中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案 (2026年湘潭)

中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案(2026年湘潭)一、单项选择题（每题2分，共30分）1.设A,B为两个随机事件，已知P(A)=0.6A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7答案：C解析：由概率加法公式得P(AB2.某保险公司的投保人分为低风险、中风险、高风险三类，占比分别为60%、30%、10%，三类投保人在一年内发生索赔的概率分别为0.05、0.15、0.30。现随机抽取一名投保人，其在一年内发生了索赔，则该投保人为高风险类别的概率约为（）A.0.15B.0.20C.0.29D.0.35答案：C解析：由全概率公式，总索赔概率为P(索赔)3.设随机变量X服从率参数为λ的指数分布，已知E[(XA.1B.1C.2D.3答案：C解析：指数分布的期望E(X)=1λ，方差Var(4.设随机变量X与Y相互独立，且X∼N(1,A.-19B.25C.97D.100答案：C解析：方差不随常数平移改变，且独立变量线性组合的方差为系数平方乘各自方差之和：D(5.某保险公司承保的100份保单的索赔额相互独立，每份保单的索赔额均服从率参数为λ=(2)=0.9772$，$\Phi(1.2)=0.8849$）A.0.0228B.0.1151C.0.8849D.0.9772答案：A解析：每份保单期望E(X)=1万元，方差Var(2)=0.0228$。6.设X1,X2,…,XnA.iB.(C.XD.n答案：B解析：正态总体中，(n−1)S2σ2∼(1)$分布。7.设总体X的均值为μ，方差为σ2，X1,A.μB.μC.μD.μ答案：B解析：四个估计量均为无偏估计，方差分别为：Var(μ1)=718σ28.设正态总体X∼N(μ,σ2)，其中(15)=2.131$，$t_{0.025}(16)=2.120$，$z_{0.025}=1.96$）A.(B.(C.(D.(答案：B解析：总体方差未知时，均值的置信区间使用t分布，形式为x±tα/29.在假设检验中，下列关于两类错误的说法正确的是（）A.第一类错误是指原假设为假时接受原假设的错误B.第二类错误是指原假设为真时拒绝原假设的错误C.当样本容量固定时，两类错误的概率可以同时减小D.当样本容量固定时，减小第一类错误的概率通常会增大第二类错误的概率答案：D解析：第一类错误为“弃真”（原假设为真时拒绝），第二类错误为“取伪”（原假设为假时接受），A、B表述错误；样本容量固定时，两类错误概率此消彼长，无法同时减小，C错误，D正确。10.设某保单的损失额X服从区间[0A.32B.40C.64D.80答案：A解析：赔付额Y=max(11.某保险公司有1000份同类型保单，每份保单在一年内发生索赔的概率为0.005，且各保单是否索赔相互独立。利用泊松近似，一年内总索赔次数不超过3次的概率约为（）（注：k=03A.0.2650B.0.3528C.0.6472D.0.7350答案：A解析：总索赔次数服从二项分布B(1000,0.005)12.设随机变量X与Y的相关系数为0.5，E(X)=EA.3B.4C.5D.6答案：D解析：由题意得Var(X)=Var(Y13.在单因素方差分析中，总离差平方和SST、组间离差平方和SSA、组内离差平方和SSE之间的关系是（）A.SSTB.SSTC.SSAD.SSE答案：A14.设一元线性回归模型为yi=β0+β1xi+εi，i=1,A.0.8B.1.2C.2.4D.3.0答案：B解析：回归系数的最小二乘估计为β115.设随机变量序列X1A.当n很大时，1nB.当n很大时，1niC.当n很大时，i=1D.当n很大时，i=1答案：B解析：根据独立同分布中心极限定理，样本均值X近似服从正态分布Nμ,σ2n二、多项选择题（每题3分，共30分）1.设A,B为两个随机事件，若P(A.若A与B互斥，则A与B一定不独立B.若A与B独立，则A与B一定不互斥C.PD.PE.若A⊂B答案：ABDE解析：-A、B：互斥事件满足P(AB)=0，而独立事件要求P(2.下列关于常见概率分布的说法正确的有（）A.指数分布具有无记忆性B.两个独立的泊松分布随机变量之和仍服从泊松分布C.两个独立的正态分布随机变量之差仍服从正态分布D.均匀分布的均值与中位数相等E.二项分布的方差一定大于其均值答案：ABCD解析：-A：指数分布的核心性质为无记忆性，即P(X>s+3.设随机变量X与Y相互独立，且均服从标准正态分布，则下列随机变量中仍服从正态分布的有（）A.XB.XC.XD.2E.X答案：ABD解析：正态分布的线性组合仍为正态分布，A、B、D均为线性组合，服从正态分布。C项乘积不服从正态分布，E项服从自由度为2的卡方分布（即指数分布）。4.设X1,X2,…,A.XB.XC.SD.iE.(答案：ACE解析：统计量是不含未知参数的样本函数。B、D含未知参数μ，不属于统计量；A、C、E均不含未知参数，属于统计量。5.下列属于点估计量常用评选标准的有（）A.无偏性B.有效性C.一致性D.独立性E.平稳性答案：ABC解析：点估计的三大基本评选标准为无偏性（估计量期望等于真实参数）、有效性（无偏估计中方差越小越有效）、一致性（样本量增大时估计量依概率收敛于真实参数）。独立性、平稳性与估计量评选无关。6.关于正态总体均值的假设检验，下列说法正确的有（）A.当总体方差已知时，用Z检验法B.当总体方差未知时，用t检验法C.双侧检验的拒绝域在抽样分布的两侧D.显著性水平α是第一类错误的概率上限E.样本量增大时，统计量的拒绝域会变小答案：ABCD解析：-A、B：正态总体均值检验中，方差已知用Z检验，方差未知用t检验。-C：双侧检验的拒绝域分布在统计量分布的左右两侧，单侧检验仅在一侧。-D：显著性水平α是犯第一类错误的最大允许概率。-E：错误，若显著性水平α固定，统计量的拒绝域（如|Z7.某保单的损失额为随机变量X，其分布函数为F(x)，密度函数为f(xA.EB.EC.若X服从指数分布，则Y也服从指数分布D.免赔额越高，保险公司的期望赔付额越低E.免赔额越高，投保人的期望自留损失越低答案：ABD解析：-A：为绝对免赔额下赔付期望的直接积分定义。-B：非负随机变量的期望均可表示为生存函数的积分，该式对任意非负随机变量成立。-C：错误，Y在Y=0处有概率质量8.单因素方差分析的基本假定包括（）A.各水平下的总体服从正态分布B.各水平下的总体方差相等C.各样本相互独立D.各水平下的样本容量相等E.各水平下的总体均值相等答案：ABC解析：方差分析的三大基本假定为：正态性（各水平总体服从正态分布）、方差齐性（各水平总体方差相等）、独立性（各样本相互独立）。样本容量无需相等，总体均值相等是原假设而非假定。9.在一元线性回归模型中，下列说法正确的有（）A.回归系数的t检验与方程的F检验是等价的B.相关系数的显著性检验与回归系数的显著性检验是等价的C.若回归系数显著不为0，则说明x对y有显著的线性影响D.决定系数R2E.残差平方和越大，说明回归方程的拟合效果越好答案：ABCD解析：-A：一元线性回归中，F统计量等于t统计量的平方，二者完全等价。-B：相关系数检验与回归系数检验的统计量存在一一对应关系，检验结果一致。-C：回归系数显著不为0，意味着x与y的线性关系具有统计显著性。-D：决定系数R210.下列关于中心极限定理的说法正确的有（）A.独立同分布的随机变量序列，只要期望和方差存在，当样本量足够大时，样本均值近似服从正态分布B.独立同分布的随机变量序列，只有当总体服从正态分布时，样本均值才服从正态分布C.二项分布当n很大时，可以用正态分布近似D.泊松分布当参数λ很大时，可以用正态分布近似E.中心极限定理说明了正态分布的普遍性答案：ACDE解析：-A：为林德伯格-列维中心极限定理的核心内容。-B：错误，无论总体分布类型，只要期望方差存在，大样本下样本均值均近似正态分布。-C：棣莫弗-拉普拉斯定理即二项分布的正态近似。-D：泊松分布的参数λ越大，分布越接近正态分布N(三、计算与综合题（每题10分，共40分）1.某保险公司将投保人分为甲、乙、丙三类，三类投保人的占比分别为50%、30%、20%。已知甲类投保人一年内发生1次索赔的概率为0.1，发生2次索赔的概率为0.02；乙类投保人一年内发生1次索赔的概率为0.2，发生2次索赔的概率为0.08；丙类投保人一年内发生1次索赔的概率为0.3，发生2次索赔的概率为0.15。设一年内索赔次数为N（仅取0、1、2三个值）。试求：(1)随机抽取一名投保人，其一年内发生索赔的概率；（3分）(2)随机抽取一名投保人，已知其一年内发生了1次索赔，求该投保人为甲类的概率；（4分）(3)随机抽取一名投保人，求其一年内索赔次数的期望。（3分）答案：(1)0.234；(2)517(3)0.298解析：设A1,A2,A3(1)设事件B表示“一年内发生索赔”（即N≥$$\begin{align*}

P(B)&=\sum_{i=1}^3P(A_i)P(N\geq1|A_i)\\

&=0.5\times(0.1+0.02)+0.3\times(0.2+0.08)+0.2\times(0.3+0.15)\\

&=0.5\times0.12+0.3\times0.28+0.2\times0.45\\

&=0.06+0.084+0.09=0.234

\end{align*}$$(2)设事件C表示“一年内发生1次索赔”，先由全概率公式计算P($$\begin{align*}

P(C)&=\sum_{i=1}^3P(A_i)P(N=1|A_i)\\

&=0.5\times0.1+0.3\times0.2+0.2\times0.3\\

&=0.05+0.06+0.06=0.17

\end{align*}$$再由贝叶斯公式，得甲类的后验概率：P(3)由全期望公式，先计算各类别的期望索赔次数：EEE因此总期望索赔次数为：E2.设某保单的损失由两部分组成：财产损失X和人身损失Y，二者相互独立。已知X服从参数为λ=0.01（单位：万元⁻¹）的指数分布，Y服从区间[0(1)总损失S的期望和方差；（4分）(2)总损失不超过100万元的概率。（6分）答案：(1)E(S)(2)1解析：(1)由常见分布的数字特征：指数分布的期望E(X)=1λ=100万元，方差Var(EVar(2)X与Y独立，联合概率密度为：$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\begin{cases}

\frac{0.01}{50}e^{-0.01x},&x>0,\,0\leqy\leq50\\

0,&\text{其他}

\end{cases}$$总损失不超过100万元即X+Y≤100，由于y≤$$\begin{align*}

P(S\leq100)&=\int_{0}^{50}\int_{0}^{100-y}\frac{0.01}{50}e^{-0.01x}dxdy\\

&=\frac{1}{50}\int_{0}^{50}\left[1-e^{-0.01(100-y)}\right]dy\\

&=\frac{1}{50}\int_{0}^{50}\left(1-e^{-1}e^{0.01y}\right)dy\\

&=\frac{1}{50}\left[y-\frac{e^{-1}}{0.01}e^{0.01y}\right]_{0}^{50}\\

&=\frac{1}{50}\left[50-100e^{-1}(e^{0.5}-1)\right]\\

&=1-2(e^{-0.5}-e^{-1})\\

&\approx1-2(0.6065-0.3679)\approx0.523

\end{align*}$$3.设某类保单的索赔额X服从帕累托分布，其概率密度函数为：f其中θ>0为已知常数，α>1为未知参数。现从该类保单中随机抽取试求：(1)α的矩估计量；（5分）(2)α的极大似然估计量。（5分）答案：(1)矩估计量αM=1(2)极大似然估计量α解析：(1)首先计算总体X的期望。对帕累托分布，当α>$$\begin{align*}

E(X)&=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{\alpha\theta^\alpha}{(x+\theta)^{\alpha+1}}dx\\

&\xlongequal{t=x+\theta}\int_{\theta}^{+\infty}(t-\theta)\cdot\frac{\alpha\theta^\alpha}{t^{\alpha+1}}dt\\

&=\alpha\theta^\alpha\int_{\theta}^{+\infty}\left(t^{-\alpha}-\thetat^{-\alpha-1}\right)dt\\

&=\alpha\theta^\alpha\left[\frac{t^{-\alpha+1}