2026-2027学年陕西省洛南中学高三（上）第二次模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年陕西省洛南中学高三（上）第二次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin66°cos6°−cos66°sin6°=(

)A.12 B.32 C.−2.已知集合A={sin7π6,cos5π3A.{−32,−12} B.3.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.若cos(α−π4)=4A.750 B.−750 C.75.若xlog34=log3A.103 B.83 C.56.函数f(x)=|x2−4|−lgA.2 B.3 C.4 D.67.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，f(−1)=−1，当x∈[1,2]时，f(x)=x2+ax+b，则A.a=−4，b=4 B.a=4，b=0 C.a=2，b=−2 D.a=−3，b=38.已知函数f(x)=eax−3lnx，若f(x)>x3−axA.(3e,+∞) B.(3e,+∞) C.(0,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若a>b>0，则(

)A.1a+1<1b+1 B.|a−2|>|b−2| C.10.已知函数f(x)=3x2+axexA.a>0

B.f(x)有极大值，且极大值大于32

C.f(x)的单调递增区间为(0,2)

D.不等式f(x)<311.已知ab>0，函数f(x)=(x−a)ln(x+b)，若f(x)≥0恒成立，则下列说法正确的是(

)A.1a+ab≥3 B.a2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x>0，则x+7x的最小值为

．13.设函数f(x)=3x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

．14.已知3cos(α−β)+cos(α+β)=2sinαsinβ，其中α，β均为锐角，则tan(α−β)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为12，23，且每人每次投篮命中与否相互独立．

(1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率；

(2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为X，求X的分布列与数学期望E(X)．16.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A；

(2)若a=2，且△ABC的面积为317.(本小题15分)

如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=120°，BD⊥AB．

(1)证明：BD⊥AC．

(2)若AB=2，E为CD的中点，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax+a−1ex，a∈R．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)当a>0时，证明：f(x)<19.(本小题17分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，椭圆上动点P满足点P到点F1的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为12．

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)如图，过椭圆的右焦点F2作斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，设直线MA1与NA2交于点T

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】213.【答案】[2,+∞)

14.【答案】215.【答案】解：(1)甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为12，23，且每人每次投篮命中与否相互独立，

记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件A．

(方法一)P(A)=(1−12)×23+12×(1−23)+12×23=56．

(方法二：间接法)P(A)=1−(1−12)×(1−23)=5X0123P1542E(X)=0+1×51816.【答案】解：(1)由acosC+3asinC−b−c=0又及正弦定理，

得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

所以sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC=3sinAsinC−sinCcosA−sinC=0，

由于sinC≠0，所以3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1，

即sin(A−π6)=17.【答案】解：(1)证明：过点A作AF垂直于CB的延长线于点F

∵平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC=BC，AF⊂平面ABC，AF⊥BC，

∴AF⊥平面DBC，

∵BD⊂平面DBC，

∴AF⊥BD．

∵BD⊥AB，AB∩AF=A，AB，AF⊂平面ABC，

∴BD⊥平面ABC，

∴BD⊥AC．

(2)由(1)知BD⊥BC.如图，以B为原点，BD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，

垂直于平面BCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(0,−1,3)，D(2,0,0)，E(1,1,0)，

∴BD=(2,0,0)，BA=(0,−1,3)，AE=(1,2,−3)．

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BD=2x=0,n⋅BA=−y+18.【答案】(1)当a=2时，f(x)=2x+1ex，

则f′(x)=2ex−(2x+1)ex(ex)2=1−2xex，

所以f′(−1)=3e，f(−1)=−e，

所以曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程y+e=3e(x+1)，即3ex−y+2e=0，

故曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程为3ex−y+2e=0；

(2)f′(x)=a⋅ex−(ax+a−1)ex(ex)2=(1−ax)ex，

当a=0时，f′(x)=e−x>0，所以f(x)在R上单调递增，

当a>0时，令f′(x)=0，得x=1a，

当x<1a，f′(x)>0，当x>1a，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，

当a<0时，令f′(x)=0，得x=1a，

则当x>1a，f′(x)>0，当x<1a，f′(x)<0，

所以f(x)在(1a,+∞)上单调递增，在(−∞,1a)上单调递减，

综上，当a=0时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,+∞)，没有减区间；

当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,1a)，单调递减区间是(1a,+∞)；

当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(1a,+∞)，单调递减区间是(−∞,1a)；

(3)19.【答案】解：(1)因为点P到点F1的距离的最大值为3，所以a+c=3．

又e=ca=12，所以a=2，c=1.由a2=b2+c2，得b=3，

所以该椭圆的方程为x24+y23=1．

(2)证明