【（2026年新版）人教版小学数学六年级上册第四单元圆】第四单元 《圆环和不规则图形的面积》教学设计

第四单元圆4.3圆的面积《圆环和不规则图形的面积》

一、教材分析

一、教材分析《圆环和不规则图形的面积》是人教版六年级上册第四单元第3节第2课时，对应第三学段“图形与几何”领域要求：能灵活运用圆面积公式计算圆环面积，会利用平移、旋转等策略求与圆相关的不规则图形的面积，发展几何直观与灵活运算能力，体会转化思想。学生在前序学习已经掌握圆面积计算公式，能够根据直径、周长求出圆的半径并计算面积，具备基础的图形转化经验，为本课学习圆环面积、与圆相关的不规则图形的面积作铺垫。本节课是利用圆的面积的公式求面积，教材选用故宫博物院“青玉御题蚕纹璧”这一国宝文物作为圆环的现实载体，给出外圆、内圆直径，同时展示两种计算思路，一种是外圆面积减去内圆面积，另一种是S=π(R2-r2)，引导学生体会算法的多样性与简便形式；又通过求与圆相关的不规则图形的面积，引导学生借助旋转、平移实施割补转化，把复杂不规则图形转化成规则图形再计算面积，培养观察能力和想象能力，发展空间观念。练习题重在引导学生跳出直接套公式的固化思维，学会观察图形之间的关系，合理使用平移、旋转等转化技巧，深化对圆面积公式的理解与综合应用。

二、教学目标1．理解圆环的意义，经历探究圆环面积的计算方法的过程，掌握圆环面积公式，并能正确计算圆环的面积。2．能运用平移、旋转等方法将与圆有关的不规则图形转化成规则图形，求得面积，培养观察能力和想象能力。3．体会数学转化思想，感受几何知识在生活中的应用。

三、重、难点重点：掌握圆环面积的计算方法，会求与圆相关的不规则图形的面积。难点：将不规则图形转化成规则图形求面积。

四、教学过程操作导入师：同学们，请大家拿出硬纸板，我们一起来动手操作，先在硬纸板上画出半径为10厘米和5厘米的同心圆。生：师：剪下所画的大圆和小圆，大家仔细想一想，剪完后剩下的部分是什么图形？生：剩下的部分是圆环。师：它的面积又该怎么求呢？这就是我们今天要探究的新知识。设计意图：以画同心圆、剪圆的动手操作活动作为导入，让学生亲身经历圆环的形成过程，直观认识圆环，顺势抛出圆环面积如何求解的核心问题，唤醒学生圆面积计算的旧知，搭建新旧知识桥梁，激发学生探究圆环面积计算方法的兴趣，为本课新知开展做好铺垫。效果评价：动手操作的导入形式充分调动学生的探究热情，学生能够清晰识别圆环，为本节课圆环面积的学习做好准备。探究新知活动一：圆环的认识及其面积师：同学们，什么是圆环呢？生：生：圆环是由两个半径不相等的同心圆围成的环状图形。师：任意两个大小不一样的圆，中间部分都叫圆环吗？生：圆环必须是同心圆，圆心不重合的两个圆，中间环形区域不是圆环师：圆环中较大的圆是外圆，外圆半径一般用R表示；圆环中较小的圆是内圆，内圆半径一般用r表示。师：那两圆之间的部分是什么？生：两个圆之间的宽度叫环宽，环宽等于外圆半径减去内圆半径，也就是R−r。师：圆环还是轴对称图形吗？生：轴对称图形。师：有几条对称轴呢？生：通过圆心所在的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。师：想一想：怎样求圆环的面积呢？生：圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积。师：说得非常好，你能用字母表示吗？生：S环=πR2-πr2或S环=π(R2-r2)。师：接下来我们来看一道真实情境例题，馆藏于故宫博物院的“青玉御题蚕纹璧”，它的形状是一个圆环，外圆直径为26.3cm，内圆直径为5.4cm，这个圆环的面积约是多少？大家小组讨论，想一想该怎样求圆环的面积。师：想一想该怎样求圆环的面积呢？学生独立计算，然后指定学生汇报。师：谁来说说呢？生1：可以先分别算出外圆半径和内圆半径，再用公式S环=πR2-πr2进行计算。26.3÷2=13.15(cm)，5.4÷2=2.7(cm)，列式3.14×13.152-3.14×2.72，计算之后结果大约是520.1cm2。师：还有不同的算法吗？生2：可以利用S环=π(R2-r2)进行计算，3.14×(13.152-2.72)约等于520.1cm2。师：圆环面积计算公式为S环=πR2-πr2或者S环=π(R2-r2)。设计意图：以动手剪圆后得到的圆环作为探究起点，组织小组讨论，引导学生自主认识圆环各部分名称、环宽与圆环的轴对称特征和圆环的面积计算方法，接着在应用圆环面积的计算方法求圆环的面积中，鼓励学生独立尝试列式，呈现两种不同解法，引导学生优选简便算法，感受数学与传统文化之间的联系，积累圆环面积探究的数学活动经验。效果评价：学生能够准确说出圆环的组成、环宽含义以及圆环的轴对称特点，可以独立思考圆环面积的求解思路，顺利写出圆环面积的两种计算公式，在文物情境中提升数学运算能力，文化意识与几何直观得到有效发展。活动二：不规则图形的面积课件出示两道不规则圆类组合图形例题：求下面图形的面积。师：同学们，请大家观察屏幕上这两个涂色图形，想一想我们要怎样求出它们的面积？小组之间互相讨论，讨论5分钟，结束后分享你们的思路。（学生同桌交流思考，教师巡视指导）师：时间到，谁愿意先来分享左边图形的解题方法？生1：这个图形是由一个大半圆挖去一个小半圆，再拼接一个小半圆形成的。我们可以把下方的小半圆绕着大半圆的圆心旋转180°，涂色部分就能够转化成一个完整的大半圆，直接利用半圆面积公式计算。列式是3.14×52÷2=39.25(cm2)，所以图形面积是39.25cm2。师：这个转化方法十分巧妙，借助旋转把复杂图形变简单！那右边这个图形，大家又想到什么好办法呢？生2：这个图形由长方形、上方半圆与下方半圆组合而成，我们可以将顶部的半圆向下平移，涂色部分刚好拼成一个完整的长方形。长方形的长是圆的直径，宽是圆的半径，算式是(3×2)×3=18(cm2)，图形面积就是18cm2。师：说得非常好！对比两道题的解题过程，大家能不能总结这类题的解题诀窍？生：遇到不规则组合图形，可以运用平移、旋转的方式，把不规则的图形转化成规则图形，再计算面积。师：总结到位！求与圆有关的不规则图形的面积，可以运用转化思想，借助平移、旋转等方法，将不规则图形转化成规则图形，再运用面积计算公式计算面积。设计意图：借助两道例题分别感受旋转、平移不同转化策略的应用，在对比解题过程中提炼通用方法，落实“观察图形—尝试转化—计算求解—归纳策略”的活动流程，深化转化的数学思想，提升学生灵活解决与圆有关的不规则图形的面积的能力。效果评价：学生能够主动观察不规则图形特点，熟练运用平移、旋转等方法将不规则图形转化成规则图形并正确列式计算，能够自主归纳解题策略，深刻体会转化思想的价值，几何直观与灵活运算能力得到有效锻炼。巩固练习师：我们一起来检验一下学习效果吧!1.求下面各图形涂色部分的面积。(单位：cm)预设：3.14×42−3.14×22=37.68(cm2)(1+2)×2=6(cm2)3.14×(1+1+1)2×14=7.065(cm22.如图，关于两个图形的涂色部分周长和面积的大小关系描述正确的是()。A.周长相等，面积相等B.周长相等，面积不相等C.周长不相等，面积相等D.周长不相等，面积不相等预设：C3.一个圆形环岛的直径为50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其他地方是草坪。求草坪的占地面积。预设：50÷2＝25（m）10÷2＝5（m）3.14×（252－52）=1884（m2）答：草坪的占地面积是1884m2。4.下面两个图中，大圆的半径均等于小圆的直径，你能分别求出涂色部分的面积吗？你发现了什么？预设：左图3.14×6²-3.14×(62=113.04-28.26=84.78(cm²)右图3.14×[6²-(62=3.14×27=84.78(cm²)发现：两个图形中涂色部分的面积相等。5.公园里有一个圆形花坛，直径是20m，现在要在圆形花坛的周围铺一条宽2m的环形小路，如果每平方米需要投资100元，那么铺这条环形小路需要投资多少元钱？预设：20÷2=10(m)10+2=12(m)3.14×(12²−10²)×100=13816(元)答：铺这条环形小路需要投资13816元钱。拓展演练1．如图，涂色部分的面积是20cm²，圆环的面积是多少平方厘米？预设：解析：设圆环外圆的半径为R，内圆的半径为r，则涂色部分的面积是R²-r²=20cm²。圆环的面积是S圆环=3.14×(R²-r²)。20×3.14=62.8(cm²)答：圆环的面积是62.8平方厘米。2．一个圆的周长是62.8m，半径增加2m后，面积增加多少？预设：解析：求增加的面积，就是求圆环的面积。原来圆的半径：62.8÷3.14÷2=10(m)现在圆的半径：10+2=12(m)增加的面积：3.14×(12²−10²)=3.14×44=138.16(m²)答：面积增加138.16m²。设计意图：设置梯度化习题，从基础图形计算、辨析选择、生活实际应用，再到高阶代换拓展，由易到难分层推进；引导学生独立完成、同桌互讲，在解题过程中巩固圆环面积公式、平移旋转等积转化方法，重点突破已知R2-r2直接求圆环面积这类变式题型，帮助学生完善圆相关组合图形的解题模型，发展代数代换思维。效果评价：学生能够熟练运用圆环面积公式、图形转化方法解决基础习题，可以准确区分组合图形周长与面积，能把圆环模型迁移到环形小路这类生活情境；面对拓展变式题，可灵活利用整体代换思路求解，综合分析与知识迁移能力得到充分提升。课堂小结师：今天的学习你有什么收获？师：什么是圆环？圆环面积的计算公式有哪两种写法？生：圆环由两个半径不相等的同心圆围成的环状图形。圆环面积计算公式为S环=πR2-πr2或者S环=π(R2-r2)。师：在求与圆有关的不规则图形的面积，我们可以用什么策略将其转化成熟悉的规则图形呢？生：运用平移、旋转的方法，对图形进行等积变形，把不规则图形转化成我们学过的规则图形再计算面积。师：图形经过平移、旋转后，它的面积会发生改变吗？生：不会改变，平移和旋转只改变图形的位置，图形本身大小不变，所以面积保持不变。师：今天你的表现怎样呢？你的好朋友表现怎样呢？我们来回顾一下。（学生自由发言），再完成评价表。设计意图：以层层递进的三个问题开展课堂小结，引导学生自主回顾圆环概念与面积公式、图形转化策略、等积变形的特点，搭建起本节课完整的知识框架，深化转化数学思想，锻炼学生归纳梳理的能力。效果评价：学生能够清晰复述圆环定义与两种面积计算公式，准确说出平移、旋转的转化方法，明确图形变换前后面积不变的特点，自主完成本节课知识