数学北师大版（2024）八年级上册第七章《证明》全章导学案（含答案）

第1课时认识证明学案班级姓名组别总分【学习目标】1.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心.2.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例、推理论证等．运用方法来验证某些问题的结论正确与否．从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识.【学习过程】任务一：探究证明的方法活动1实例验证1.如图1中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.结论：a与b的长度__________.图1图12.如图2中图中红色线条围成的图形是正方形吗？请你用尺子将它的四个角，四条边测量出来并写在下面._________________________________________________________.图2图2图33.如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，和你的感觉一样吗？大家一起算一算：图3设赤道周长为c，则赤道的半径为__________. 铁丝围成的圆的半径为___________.所以铁丝与地球赤道之间的间隙为：________.结论______________________.4.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．连接DE，DE与BC有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有△ABC都成立吗？与同伴进行交流。请写出你的猜想：如何验证你的猜想：证明你的猜想：活动2反例验证5.有人认为，对于所有自然数n，代数式的值都是质数.你怎么看待这个结论？请填写下表验证n01234567891011…n2-2n+11根据所填写内容你得到结论:活动3推理验证6.某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题第三题第四题第五题得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2丁BCCBA你能推理出则甲同学错的是第题；丁同学的得分时。【即时测评】1.下列推理正确的是()A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟明年比今年长大了1岁B．如果a>b，b>c，那么a>cC．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角2.下列结论中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人3.下列判断正确的是（）A．一个中学学校里不可能有同月同日生的同学B．若a＞b，则a2＞b2C．不论a为何值，总有a2＞0D．任何一个整数平方后的末位数字都不会是2或34.在一次1500米跑步比赛后，甲说：“丙第一，我第三”乙说：“我第一，丁第四．”丙说：“丁第二，我第三．”若每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁评价任务一得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”乙说：“一定是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃窗．”丁说：“我没有干这件事．”若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．景区乘坐缆车观光游览的价目表如下：缆车类型两人车（限乘2人）四人车（限乘4人）六人车（限乘6人）往返费用100元140元190元某班20名同学一起到该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为元．3．甲，乙，丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现甲共当裁判11局，乙，丙分别进行了18局，16局比赛，在这半天的训练中，甲，乙，丙三人共进行了局比赛．4．已知代数式－x2＋40x－399，小明发现：当x＝1时，代数式的值小于0，当x＝2，x＝3时，代数式的值均小于0，于是得出结论“对于任意的正整数x，代数式－x2＋40x－399的值均小于0”．小红认为小明的说法是错误的，请你帮她举个反例.5．如图，从点O出发的四条射线OA，OB，OC，OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝32°，求∠AOB与∠COD的大小；(2)若∠BOC＝34°，∠AOB与∠COD又分别为多大？(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？参考答案即时测评：1.B2.B3.D4.D当堂训练1.D2.6603.23当x=20时，代数式的值为15.（1）∠AOB＝60°，∠COD＝60°（2）∠AOB＝56°，∠COD＝56°（3）∠AOB＝∠COD（4）∠AOB＝∠COD第2课时定义与命题学案班级姓名组别总分【学习目标】1．从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性.2．从具体实例中，了解命题的概念和结构特征，并会区分真、假命题.3．通过从具体例子中提炼数学概念，体会数学与实际生活的联系，感受数学来源于生活，并服务于生活.【学习过程】任务一：探究定义的含义1.观察下列图形，选择与众不同的一个.2.选出下列式子中与众不同的一个.（A）(B)(C)(D)3.在我们日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义.4.归纳定义的含义(4-5题检测目标1)一般地，能_______规定某一名称或术语的意义的句子叫作该_________的定义.5.请说出下列名词的定义：⑴无理数：⑵直角三角形：⑶一次函数：⑷二元一次方程：你还能举出一些定义吗?【即时测评】1．下列命题中，属于定义的是（）A．两点确定一条直线 B．两直线平行，内错角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．同角或等角的余角相等评价任务一得分：任务二：探究命题的概念1.思考猜想：生活的需要判断的事非常多，我们也经常会做出判断，如图：我们可以这样判断：线段a比线段b长.线段b比线段a长.线段a与线段b一样长.2.交流讨论（小组合作）那么下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？⑴对顶角相等；⑵画一个角等于已知角；⑶两直线平行,同位角相等；⑷a、b两条直线平行吗？⑸若＝4，求a的值.⑹若＝，则a＝b.⑺鸟是动物.3.归纳命题的定义一般地，对某一件事情作出_______或________的判断的句子叫做________.“特别关注---是不是命题的关键是：是否做出了判断.”【即时测评】2.判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示.(4题检测目标2）（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?（）（2）两条直线相交，有且只有一个交点.（）（3）不相等的两个角不是对顶角.（）（4）一个平角的度数是180度.（）（5）相等的两个角是对顶角.（）（6）取线段AB的中点C.（）（7）画两条相等的线段.（）评价任务二得分：任务三探究命题的条件和结论及真、假命题的概念1.请你探索，得出结论观察下列命题，这些命题有什么共同的结构特征:（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.一般地,每个命题都由和两部分组成.是已知的事项,是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.2.学生互动体验（小组成员之间）下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）两直线平行，内错角相等.（2）同位角相等，两直线平行.（3）对顶角相等.3.你来思考下面的命题哪些是正确的？哪些不正确？你是怎么知道它们是不正确的？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形的面积相等.4.你来总结正确的命题叫做______.不正确的命题叫做_____.【即时测评】3．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式．（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）若a+b＝0，则a与b互为相反数；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）同角的余角相等；（5）绝对值相等的两个数一定相等．4．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误．（1）对顶角相等；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．评价任务三得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．下列命题中是真命题的是（）A．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 D．有一腰和一个角分别相等的两个等腰三角形全等2．下列命题中，假命题的个数是（）①等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；②三角形的一个外角大于任何一个内角；③有两角和一边对应相等的两个三角形全等；④三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：．4．“平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是命题．（填：真或假）5．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．（1）互为相反数的两个数的和为零；（2）同旁内角互补；（3）等角的余角相等．参考答案即时测评：1.C2.（1）×（2）√（3）√（4）√（5）√（6）×（7）×3.解：（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行；（2）如果a+b＝0，那么a与b互为相反数；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；（4）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；（5）如果两个数的绝对值相等，那么两个数一定相等．4.解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题；（2）如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式，是真命题．当堂训练1.B2.C3.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零．4.真5.解：（1）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，反例：如图，∠1和∠2是同旁内角，但两直线不平行，故∠1和∠2不互补；（3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题．第3课时定理与证明学案班级姓名组别总分【学习目标】1.理解公理、定理与证明的概念，掌握常用的数学公理．2.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法．3.通过证明命题，感受证明的必要性及数学的严谨性，提升演绎推理和语言表达能力。【学习过程】任务一：公理、定理及证明的概念1.自主学习教材P184-185页有关内容，完成以下探究问题，并与同伴交流。（1）________________叫做公理．除了公理外，其它命题的真假都需要____的方法进行判断．（2）________________的过程称为证明．经过证明的________称为定理．每个定理都只能用_____、_____、和已经证明为_____的命题来证明．（3）本套教科书选用九条基本事实（本教材的公理）作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：①________________________________________；②________________________________________；③_________________________________________；④__________________________________________；⑤__________________________________________；⑥__________________________________________；⑦__________________________________________；⑧__________________________________________.另外一条基本事实（公理）我们将在后面的学习中认识它．（4）数与式的运算律和运算_____、等式的有关_______，以及反映大小关系的有关性质（也作为公理）都可以作为______的依据．例如，如果a=b，b=c，那么_________，这一性质称为“等量代换”．【即时测评】1.“两条直线相交成直角，就叫做两直线相互垂直”这个句子是（）A.定义B.命题C.公理D.定理2.某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样能缩短路程（）A.直线公理：两点确定一条直线B.线段最短的公理：两点之间的所有连线中，线段最短C.平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行D.直线公理和线段最短公理评价任务一得分：任务二：运用公理证明定理活动2从公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理：定理：同角(等角)的补角相等定理：同角(等角)的余角相等定理：对顶角相等定理：三角形的任意两边之和大于第三边例题证明对顶角相等问题1：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？问题2：你能说说证明的思路吗？由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等问题3：证明时，每一步过程最终可以凭借的数学知识种类是什么？这是一种什么数学思想方法？问题4：尝试总结：证明一个命题的一般步骤。①已知：写出命题的（必要时结合图形）；②求证：写出命题的；③证明：写出演绎推理的．【即时测评】BAO3BAO321DC已知：直线AB与直线CD相交于点O，∠2与∠3分别是∠1的补角.求证：∠2=∠3.证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°（）的定义∴∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1（）的性质∴∠2=∠3（）（1）写出上面证明过程中每一步的根据。（2）如果把同角改成等角，你会有什么发现？如果把补角变成余角，你又有什么发现？评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）“两点之间，线段最短”这个语句是（）A、定理B、公理C、定义D、只是命题2．下列命题中，属于定义的是（）A、两点确定一条直线B、同角的余角相等C、两直线平行，内错角相等D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空：∵AB∥CD，∴∠BAC+①＝180°．∵AE平分∠BAC．∴∠1=12②∵CE平分∠ACD．∴∠2=12③∴∠1+∠2＝④°．∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤°．∴AE⑥CE．请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦．4．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．解：我写的真命题是：已知：；求证：．（注：不能只填序号）证明如下：参考答案即时测评：1.A2.D3.（1）平角、等式、等量代换（2）等角的补角相等，等角的余角相等当堂训练1.B2.D3.∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；90；⊥；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．4.①②④；③．证明如下：∵BE＝FC，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，在△ABC和△DEF中AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE．2平行线的证明第1课时平行线的判定学案班级姓名组别总分【学习目标】1.会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,并能简单应用这些结论。2.通过画图、讨论、推理等活动,理解和总结证明的步骤、格式和方法。【学习过程】任务一：平行线的判定公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：活动1你认为“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”这个命题正确吗？说明理由.已知：如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.求证:a∥b.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(),∴∠3=∠2().∴a∥b().总结归纳判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：.应用格式：∵∠1=∠2(已知)∴a∥b（内错角相等，两直线平行）活动2“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗？说明理由.已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b学生思考交流后独立完成,教师给予点评指导.证明:∵∠1与∠2互补(),∴∠1+∠2=180°().∴∠1=180°-∠2().∵∠3+∠2=180°(),∴∠3=180°-∠2().∴∠1=∠3().∴a∥b().总结归纳判定方法3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成：.应用格式：∵∠1+∠2=180°(已知)∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）【即时测评】1．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能证明a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠3＝∠5C．∠2＝∠6 D．∠2+∠3＝180°2．如图，AB＝CD，垂足点E是BD的中点，求证：AB∥CD．评价任务一得分：任务二：平行线判定的应用1.如图,利用两个全等的直角三角尺作出平行线,请说说其中的道理.2.在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证明过程【即时测评】3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝88°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是．4．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE．评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图：如果∠1＝∠3，可以推出∥．3.如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．求证：AB∥CD．4．如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．参考答案即时测评：1.B2.证明：∵垂足点E是BD的中点，∴∠AEB＝∠DEC＝90°，BE＝DE，∴△ABE和△CDE是直角三角形，又∵AB＝CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDE（HL），∴∠A＝∠C，∴AB∥CD．3.38°4.证明：∵∠1+∠2＝180°，∴DE∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠B＝∠E，∴∠ADF＝∠E，∴AB∥CE．当堂训练1.B2.AB，CD3.证明：∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AOE＝∠AFB（两直线平行，同位角相等），∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义），∴∠AFB＝90°（等量代换），∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝90°（等式性质），∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠AFC＝∠A（同角或等角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．4.证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．第2课时平行线的性质学案班级姓名组别总分【学习目标】1.理解并掌握平行线的三条性质定理．2.能够根据平行线的性质进行简单的推理与计算.3.区分平行线的性质和判定的关系，培养学生逆向思维的能力.【学习过程】任务一：平行线的性质活动1根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？问题1：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？问题2：你能说说证明的思路吗？已知:.求证:.证明:假设,那么我们可以过点M作直线GH,使=∠2.如图所示.根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线a与GH都与直线b平行.这与基本事实相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.由此,我们证明了以下的性质定理.定理:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简述为：.几何语言:∵a∥b（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.活动2在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行线”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系？请请完成填空。已知:.求证:.证明：∵(已知),∴(两直线平行,同位角相等).又∵(对顶角相等),∴∠1=∠2(等量代换).因此可以得到:平行线的性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:.几何语言:∵a∥b（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.活动3类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?请写出已知、求证和证明过程。活动4归纳总结：1.讨论并总结完成一个命题的证明,有哪些主要环节?2.平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系?【即时测评】1．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝56°，则∠2等于（）A．24° B．34° C．56° D．124°2．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，下列结论错误的是（）A．∠CNH＝∠BPG B．∠BMN＝∠MNC C．∠DNG＝∠AME D．∠EMB＝∠END 评价任务一得分：任务二：平行线的判定和性质的综合应用活动5定理：平行于同一条直线的两条直线平行.如图：直线a∥b,a∥c,∠1，∠2和∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.求证