内蒙古包头市第九十五中学2026-2027学年高二第一学期10月月考数学试卷 （含答案）

内蒙古包头市第九十五中学2026−2027学年高二第一学期10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．[5分]直线的倾斜角为（

）A．180° B．45° C．90° D．0°2．[5分]经过点且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．3．[5分]如图，在四面体中，，，．点M在上，且，N为中点，则等于（）A．B．C．D．4．[5分]已知，，是空间的一个基底，则下列说法中，正确的个数是（

）①若，则②，，两两共面，但，，不共面③一定存在实数，，使得④，，一定能构成空间的一个基底A．1 B．2 C．3 D．45．[5分]正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值

A． B． C． D．6．[5分]以点、、为顶点的三角形是（

）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．钝角三角形7．[5分]已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．8．[5分]在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（

）A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为二、多选题（本大题共3小题）9．[6分]关于空间向量，下列说法错误的是（

）A．对于任意的空间向量，都有B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角C．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件10．[6分]下列说法正确的是（

）A．若空间中，，，满足，则，，三点共线B．空间中三个非零向量，，，若，，则C．已知，是空间直角坐标系中的两点，若与关于平面对称，则D．“”是“，共线”的充要条件11．[6分]已知直线，，则下列说法正确的是（

）A．的充要条件为或B．若，则C．若直线不经过第四象限，则D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为三、填空题（本大题共3小题）12．[5分]如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.13．[5分]在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____.14．[5分]在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________.四、解答题（本大题共5小题）15．[15分]已知，，，且.（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．16．[15分]已知直线．（1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；（2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．17．[15分]在四棱锥中，底面是正方形，若，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.18．[15分]如图在下面的五面体中，其六个顶点分别为，，，，，，四边形为正方形，，平面，，，平面平面，为中点．（1）求证：平面；（2）求平面和平面夹角的大小；（3）在线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值．若不存在，请说明理由．19．[15分]空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．（1）若，，求的斜坐标；（2）在平行六面体中，，，，为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①求的斜60°坐标；②若，求与夹角的余弦值．

参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】ABD10．【答案】AC11．【答案】BCD12．【答案】7013．【答案】14．【答案】15．【答案】（1）（2）16．【答案】（1）直线的方程为或；（2）的最小值为，此时直线的方程为.17．【答案】（1）取的中点为，连接、.因为，为的中点，则，而，，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，则，因为，、平面，故平面，因为平面，故平面平面.（2）（3）18．【答案】（1）∵四边形为正方形，，∴，，由勾股定理得，且三角形是直角三角形，为中点．则，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，以为原点，为轴，平行于方向为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，又平面，