常微分方程 课件常系数线性微分方程组

第五章线性微分方程组LinearOrdinaryDifferentialSystems§5.1.1线性微分方程组解的存在唯一性定理/Constant-coefficientLinearODEs/

§5.1.2线性微分方程组的一般理论§5.2常系数线性微分方程组

*§5.3Laplace变换§5.1线性微分方程组的一般理论

本章目录/Contents/1、常系数齐线性微分方程组的基解矩阵的结构，这里A是常数矩阵。2、通过代数的方法，寻求(1)的一个基解矩阵。(1)本节主要内容/MainContents/：一、矩阵指数expA的定义和性质1、无穷矩阵级数的定义如果每个收敛，则收敛。判断无穷矩阵级数收敛的法则：,而级数收敛，则收敛。同理，可给出在区间I上的一致收敛的定义，和函数等类似的结果。定义1

矩阵指数

其中E为n阶单位矩阵,是矩阵A的m次幂。，expA是一个确定的矩阵。证：对于一切正整数k，由于，而收敛，则收敛。(2)2、矩阵指数的定义注：由矩阵指数的定义知注：注：对于一切正整数k，当(c是某一正常数)时，有而数值级数是收敛的，(3)在

t

的任何有限区间上是一致收敛的。定义2

矩阵指数函数因而(5.2.3)在

t

的任何3、矩阵指数函数的定义有限区间上是一致收敛的。4、的性质性质1如果矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则.证：由于级数绝对收敛，故由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA

，故。性质2

对于任何矩阵A，存在，且.事实上性质3

如果T是非奇异矩阵，则证

A与-A是可交换的，故在中,令B=-A

得定理9证明：由于故是方程组(5.33)的解矩阵，又因为因此,是方程组(5.33)的标准基解矩阵。证毕!(4)矩阵指数函数是方程组(1)：的标准基解矩阵。5、常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵(其中未写出的元素均为零)例1

如果A是一个对角矩阵，试求出

的基解矩阵。解：方程组即为据定理9，该方程组的基解矩阵为例2

试求的基解矩阵。解：由于，易验证后面的两个矩阵是可交换的，故有因此，基解矩阵就是但是，故其中常数和非零向量c是待定的。因为，故(6)二、

基解矩阵的计算公式(1)(5)猜想：假设常系数线性微分方程组(1)有形如的解，反过来，和向量c

满足代数方程组(6)，则.逢解必代：将(5)代入(1),得和非零向量c

满足代数方程组(6)：矩阵A的特征方程：是A

的特征值，c

是A

的属于的特征向量。结论：是常系数齐次线性微分方程组(1)的非零解下面分情况来求方程组(1)的基解矩阵.例3

求解方程组.【解】先求系数矩阵A的特征值.，故.再求每个特征值对应的特征向量.最后写通解.是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。定理10如果矩阵

A具有n个线性无关的特征向量CaseI矩阵A有n个线性无关的特征向量特征值分别为(不必各不相同)，它们对应的那么是线性无关的,故【证明】由前面的分析知每一个向量函数都是方程组(1)所以是基解矩阵。的一个解,又【注1】它们对应的特征向量分别为那么是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。推论（特殊情形）：如果矩阵

A具有n个互不相同的特征值，利用标准基解阵的表示标准基解阵一定为实矩阵。【注2】，可以将复的基解矩阵化为实的基解矩阵，因为【注3】若实系数线性方程组(1)：有复值解，则其实部与虚部都是（1）的解.例4

试求解方程组【解】S1求A

的特征值和对应的特征向量S2求基解矩阵S3写通解【解】例5

试求解S1求A

的特征值和特征向量从而对于任意常数,类似地，可以求出对应于的特征向量为，其中是对应于的特征向量，S2求实基解矩阵从而方程组有两个线性无关的解就是一个基解矩阵，于是进而S3写通解S1:计算特征值，特征向量；求实基解矩阵的步骤(利用定理10):S2:求解基解矩阵/求标准基解矩阵（实）；S3:写出方程的通解。例6

求方程组的通解.三个互异的特征根S1:计算特征值，特征向量；S2:求解基解矩阵/求标准基解矩阵（实）；S3:写出方程的通解。例7

求方程组的通解.有重特征值：重数=特征向量的个数即：特征子空间的维数=重数例8

求方程组的通解.有重特征值：重数≠特征向量的个数需要对特征子空间进行直和分解CaseII(一般情形)基解矩阵的计算公式：利用空间的直和分解假设A是一个矩阵，且有k个不同特征值，定理11它们的重数分别为，其中.则方程组(1):满足初始条件从而方程组的(标准)基解矩阵其中而其中而且是n维空间U的直和分解，即.(7)的解可表示为：这时对于任何u

都有(5.53)从而当A只有一个n重的特征根时，无需将特征向量进行分解.推论：【解】S1

求A

的特征值S2

代入公式，求初值问题的解例9

试求解，其中，.S3

求A

的标准基解矩阵【解】S1

求A

的特征值例10试求方程组的解，并求expAt.满足初始条件为了确定三维线性空间的子空间，我们需分别解方程组：S2

确定的分解子空间子空间解之得由此将分解为：，其中.S3

求满足初始条件的解为S4

求出expAt依次令为,得到三个线性无关的解.S5

求通解:x(t)=(expAt)c以这三个解作为列，得公式(5.52)的应用：定理11给定常系数齐次线性微分方程组(1)有：1）若A的特征值的实部都是负的，则(1)的任一解当时都趋于0；2）若A的特征值的实部都是非正的，且实部为0的特征值都是简单特征值，则(1)的任一解当时都保持有界；3）若A的特征值至少有一个具有正实部，则(1)至少有一个解当

时趋于无穷.

三、利用Hamilton-Cayley定理计算基解矩阵设A为n阶矩阵，其特征方程为(递推法)若为A的特征值，则Hamilton-Cayley定理：设是n阶矩阵A的特征多项式，则即：基解矩阵的计算：其中而是下列方程组(递推法)定理12设为A的特征值（不必各不相同），则方程组的标准基解矩阵满足初始条件的解.【证明】记，下证是方程组的解矩阵.事实上，由H-C定理知故又因故是方程组的标准基解矩阵.证毕！从而例11

求的标准基本解矩阵expAt，其中【解】S1

求A

的特征值S2

解方程组S3

确定从而例12

求的标准基本解矩阵expAt，其中【解】S1

求A

的特征值S2

解方程组S3

确定矩阵从而四、常系数非齐次线性方程组的解【方法1】常数变易公式一阶n维常系数非齐次线性微分方程组通解的结构：方程组(8)的通解=对应的齐次方程组(1)的通解+本身的一个特解其中A为n阶常矩阵，

为连续的向量函数。1、方程组(8)的通解为或不必求2、