专题1-2一文吃透相似三角形12个模型共14类题型（原卷版）

专题12一文吃透相似三角形12个模型•共14类题型

题型•归纳

目录

模型梳理....................................................................................3

题型一A字模型...........................................................................12

2023・四川成都・真题..................................................................12

2022宜宾...............................................................................12

2023・山东潍坊・真题..................................................................13

2022・浙江杭州・真题..................................................................13

2023・浙江温州・真题..................................................................14

2022安徽...............................................................................14

2023•广东・真题.......................................................................15

2023•山东泰安-真题..................................................................15

2023・四川眉山・真题..................................................................16

2022•江苏淮安・真题..................................................................16

题型获"8"字型.........................................................................17

2022・辽宁・真题.......................................................................17

2023・四川乐山・真题..................................................................17

2023•湖北武汉-真题..................................................................18

2023・四川泸州・真题..................................................................18

2023・浙江杭州・真题..................................................................19

2023•四川眉山・统考中考真题..........................................................19

2022深圳...............................................................................20

20

2022•山东东营・真题..................................................................20

西园倒数型（三平行结构）..............................................................22

湖南株洲-统考中考真题................................................................22

2023•四川内江・真题..................................................................22

2024届•深圳中学九年级期中...........................................................22

23

2023•黑龙江哈尔滨・真题..............................................................23

2023•安徽-真题......................................................................23

2023・陕西-真题.......................................................................23

射影定理24

2023•湖南郴州・真题..................................................................24

2022湘潭...............................................................................24

题型箔子母模型（公共边公共角）..................................................................................................................26

2022•湖北鄂州・真题..................................................................26

2023•四川凉山・真题..................................................................26

酶人一线三等角模型....................................................................28

2023•黑龙江大庆-真题................................................................28

2023•山东东营-真题..................................................................29

浙江中考真题...........................................................................30

2023•浙江丽水•统考中考真题......................................................31

徐州中考...............................................................................33

2023•湖北武汉-统考中考真题..........................................................35

35

2023•湖南常德・真题..................................................................35

2022烟台...............................................................................36

2021天门...............................................................................36

2022河池...............................................................................36

2023・辽宁营口・真题..................................................................37

2022鞍山...............................................................................39

作辅助线构造A字和8字型相似.....................................................40

2023•湖北十堰・真题..................................................................40

2023・浙江-真题......................................................................40

2023•江苏•中考真题..................................................................41

2022•湖南常德・真题..................................................................41

2022•四川绵阳・真题..................................................................42

2022襄阳..............................................................................42

2023・山东烟台・真题..................................................................43

2022•湖北武汉・统考中考真题..........................................................45

型分O反〃8”字型相似（两组相似，四点共圆）..........................................46

2022・新疆•统考中考真题..............................................................46

2023・浙江丽水・统考中考其题..........................................................46

重庆中考...............................................................................46

mos十字架模型......................................................................47

2023・辽宁丹东・真题..................................................................47

2023・山东特泽•中考真题..............................................................48

2021・四川达州・统考中考真题..........................................................49

对角互补模型....................................................................51

深圳中考...............................................................................51

双高型...........................................................................52

知识点•梳理

模型梳理

一、A字模型

已知：在aABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE〃BC.

结论：△ADESZXABC,.（头线的边之比相等）

ABACBC

反A字型

AEDF

结论：—三.（共线的边之积相等）

ACABBC

构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型

二、8字模型

已知：AC与BD相交于点O,AB//CD.

o

DC

结论：AOAB^AOCD,竺=空="（共线的边之比相等）.

OCODCD

构造8子模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型

三、反8字模型（两组相似，四点共圆）

…，…AABOAOB

性质一：如左图，乙A=dAOBs^DOCo—=——=—.

CDOD0C

/AOD=NBOC

性质二：如右图，＜0AOBOAOD=&AODsABOC（由第一组相似推出第二组相似）

VD~OC^OB~~OC

性质三：四点共圆（圆周角定理）

四、三角形内接矩形型

三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形.

AA

AI_EF

若四边形OE尸G为矩形，则：小AEFfABCn

特别地,

AI_EF4H-aaAHBC

(1)当四边形。E尸G为正方形时，若假设其边长为明则：-----=>a=---------------

~AH~~BCAHBC----------AH+BC

最大值为距郎G=gs”8c

(2)当EF为三角形的中位线时，矩形ORFG的面积最大,

(3)——

S+V

3BDE十J^CGF

S.FFAE

证明：把△尸GC向左平移至△即C',则A4斯〜A£8C'

~BE

°bBDE丁9&CGF

五、倒数模型(三平行结构)

示意图结论

AJ_J_J_

倒数型相似EF~ABCD

AB〃EF〃CD111

-----1-----=-----

BFCS△/BCS&BCDSABCF

六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即AACDsAABCsACBD.常见的

结论有：C42=ADAB,B—BDBA,CD2=DADB（均满足：（公共边尸=共线的边之积）

补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A,B,E,G四点组成射影

定理模型.

（2）在圆中也会出现射影定理模型.

七、母子相似模型

（一）基本模型

已知：在4ABC中，点D在AB上，NACD=NB或NADC=NACB.

结论：AACD^AABC,

BC

AHArCD

—==AC2=AD-AB.（公共边门=共线的边之积

/iUADDC

（二）结论推导

4。4CCD

结论：AACD^AABC,—=--=—,AC2=AD•AB.

ACABBC

证明：•・•NACD=NB或/ADC=NACB,NCAD=NBAC,

4DACCD

AAACD^AABC,，一=—=—,JAC2=AD・AB.

ACABBC

母子相似模型也叫共边共角相似模型.

（三）解题技巧

如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段

的灾积.

八、一线三等角模型

（-）基本模型

已知：点。在线段48上，Z1=Z2=Z3.

APB结论1：ACAPSMBD.

V已知：点。在4?的延长线上，Z1=Z2=Z3.

a,结论2：△APCSRBDP.

（二）结论推导

结论1:△CAPs^PBD.

证明：:Nl+NC+N4PC=18（）c,Z2+ZBPD+ZAPC=180°,N1=N2,：・NC=NBPD.

VZ1=Z3,:•△CAPS^PBD.

结论2:XAPCSRBDP.

证明：•・•N1=NC+N/PC,42=/BPD+ND,/3=/BPD+/APC,N1=N2=N3,:/BPD,

4PC=/D,:.△APCS^BDP.

（三）解题技巧

在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型.找准三个等角，再根据平角性质、

三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题.一线三等角模型常以一线三垂直（即Nl=

Z2=Z3=90°,也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查

九、旋转相似模型（手拉手）

（一）基本模型

（二）结论推导

结论：△ABDsAACE.

j正明：,:DE〃BC,:.NADE=/ABC,NAED=4CB,

:•AADEsAABC,*•AD=AB,

~AEAC

•：/BAD=NCAE,:•△ABDS^ACE.

（三）解题技巧

如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有=现去顶点、

顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似.在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可

以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解.

十、十字架模型

【正方形内的十字架结构】垂直=相等，相等右垂直

【十字结构在矩形中】

CECDm,

如困，在矩形ABCD中，AB=m,AD=n,在AD上有一点E,若CE_LBD,则—,即CE

BDBCn

和BD之比等于矩形邻边之比

一般情况时，也满足（注意E,F,G,H四点的位置.不能在同一条边上）

【十字结构在直角三角形中】

我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH,延长CE交AH

于点G

AG

CBCB

【十字结构在其他四边形中】补成长方形即可

如图，把边长为力4=2&,8C=4且/8=45。的平行四边形18C。对折，使点8和。重合.求折痕MN

的长

F2AMD

“4—2

BNC

BNC2F

如图，若BA=BC=6,DA=tDC=8,ZBAD=90°.DELCF,请求出。E：C/的值

A

cr、、y

N

十一、对角互补模型

【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向

两边做垂线，从而证明两个三角形相似。

△FDC-XGEC

△DOCsAEFC

十二、双高模型

双高模型：可谓“相似成灾”

O

F

M

BC

共有8组相似！

①Rt^BOMsRt^BFNsRt^CFMsRt^cON;

②△BCMsaoFM（蝴蝶相似必成队）

、③△NOFsZ\NCB（反A型）

重点题型•归类精练

2023•四川成都•真题

1.如图，在』8c中，。是边力8上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分

别交力8,4c于点M,N；②以点。为圆心，以4W长为半径作弧，交DB于点③以点A/'为

圆心，以长为半径作弧，在/A4C内部交前面的弧于点N'：④过点V作射线OV交于点E.若

DC

△3力E与四边形力CEO的面积比为4:21,则空的值为.

2022宜宾

2.如图，△力4c中，点E,/分别在边"，4C上，Z1=Z2.若8c=4,彳尸=2,CF=3,则EF=

2023•山东潍坊・真题

3.在《数书九章》(宋•秦九韶)中记载了一个测廉塔高的问题：如图所示，48表示塔的高度，表示竹

竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB.CD、E厂在同一平面内，点力、C、E在一

条水平直线上.已知/C=20米，CE=10米，8=7米，E产=1.4米，人从点尸远眺塔顶8,视线恰

好经过竹竿的顶端。，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米.

2022•浙江杭州•真题

4.如图，在。中，点。，E,尸分别在边力8,AC,8C上，连接。区EF,已知四边形8匹£。是平行

(1)若48=8,求线段力。的长.

⑵若V/QE的面积为1,求平行四边形8/方。的面积.

2023•浙江温州•真题

5.如图，已知矩形48C'。，点E在C8延长线上，点尸在8c延长线上，过点/作?〃_LE”交EO的延长

线于点〃，连结"'交E〃于点G,GE=GH.

An5

(1)求证：BE=CF,⑵当前=%,4。=4时，，求E”的长.

6.小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度,

当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部A处发光，光线透

过窗子4C照亮地面的长度为。£,小言测得窗户距离地面高度占尸=0.7111,窗高8C=1.4m,某一时刻,

2022安徽

7.如图，四边形48c。是正方形，点E在边4。上，"是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF,

BF分别交CD于点M,M过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G,连接DF,若DE=1,DF=?五,

则MN=_________.

8.（2023•深圳•九年级统考期中）如图，在Rt/8C中，ZJ5C=90°,AB=6,BC=8,ZBAC,/ACB

的平分线相交于点七，过点E作EF//BC交人C于点、F,则E尸的长为()

810

c.D.

3T

9.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的

面积为_______

10.如图，在AS。中，/。=4c=16,点。在44上，点E在4C上，点8关于直线。上的轴对称点为点

R',连接。ER',分别与力。相交干"点.G点,若4尸=8,。歹=7.8户=4.则CG的长度

11.如图，在RlA/lB。中，ZC=90°,棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在4C,上，有两

个顶点在斜边上则图中阴影部分的面积为.

B

2023•四川眉山•真题

12.如图，中，力。是中线，分别以点4点4为圆心，大于g/出长为半径作弧，两孤交于点直

线MN交AB于点、E.连接CE交］。于点尸.过点、D作DG//CE,交于点G.若DG=2,则6的

长为.

2022•江苏淮安•真题

13.如图，在中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点。是4C边上的一点，过点。作。尸〃

nr

交BC于点、F,作/胡。的平分线交。尸于点E,连接B£.若“8F的面积是2,则▼的值是______

EF

14.（2023上•广东深圳•九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有

借鉴意义.如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱/〃下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯

的高度，具体做法如下：先从路灯底部力向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作

好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点。处，已知小王和灯

柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致.

图1图2

(I)请在图中画出路灯O和影子端点。的位置.

(2)估计路灯的高，并求影长”?的步数.

(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2,小明同

学用自制的史角二角形纸板。£尸测量树的高度46,他调整自己的位置，设法使斜边。/保持水平•，并且边

与点8在同一直线上.测得。尸=().5m,£F=0,3m,CD=10m,小明眼睛到地面的距离为L5m,则树

高48为w.

霞O"8"字型

2022•辽宁•真题

15.如图，在正方形力8c。中，E为4。的中点，连接8E交力C于点尺若45=6,则的面积

2023•四川乐山•真题

16.如图，在平行四边形44。中，E是线段48上一点，连结力C、DE交于点F.若二=:,则

EB3

2023•湖北武汉•真题

17.如图，QE平分等边的面积，折叠△〃£>£<得到△POE,4C分别与。尸,石尸相交于G,“两点.若

DG=m,EH=n,用含〃八〃的式子表示GH的长是

2023上•广东深圳•九年级南山实验教育集团南海中学校考期中

18.如图，在口/灰?。中，E为45边上的点，AE=2DE,连接8E交力。于点E,"E尸的面积为4cm

2023•四川泸州・真题

19.如图，E,尸是正方形.4ACO的边,4月的三等分点，尸是对角线.4C上的动点，当"E4■尸尸取得最小值

时，完AD:的值是,

2023•浙江杭州•真题

20.在边长为I的正方形48CQ中，点七在边力。上(不与点A,。重合)，射线8E与射线C。交于点尸.

(2)求证：AECF=\.

(3)以点片为圆心，8c长为半径画弧，交线段跖于点G.若EG=ED,求EO的长.

2023・四川眉山•统考中考真题

21.如图，Y/3c。中，点E是/。的中点，连接CE并延长交84的延长线于点E

(1)求证：AF=AB；

(2)点G是线段力尸上一点，满足/产CG=/RX),CG交力。于点“，若4G=2,"G=6,求G”的长.

22.如图，矩形力BC。中，点七在。。上，DE=BE,4c与6D相交于点O.8E与4C相交于点尸.

D

(1)证明：△OBFSAECF；

(2)若。/=3,EF=2,求8户的长度.

2022深圳

23.在Rt△44C中，N/BC=90。，力4=3,BC=5,AE=2Y5,连接CE,以CE为底作等腰RtZXCOE,

CD=DE,点、F是线段4E上一点、,连接80,BF,ZFBD=45°,则力尸的长为.

题I型S三角形内接矩形

2022•山东东营•真题

24.如图，在“8C中，点RG在8C上，点七、〃分别在48、ACh,四边形EFG/7是矩形，EH=2EF,AD

是小BC的高.5C=8,/ID=6,那么£7/的长为.

25.如图，力。是“8C的高，点E*在8。边上，点G在4C边上，点〃在6c边上，8c=21cm,高4。=15cm,

四边形EFGH是ABC内接正方形，

A

HG

BEDFC

(1)A4〃G与△力4C相似吗？为什么？

(2)求内接正方形EFGH边长EF.

26.如图，是一块锐角三角形余料，边BC=l20mm,高力。=80mm,要把它加工成矩形零件?QMN,

使一边在〃。上，其余两个顶点分别在边力从AC±.若这个矩形的边尸N：尸。=1：2,则这个矩形的

长、宽各是多少？

27.如图，已知2U8C中，^C=10,8C边上的高力，=8,四边形。ER7为内接矩形.

(1)当矩形。EFG是正方形时，求正方形的边长.

(2)设石产=-矩形。EFG的面积为S,求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最

大值.

BDHE

题型@倒数型（三平行结构）

湖南株洲•统考中考真题

28.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是（）

2023•四川内江•真题

29.如图，在』8c中，点。、£为边/18的三等分点，点RG在边3C上，AC〃DG〃EF,点、H为AF与

0G的交点.若力C=12,则。〃的长为（）

C.2D.3

2

2024届•深圳中学九年级期中

30.如图，在A8C中，点。、E为边AB三等分点、，点、F、G在边8c上，AC〃DG〃EF,点、H为AF与

QG的交点.若，。=3,则4c的长为.

题型国A字型及8字型相结合

2023•黑龙江哈尔滨•真题

31.如图，AC,8。相交于点O,AB〃DC,“是的中点，MN//AC,交BD于点、N.若

DO:OB=\:2,AC=\2t则MN的长为（）

32.如图，在平行四边形/18CZ）中，过点8的直线分别与彳C,彳。及CO的延长线相交于点£,F,G,若

BE=6,EF=4,贝IJ产G的长为.

2023・安徽・真题

33.如图，点E在正方形48CZ）的对角线4C上，EFL4B于点、F,连接OE并延长，交边BC于点、M,交

边48的延长线于点G.若力产=2,FB=l,则A/G=(

C.-Js+1D.x/io

2023•陕西•真题

34.如图，QE是“8c的中位线，点厂在。8上，DF=1BF.连接E尸并延长，与C8的延长线相交于点

M.若8c=6,则线段CM的长为（）

A

c.gD.8

35.如图，在Y48CO中，延长力。至点E,使力。=2。七，连接的交。。于点F,交4C于点G,则二的

AG

射影定理

2023•湖南郴州•真题

36.在RtZ\48C中，NB4c=90。,是斜边4c上的高.

(1)证明：dABDsACBA；

(2)若48=6,8C=10,求8。的长.

2022湘潭

37.如图，在△44。中，/比fC=90。，AB=AC,直线/经过点4,过点从。分别作/的垂线，垂足分别

为点O,E,延长4。交力。于点尸，若CE=3,DE=\,求/C的面积.

A

38.如图，在四边形力BC。中，AC与8。相交于点O,N/8C=ND4c=90。，AB=\^40=4，则S44Bn

c

BC2OD3“△CW

39.如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG〃CD交AF于点G,

连接DG.

(1)求证：aAGEg/XAGD

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由;

(3)若AG=6,EG=2后，求BE的长.

D

F

BEC

子母模型（公共边公共角）

2022•湖北鄂州•真题

40.如图，在边长为6的等边MBC中，。、£分别为边BC、AC上的点,4D与BE相交于点P,若BD=CE=2,

则A/iBP的周长为.

2023•四；1|凉山・真题

41.如图，在Y力8c。中，对角线4c与〃。相交于点O,ZCAB=ZACB,过点、B作BEA.交4C于点E.

⑴求证：4cl80；(2)若力"=10,4C=16,求OE的长.

42.如图，“8C和△4G/7是等腰直角三角形，Z5JC=ZG=90°,△4Gb的边力b,4G交边AC于点Q,

DC

E.若4)=4,AE=3,则怒的值是.

43.12023上•广东深圳•九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片力ASCAD>AB）,将纸片折叠一次,

使点力与C重合，再展开，折痕EP交力。边于点E,交8C边于点巴交力C于点O,分别连接力/和

(1)求证：四边形.是菱形；

(2)过£点作力。的垂线石尸交,4C于点尸，求证：2AE2=AC^AP；

44.如图，在△48C中，点。在边48上，N8力。的平分线交C。于点£,交8c于点凡已知4。=9,BD

=7,AC=12.

(1)求证：AC2=AD'ABX(2)若力E=8,求EE的长.

A

45.如图，在菱形48CQ中，N5=60。，点£为力8上一点，将△力。£沿翻折，点力落在©处，连接

C4并延长交。E于点凡若4c=2,A'F=3,求的长.

46.(2023上•四川成都,九年级统考期末)在小A。中，点Q,七分别在边44,4c上，连接4七，CD交

于点O,且//OC=N/EC,

A

(1)求证：BDAB=BEBC：

(2)当。为边44的中点时，旦CE=4,

①若2/10=30E,求彳8；

②若为等腰直角三角形，且NE/C=90。，求四边形&)0E的面积.

47.如图I,在△4BC中,NO为中线，点上在力C的延长线上，NE=NABC,/。的延长线交于点尸.

(1)求证：AABC^AAEB,

(2)若4C=CE,BC=6,求£尸的长；

(3)如图2,若BF=6,8c=4,求防的长.

图1图2

48.如图，在△48C中，Z5JC=90°,AB=AC,点D,E在边8C上，ZDAE=45°,过点8作8/LL8C,

交力。的延长线于点尸，连接5K

(1)求证:AE?=BE,DE；

(2)求证：AAFEsACAE；

(3)若tan/8M=3，CE=2,求力户的长.

4

题型於一线三等角模型

2023•黑龙江大庆•真题

49.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片48co如图

所示，点N在边力。上，现将矩形折叠，折痕为8N,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边。C

上，则图中与一定相似的三角形是

2023•山东东营•真题

50.如图，△48c为等边三角形，点、D,E分别在边8C,AB±,ZADE=60°,若BD=4DC,DE=2.4,

则力。的长为（）

51.如图，△ABC和△瓦）。都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90。,顶点4在边DE上,4B与CD

相交于点£若力E=2,AD=4,则△力打。的面积为.

52.如图，在等边△力8c中，48=6,点。是边上一点，BD=2,点、F是边AC上一点,若在边8c上

只有一点E，使/。£〃=60。，则3的长为.

53.如图，将等边△48C折叠，使点8落在力。边上的点尸处，折痕为若力尸=4,CF=8,则C£的

长为

A

F

54.如图，点。是等边“8C的一边8c上的任意一点，旦CP=3BP,连接”，作力尸的垂直平分线交

4B、4c于"、N两点，则力M:4v的值为.

55.如图，点凡G分别在正方形力8c。的边8C,CQ上，£为中点，连接ED,正方形FGQP的边PQ

恰好在QE上，若正方形48CO边长为7,则正方形"0G面积为.

浙江中考真题

56.如图，矩形48CO中，由8人面积均为1的小正方形组成的乙型模板如图放置，则矩形/8CQ的周长

为•

57.如图，菱形48CO与菱形力EFG相似，力£7七的顶点G在48CQ的8c边上运动，G/与48相交于点

H,ZE=60°.若CG=3,力〃=7,则菱形/8CO的边长为.

E

c

2023•浙江丽水・统考中考真题

58.如图，在四边形力3。。中，4）〃8C,NC=45。，以AB为腰作等腰直角三角形比/E,顶点E恰好落在CD

边上，若40=1,则CE的长是（）

力―_______D

BC

A.V2B.正

C.2D.1

2

59.如图，将8个边长为1的小正方形叠放，过其四个角的顶点A、E、F、G作一个矩形ABCD,则矩形

,ABC二D的面积为__________.

C

60.如图，在RtZXXBC中，N48C=90。，A