常微分方程 课件 第四章 高阶微分方程

第四章高阶微分方程High-OrderODEs第四章高阶微分方程第1节线性微分方程的一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/第2节常系数线性微分方程的解法

第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法

理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构

理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/：2、n阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。一、n阶线性微分方程的形式1、n阶微分方程一般形式：当时，称方程二、解的存在唯一性定理定理1则对于任一及任意的方程(4.1)存在唯一上，且满足初始条件：，定义于区间解及都是区间上的连续函数,如果注：解的存在性依赖于连续；而唯一性依赖于初值.三、n阶齐线性方程通解的结构它们的线性组合的解，这里是任意常数。仍是（4.2）定理2

（叠加原理）如果是方程（4.2）的k个解，则1、叠加原理如：方程有解及,易见，和线性组合都是方程的解.7不一定要使为方程（4.2）的通解,还需满足什么条件呢？问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？当是齐线性方程(4.2)的解，则其线性组合不包含解.

如：在上例中及的线性组合相互独立关于的Jacobbi行列式不等于0，即问题的转化：2、Wronskian(朗斯基)行列式定义1：由定义在[a,b]上的k个(k-1)可微的函数所作成的行列式称为函数的Wronskian行列式.问1：若有什么性质？是齐线性方程(4.2)的解，则这n个解作成的W(t)联系：一阶齐次线性微分方程有解问2：上述公式是否可推广到n阶齐次线性微分方程中呢？Liouville（刘维尔）公式：证明：由行列式的求导运算法则，解上述微分方程，得对有注：Louville公式告诉我们，n阶齐次线性微分方程的n个解组成的Wronskian行列式在[a,b]上要么恒为0，要么恒不为0.定理3

设是齐次线性方程(4.2)在上的任意n个解，则对有3、函数组的线性无关和相关定义2在上的函数，如果存在不全为零的常数使得对所有成立恒等式则称该函数组是线性相关的，否则称是线性无关的。如：上线性无关；上线性相关；上线性无关。事实上，要使得则伏朗斯基行列式。则在区间上它们的（4.6）（4.7）证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数使得依次对t微分此恒等式，得到

定理4在区间上线性相关，若函数组的齐次线性代数方程组，这是一个关于它的系数行列式为是系数行列式必须为零，即由高等代数理论知，方程组存在非零解的充要条件证毕4、函数组的线性与其Wronskian行列式之间的关系注：定理4的逆定理不一定是否成立。即例如：函数组在区间上可能线性无关。但该函数组在[a,b]上的伏朗斯基行列式，。函数组故线性无关的。13如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，定理5设有某个，使得.考虑关于的齐次线性代数方程组证明(反证法):（4.9）在这个区间的任何点上都不等于零，即则由于其系数行列式，故（4.9）有非零解.

5、方程(4.2)的解与其Wronskian行列式之间的关系构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知即（4.10）又也是方程(4.2)满足初始条件（4.10）的解，因为不全为0，这与线性无关的假设矛盾。证毕15线性相关定理5定理4重要结论:方程(4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是若方程(4.2)的解，则问题：时，若是方程（4.2）的通解？当是齐线性方程(4.2)的解，则其线性组合证明：①因为在上连续，取，则满足条件存在唯一。定理6

n

阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，且任意n+1个解都线性相关。故解线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。分别取初始条件由于这n个解的Wronkian行列式对应n个解6、

n阶齐次线性方程(4.2)的通解结构故方程的任意n+1个解都线性相关。任取方程(4.2)的n+1个解，则②方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。n阶齐次线性方程的所有解构成一个n维线性空间。结论：

定理7（通解结构）的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）其中是任意常数，且通解(4.11)包括方程（4.2）的所有解。是n阶齐次线性微分方程（4.2）的n个线性无关设四、非齐线性方程与常数变易法性质2

方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。性质1

如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也是方程（4.1）的解。1、

解的性质性质3(解的叠加原理)

设分别是非齐次线性微分方程的解，其中k,l为常数。的解，则是方程定理8微分方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为（4.14）为齐次线性方程（4.2）的基本解组，而是非齐次线性设是任意常数，且通解(4.14)包括其中方程(4.1)的所有解。证明：1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，故是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解。证毕2、

非齐次线性微分方程的通解结构非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基本解组表示关键线性微分方程的通解结构：常数变易，令设为n阶齐次线性微分方程（4.2）的基本解组，则为（4.2）的通解。（4.15）（4.16）3、常数变易法令（限定）为非齐次线性微分方程（4.1）的解，其中为待定函数。对(4.16)两边关于t求导，得则令（限定）则对两边关于t求导，得如此继续下去，进行到第n-1次，限定则对上式两边关于t求导，得将(4.16),

,,…,,

代入方程（4.1）,得，故方程组有唯一的解，设为从而得到关于的方程组注意到该方程组的系数行列式令，则(4.1)的特解为进而，方程(4.2)的通解为非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和.通解结构:（4.16）例1

求方程基本解组为，。的通解，已知它对应齐线性方程的解得故原方程的通解为解：令，联立方程组积分得（为任意常数).

解：对应的齐线性方程为，例2

求方程于域上的所有解。得易见有基本解组为.,这里A、B为任意常数。设为方程的解，联立故得原方程的通解（为任意常数).

练习题:，并求方程的基本解组为1、

验证的通解。2、

求方程方程的基本解组为.的通解，已知它对应齐线性思考题:常数变易法中待定函数的条件如何选择？线下作业：P.81第1题；P.82第2;3(1)(3);5题。线上作业：E会学平台上的视频、课件的学习和整理。第四章高阶微分方程High-OrderODEs第四章高阶微分方程第1节线性微分方程的一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/第2节常系数线性微分方程的解法

/SolvingMethodsofConstantCoefficientsLinearODEs/第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法

本节要求/Requirements/:31

熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法

熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法

熟练掌握欧拉方程的求解方法通解的结构：非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基本解组关键常数变易法一、

复值函数与复值解1、定义极限：连续：导数：2、复指函数(1)定义表示复数k的共轭.(2)性质2）3）结论：实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致。1）35三、线性方程的复值解/ComplexSolutionofLinearHigher-OrderODE如果定义在上的实变量的复值函数满足线性微分方程为方程(4.1)的一个复值解。则称复值函数是方程的复数解，如果方程(4.2)中所有系数都是实值函数，而定理9的实部，虚部和共轭复数函数也是方程(4.2)的解。

则定义：两个性质：定理10

若方程有复数解,这里,其中及都是实函数。和的解。和虚部分别是方程那么这个解的实部37二、常系数齐次线性方程的求解……(4.3)为实常数。其中为了求方程(4.3)的通解，只需求出它的基本解组。n

阶常系数齐次线性方程结论：是方程(4.3)的解的充要条件是待定常数满足代数方程.特征方程特征根令，其中为待定常数(实或复常数)消去…….(4.4)满足n次多项式方程待定常数Euler待定指数函数法下面根据特征根的不同情况分别进行讨论：CaseI特征根为单根的情况是特征方程（4.4）的n个互不相等的根，则相应的方程设（4.3）有如下n个解事实上，这n个解在区间上线性无关，从而组成方程的基本解组。特征方程：Euler待定指数函数法：Vandermonde行列式从而，方程(4.3)的通解可表示为.定理1注：如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成对共轭的出现，设方程的一个特征根，则也是一个特征根，从而程（4.3）有两个复值解对应两个实值解为：例1求方程的通解。解：S1：求特征根S2：求出基本解组：S3：写出通解例2求方程的通解。解:S1：求特征根S2：求出基本解组S3：写出通解CaseII特征根有重根的情况是特征方程（4.4）的m个互不相等的根,重数分别为…….(4.5)，则…….(4.4)定理2设与之对应的基本解组为(4.6)，则方程(4.5)显然是方程的k1

个线性无关的解，方程(4.4)有

k1

重零特征根，方程恰有k1

个线性无关的解：设是

k1

重特征根…….(4.7)特征方程设是

k1

重特征根…….(4.3)令，则(4.4)的k1重特征根(4.7)的k1

重特征根零方程(4.7)恰有k1

个线性无关的解由，方程(4.3)恰有k1

个线性无关的解：则它们对应微分方程的2个线性无关的实解：方程的一个重特征根，则也是一个重特征根，注：若例3求方程的通解。解:S1：求特征根.S2：写出方程的基本解组：S3：写出方程的通解：例4求方程的通解。解：S1：求特征根S2：求出方程的基本解组：S3：写出通解(二重根)三、可化为常系数线性方程的方程1、欧拉(Euler)方程为实常数。其中解法：引入自变量代换，则从而假设对自然数m

有以下关系式成立：对m+1有对一切自然数m

均有以下关系是成立：欧拉方程(EulerEquation)的求解：

EulerEquation（variablecoefficient）ConstantcoefficienthomogeneouslinearODE

二阶欧拉方程(SecondorderEulerequation):Characteristicequation(Algebraicequation)

欧拉方程

（变系数）=0

特征方程(代数方程)

n-阶欧拉方程的情形:幂函数的形式解，其中k是待定常数(实数或复数)

求解步骤(Stepofsolutions)：S1：Writedownthecharacteristicequationandfindthecharacteristicroots;

写出特征方程，并求特征根S2：FindthebasicsolutionsofEulerequation;

求出Euler方程的基本解组S3：WritedownthegeneralsolutionsofEulerequation.

写出Euler方程的通解k是3重实特征根Euler方程的基本解组：a+ib是3重复特征根Euler方程的基本解组：=0

特征方程(代数方程)

欧拉方程

（变系数线性ODE）基本解组的写法(以三重特征根为例)：例5求解如下欧拉方程:2、二阶变系数齐次线性微分方程的降阶法——利用Louville公式

例6

令，，L为线性微分算子.其中为实常数，为连续函数.四、

常系数非齐次线性方程解法

-----比较系数法

关键问题：

（一）比较系数法/ComparisonCoefficientsMethod/TypeⅠ其中为确定的实常数。结论1当方程(4.1)中右端函数f(t)为以上类型时，方程(4.1)有形如其中为待定系数，而是对应的齐次方程的特征方程为的重数，是特征根时，不是特征根时，.的特解的特征根的重数，具体地：多项式与指数函数之积解：故齐次线性方程的通解为.

S2：用比较系数法求非齐次方程的特解由于0不是特征根，则方程有形如的特解，代入原方程得S3:原方程的通解为例1求方程的通解.S1：先求对应齐次方程的通解比较系数得，解：S1:求“齐通”.

由于-1是特征根，故可设非奇特为.

S3:写通解例2求方程的通解。S2:求“非奇特”.

比较系数得，

，从而“非奇特”为.

又

解：S1：求齐通：S2:设特为例3求方程的通解.，代入方程比较系数得S3:通解为例4求Euler方程的通解.从而原方程化为解：令,即.变换后，对应齐次方程的特征方程为且变换后，为常系数方程.，从而原方程的通解为，其特解设为.

上述方程的通解为其中为实数，是的实系数多项式（一）比较系数法/ComparisonCoefficientsMethod/TypeⅠI特征根的重数.其中是次数不高于的多项式，而当是特征方程为重数；的根时，当不是特征方程的根时，.方程(4.1)有特解结论2即例5求方程的通解.

设方程的特解形如：解:齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为故原方程的通解为，代入原方程，比较系数得应用举例1：考研题应用举例2：质点振动自主学习任务线下作业：P.96第2（1-4)，(7,8,13,14,19)题；P.97第5（1-2）题。线上作业：E会学平台上的视频、课件的学习和整理。第四章高阶微分方程High-OrderODEs第四章高阶微分方程第1节线性微分方程的一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/第2节常系数线性微分方程的解法/SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE/

第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法/Step-downOrderMethodandSeriesMethod/

本节内容/Contents/：1.可降阶高阶方程2.幂级数解法（求特解）内容回顾1、n阶齐次线性微分方程2、n阶非齐次线性微分方程方程类型及通解的结构:基本解组常数变易法特解+比较系数法求解方法：Euler待定指数函数法1、n阶常系数齐次线性微分方程：2、n阶常系数齐次线性微分方程：发射人造卫星的最小速度称为第二宇宙速度。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕太阳运动，称为人造卫星。那么，如何计算第二宇宙速度呢？【第二宇宙速度的计算】实际问题：由万有引力定律，需求解微分模型【分析】其中r(t)表示地球的重心与物体重心之间的距离，为地球半径，为物体发射速度，

为地球质量.类型I不显含未知函数及的方程此时，方程可降为阶的方程，即可降阶.

一、可降阶的方程的类型n

阶方程的一般形式方法：令，则的通解若可求得上方程逐次积分次，可得原方程的通解.n阶微分方程n-k阶微分方程特别地，则两边积分，可得原方程的通解若解得一阶微分方程的通解为即（不显含x）二阶微分方程一阶微分方程解：令，则原方程化为例1求方程的通解.解之得即逐次积分，得例2求方程的通解.类型II不显含自变量t的n阶微分方程n阶微分方程n-1阶微分方程视x为自变量二阶微分方程一阶微分方程分离变量，可得原方程的解。（不显含t）分离变量，可得原方程的解。方法：令，则将代入原方程得假定，则，分离变量，可得原方程的解。，解得即有例3求解方程或解：令，则，从而原方程化为解得故所求解为或①②发射人造卫星的最小速度称为第二宇宙速度。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕太阳运动，称为人造卫星。那么，如何计算第二宇宙速度呢？【第二宇宙速度的计算】设r(t)表示地球的重心与物体重心之间的距离，则由万有引力定律，有【解】其中为地球半径，为物体发射速度，

为地球质量.（不显含自变量t）齐次线性方程。已知方程(4.2)的k个线性无关的特解，则(4.2)可降低