看出

解析：选，2009,20析年〜2019年的增长量为3.8.

2.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.

乙

根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是()

A.甲户比乙户大

B.乙户比甲户大

C.甲、乙两户一样大

D.无法确定哪一户大

解析：选B.条形统计图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占全年总支出的百

分比为12004-（1200+2000+1200+1600）=20%；从扇形统计图乙可知，乙户教育支出

占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大.

3.为了解某地区高一学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5〜18岁的男

生体重〃g），得到频率分布直方图（如图所示）.

频率/组距

0.07

0.05

0.03

分加百福心必警忍冬女诙卜豕5体面kg

）的学生人数是（）

A.20B.30

C.40D.50

解析：选C.,,那么学生的人数为100X0.4=40,故选C.

4.某工厂对一批元件进行抽样检测，经检测，抽出的元件的长度（单位：/必）全部介于93

至1（乃之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95）,[93,97）,[97,99）,

[99,101）,[101,103）,[103,105],得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97,103）

内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是（）

A.80%

C.20%D.85.5%

解析：选A.由频率分布宜方图可知元件长度在[97,103,故这批元件的合格率为£0%.

5.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就立均每天看电视的时间调查了某地1（）

000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析该地居民平均每天

看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000位居民中再用分层抽样抽出

100位居民做进一步调查，，3）（小时）时间段内应抽出的人数是（）

视时间〃卜时

A.25B.30

C.50D.75

解析：选A.,3,,3v■嬴=焉,，3）（小时）时间段内应抽出的人数是2500X击=25.

6.巴西世界杯足球赛门票面向全球发行时，某售票窗口在3月1日至8FI的售票情况如

图所示，由图可知，售票最多的日期是;售票最少的日期是;前4天

共售票为张.

解析：由题图可知，售票最多的日期是3月2日；最少的日期是3月3日与3月7日；

前4天共售票8+14+7+12=41（张）.

答案：3月2日3月3日与3月7日41

7.某校为了了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡

眠时间的数据，结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人

的睡眠时间为h.

5

4

3

2

1

O

解析：法一：要确定这50名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时

间为5.5X0.1X50+6XX50X50=27.5+90+130+35-37.5=320.

故平均睡眠时间为320・50=6.4（A）.

法二：根据图形得平均每人的睡眠时间为

£=5.5X0.1+6X0.3+6.5X0.4+7X0.1+7.5X0.1=6.4（A）.

8.某地为了了解该地区10000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500

户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示,

则该地区10000户家庭中月平均用电度数在［70,80）的家庭有户.

频率/组跖

m―♦Jo80Jo月平均用近数/度

解析：根据频率分布直方图得该地区10000户家庭中月平均用电度数在［70,80）的家庭

有10000X0.012X10=1200（户）.

答案：1200

9.为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500

名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示:

分组(单位：岁)频数频率

[20,25)5

[25,30)①

[30,35)35②

[35,40)30

[40,45]10

合计100

08

07

06

052

03

02

01

。

(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？

(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄

在［30,35)岁的人数.

解：(1)设年龄在［25,30)岁的频数为x,年龄在［30,35)岁的频率为y.

x35

法一：根据题意可得自，珠

解得x=20,必故①处应填20,②处应填0.35.

法二：由题意得5+>+35+30+10=100,

0.05+0.20+y+O.30+0.10=1,

解得x=20,y,故①处填20,②处填0.35.

(2)由频率分布表知年龄在［25,3,组距是5.

所以频磊率=『020=0.04.

组距5

补全频率分布直方图如图所示.

08

07

06

05

04

03

02

01

0202530~$54、45年//岁

根据频率分布直方图缶计这500名志愿者中年龄在［30,35)岁的人数为500X().35=175.

10.为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问

题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择：

小时以上

〜1小时

卜.图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答以

下问题：

00

90

80

70

60

50

40

30

207

(1)本次一共调兖了多少名学生；

(2)在图⑴中将选项B对应的部分补充完整；

⑶若该校有3000名学生，你估”全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5

小时以下？

解：(1)由图(1)知，选A的人数为60,而图(2)显示，选力的人数占总人数的30%,故本

次调查的总人数为604-30%=200.

(2)由图⑵知，选B的人数占总人数的50%,因此其人数为200X50%=100,图(1)补充

如图所示：

人数/人

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10r-)

ABCD选项

%,以此估计得3000X5%=150(人).

[B能力提升]

11.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于

其他7个小长方形的面积和的且样本容量为200,则第8组的频数为.

解析：设最后一个小长方形的面积为x,则其他7个小长方形的面积为从而x+4x

=1,所以x=0.2.故第8组的频数为200X0.2=40.

答案：40

12.90,92,92,93,93,94,95,96,99,100的75%分位数为，80与分位数为

解析：10X75%,10X80%=8,

所以75%分位数为照=96,

80席分位数为"二=93499

-2~=97.5.

13.（2019•山西省大同市铁路一中期末考试）为了解某校高三学生的身体状况，用分层

随机抽样的方法抽取部分易生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方

图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3,第二小组频数为12,若全校男、女

生比例为3:2,则全校抽取学生数为.

解析：根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0为5+0.0375,

因为从左到右前三个小组频率之比为1：2：3,第二小组频数为12,

所以前三个小组的频数为36,从而男生有=会=48（人）.

5

因为全校男、女生比例为3：2,所以全校抽取学生数为48X^=80.

答案：80

14.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以［160,180）,［180,200）,均00,

220),[220,240),

（1）求直方图中x的值;

(2)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[平0,300]的四组用户中,

用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在［220,240）的用户中应抽取多少户？

解：(l