专题04 平行四边形几何辅助线(专题详解)(解析版)

专题04平行四边形几何辅助线专题详解

专题04平行四边形几何辅助线专题详解...........................................................1

1平行四边形................................................................................3

知识框架................................................................................3

方法1分类讨论思想....................................................................3

一、动态讨论.......................................................................3

（1）1个点的移动..............................................................3

（2）2个点的移动..............................................................3

二、高的位置的讨论.................................................................5

（1）过点作下（上）侧边的高...................................................5

（2）过点右（左）侧边的高......................................................5

三、求平行四边形笫4点坐标.........................................................7

方法2平行四边形的面积................................................................8

一、利用面积解决问题...............................................................8

二、方程思想.......................................................................8

方法3构造中位线.......................................................................9

一、连接法.........................................................................9

（1）连接两中点................................................................9

（2）知一中点，取另一中点.....................................................10

（3）知两中点，构双中位线.........................................................11

二、倍长法........................................................................12

（1）倍长垂直于角平分线的线段................................................12

（2）倍长线段.................................................................14

2特殊的平行四边形........................................................................16

知识框架...............................................................................16

方法1矩形的折叠问题.................................................................16

方法2构造斜边上的中线...............................................................17

一、连中点........................................................................18

二、取中点........................................................................20

方法360。的菱形模型...................................................................21

方法4利用菱形的对称性解题...........................................................23

方法5正方形的典型模型...............................................................24

—、a=2b型........................................................................24

二、a=&b型......................................................................25

三、a±b=c型.....................................................................27

四、a±b=&c型....................................................................28

方法6构造正方形......................................................................30

一、利用45。角构造正方形..........................................................30

二、利用四边形构造正方形..........................................................31

二、利用直角二角形构造正方形......................................................31

方法7运用正方形的性质求坐标.........................................................32

方法8动点问题的研究.................................................................33

1平行四边形

知识框架

&分类讨论思想

&动态讨论

&1个点的移动

&2个点的移动

&高的位置的讨论

&过点作下

上

侧边的高

&过点作右

左

侧边的高

&求平行四边形第4个点的坐标

&平行四边形的面积

&利用面积解决问题

1个点的移动

动态讨论

2个点的移动

分类讨论思想!过点作卜.（上）侧边的高

高的位置的讨论过点作右（左）侧边的高

I求平行四边形第4点坐标

一、动态讨论

解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果

（1）1个点的移动

如下图,1个点C在直线AB上移动，会出现3种情况：①在线段AB左侧；②在线段AB当中；③在线段AB

右侧，具体见例1.

A区

（2）2个点的移动

如下图,2个点C.D在线段AB上移动（C.D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C

在点D的右侧，具体见例2.

D

A♦•TB

DC

A••・••巴

例l.°ABCD的内角NBCD的平分线CE交射线DA于点E,若AE=3,DE=4,求小BCD的周长。

【答案】10或22

【脩析】点E在射线AD上移动，有2种情况

情况一：点E在AD中，如下图所示

VCE是NBCD的角平分线

AZBCE=ZECD

•・•四边形ABCD是平行四边形

，AD〃BC

•••/DEC二NBCE

AZDEC=ZECD

/.CD=ED=4

VAE=3

AAD=7

IRABCD的周长为:2X(7+4)=22

情况二：点E在点A的左侧，如下图所示

同上，DC=DE=4

DA=DE-AE=4-3=1

.•.oABCD的周长为：2X(1+4)=10

综上得:.“ABCD的周长为:10或22

例2.在口ABCD中,AD=8,AE平分NBAD交BC于点E,DF平分NADC交BC于点F,且EF=2,求AB的长。

【答案】3或5

【解析】两点E、F在BC之间，存在2中情况

情况一：点E在点F的左侧，如下图所示:

4力

BEFC

VAE是NBAD的角平分线

ZBAE=ZEAD

•・,四边形ABCD是平行四边形

AAD/7BC

・・・NAEB=NDAE

/.ZEAB=ZAEB

•••△ABE为等腰三角形,AB=BE

同理，△FQ)为等腰三角形，DC=FC

•・•平行四边形中，AB=CD

ABE=FC

VAD=8,EF=2

ABE=FC=i(8-2)=3

AAB=3

情况二：点E在点F的右侧，如下图所示:

同上得:AB=BE,FC=CD

则BE=FC

VBE+FC-EF=BC

・・・BE=FC=1(8+2)=5

AAB=5

综上得:AB=3或5

二、高的位置的讨论

解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。

(1)过点作下(上)侧边的高

如下图，过点A作口ABCD下侧的边CD上的高AE。因。ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例

1

A

ZZ7ED

DEC

（2）过点右（左）侧边的高

如下图，过点B作WXBCD的右侧边AD上的高AE。因。ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例

BB

D

上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。

例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E,若AB=5,BC=6,求CE的值。

【答案】6-竽或6+竽

【解析】此题作点卜侧高的情形，存在两种情况

情况■：如下图，平行四边形向左倾斜，高在图形内部

A

B

•・•平行四边形的面积为15,BC=6

上根据面积公式：15=6XAE

解得：AE=

5

2

在RtAABE中，根据勾股定理:BE=

2

00

2

5

2

(

5

2

)

2

5

3

2

5>/3

Z.EC=BC-BE=6

情况二：如下图，平行四边形向右侧倾斜，高在图形外部

同上，可求得:BE=

5

3

2

・・.EC=BC+BE=6+竽

综上得：EC=6-

5

3

2

或EC=6+

5

3

2

例2.在OABCD也AD=BD=4,BE是AD边上的高，ZEBD=30°,求△ABD的面积。

【答案】4V3

【解析】此题作点右侧高的情形，存在两种情况

情况•：如下图，倾斜程度不大时，高在平行四边形的内部

VBD=4ZZDBE=30°,BE_LAD

•••△BDE是30°的直角三角形

，DE=2,BE=2

3

/.S45D=-xADxBE=-x4x2\/3=4\j3

A22

情况二：如下图，倾斜程度大时，高在平行四边形的外部

同上，4BDE为30°的直角三角形

AED=2,BE=2

3

:.=S^ABD=1xADxBE=-x4x2^3=43

22

综上得：

a

=4

3

三、求平行四边形第4点坐标

解题技巧：若四边形ABCD为平行四边形，已知点A.B.C的坐标，求点D的坐标，如图，过点A作BC的平行

线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，这三条直线相互交于3点。这3点即为点D可能的位

置。

例1.在平面直角坐标系中，有A(0,1),B(-1,0),C(1,0)三点，若点D与A,B,C构成平行四边形，求D

的坐标。

【答案】D点的坐标为:(0,-1)或(2,1)或(-2,1)

方法2平行四边形的面积

平行四边形的面积［利?面?解决问题

I方程思想

一、利用面积解决问题

解题技巧：平行四边形的面积=底乂高

设

□

1

为口ABCD的底，

h

1

为对应的高;

回

2

为GABCD的另一个底，

h

2

为对应的高

则：

h

1

X

3

1

h

2

X

□

2

需要注意，两条平行线之间的距离处处相等。

例1.如图，点E是。ABCD的一边AD上任意一点，若4EBC的面积为

13

1

,°ABCD的面积为

回

2

,求两者的数量关系。

【答案】Si=2s2

【解析】过E作BC的垂线EF,交BC于点F

则EF是ABEC的高，也是口ABCD的高

'CS^BCXEF

又•.•52=BCXEF

Z.Si=2S2

例2.平行四边形两邻边分别为20和16,若两较长边之间的距离为8,求较短边之间的距离。

【答案】10

【解析】设较短边之间的距离为h

知平行四边形的面积为：底边X高

.,.20X8=16Xh

解得：h=10

二、方程思想

解题技巧：方程思想是数学中的一种重要思想，当存在不知的量，我们可以设为未知数，然后当做已知，结

合题型特点列写方程。在平行四边形的面积问题中，主要考虑平行四边形的底和平行四边形的高，若这两个

量中有不知的量，我们可以设为未知数。

方程思想的优点在于可以正向推导求解题目，而不用逆向进行（逆向进行，往往较正向思路复杂一些）。

例L如图在中，AE_LBC于点匕AF_LCD于点F,已知AE=%AF=6,0ABCD的周长为40,求QABCD的面积。

【答案】48

【解析】题FI中涉及到了面积和周长，需要知道平行四边形各边的长度，而此题中各边的长度不知，我们用

方程思想解决。

设BC为x

V0ABCD的周长为40

.*.CD=^-40—x=20—x

2

根据平行四边形的面积得：BCXAE=CDXAF

二可得方程:4x=6(20-x)

解得：x=12

.•.0ABCD的面积=4X12=48

方法3构造中位线

构造中位线

&连接法

&连接两中点

&知一中点，取另一中点

&知两中点，构双中位线

&倍长法

&倍长垂直于角平分线的线段

&倍长线段

一、连接法

连接法

&连接两中点

&知一中点，取另一中点

&知两中点，构双中位线

(1)连接两中点

解题技巧：中位线具有平行的位置关系，还为底边长的一半的长度关系，非常特殊因此，若图形中出现2

个中点，连接这两个中点，便可构造出中位线。

例1.如图，ZkABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点，求证:EF〃DG且EF=DG。

【答案】见解析

【解析】2个线索指导我们的辅助线连接。

线索1:要求求证EF〃DG且EF=DG,即只需要四边形EFDG为平行四边形即可；

线索2:点E、D.F、G分别都是中点，连接可构成中位线

故辅助线为：连接ED,FG,如下图所示

•・•点E,D分别是AB,AC的中点

AED是ZXABC的中位线,ED〃BC且ED=BD

•・•点F,G分别是OB,0C的中点

・・・FG是aOBC的中位线，FG〃BC且FG二BC

；・ED〃FG且ED=FG

・•・四边形EFGD为平行四边形

，EF〃DG且EF=DG

(2)知一中点，取另一中点

解题技巧：若题干中已知1个中点，我们可以取另一个中点，连接后就可构造出中位线。

例1.如图，在QABCD中，E是CD中点,F是AE的中点,FC交BE于点G。

(1)求证:GF=GC；

(2)求证：BG=3EG

【答案】见解析

【解析】•・•点F为AE的中点

，我们只需在EB上另取一中点，即可构造出中位线

如下图,取EB的中点H,连接FH,HCo

(1).・•在口ABCD中，点E是DC的中点

：

,EC=2-D2C=-AB

丁点F、H分别是AE、EB的中点

AFH为AABE的中位线

，FH〃AB且

2

・・・FH〃EC且FH=EC

・・・四边形EFHC为平行四边形

AFG=GC

(2)•・•四边形EFHC为平行四边形

AEG=GH

:点H为EB中点

JEH二HB

AGB=3EG

(3)知两中点，构双中位线

解题技巧：若已知2个中点，但这两个中点的连线无法构成中位线时，我们可以再另取一中点，将这个中点

与这2个中点分别构造出一个中位线。

例1.如图，在四边形ABCD中,BC,AD不平行，且NBAD+NADC=270。，

【答案】EF=4

【解析】:E、F两个中点组成的直线EF无法构成中位线

，我们需要另寻一个中点，与E、F构成2个中位线。连接BD,这样就构成了4ABD和aBDC,其中BD为两

个三角形的公共边

・••取BD的中点H,连接EH并延长交BC于点G,连接HF

A

D

•・,点E、F、H分别是AD.BC.BD的中点

AEH是4ABD的中位线,HF是ABCD的中位线

・・・EH〃AB且EH=

1

2

团团，FH〃DC且FH=

/.ZABC=ZEGC,ZDCB=ZHFB

VZBAD+ZAI)C=270°

AZABC+ZDCB=90°

...NEGF+NHFG=90°

••・NFHG=NFHE=900

在Rt△即H中:EF=

2

1

2

2

+

1

2

2

=4

二、倍长法

倍长垂直于角平分线的线段

倍长法

倍长线段

（1）倍长垂直于角平分线的线段

解题技巧：如下图，若AC是NDAB的角平分线,BC_LAC,则延长BC交AD于点D,则4ACB与aACD是关于

角平分线AC对称的两个三角形，则点C为BD的中点。

我们将构造出的中点C与题干中已知的中点连接，则可构造出中位线。

例1.如图,AB=BC,DC=DE,ZABC=ZCDE=90°,D,B,C在一条直线上,F为AE的中点。

(1)求证：BF〃CE；

(2)若AB=2,DE=5,求BF狗长。

DE

【答案】（i）见解析

（2）BF=—

2

【解析】：AB=BC,DC=DE,ZABC=ZCDE=90°

/.△ABC和ADCE都是等腰直角三角形

/.ZBCA=ZDCE=45°

，Q）是NACE的角平分线

如下图，延长AB交CE于点G

则点B是AG的中点

•・•点F是AE的中点

ABF是AAGE的中位线

，BF〃EG且BF=-GF

2

・・・BF〃CE

(2)VAB=2

・・・CG=AC=2合

VDE=5

ACE=5V2

，EG=3夜

・・・BF卷

(2)倍长线段

解题技巧：若题干中仅有1个中点，我们还可以倍长一个线段，从而构造出一个中点出来，进而构造出中位

线。

例1.如图，ZACB=ZADE=90°,CA=CB,CD=DE,M为BE的中点，求证：AE=2DM0

D

【答案】见解析

【解析】•・•点M是EB的中点，要求证DM的2倍关系

，要构造出DM为中位线

・•・辅助线为倍长ED

如下图，延长ED至点N,使得DN=ED,连接CN,BN

A

N

•・•点DM分别是EN、EB的中点

ADM是4ENB的中位线

・,.DM〃NB且

ZACB=ZADE=90°,CA=CB,CD=DE

•••△ACB,ACDE为等腰直角三角形

•・•倍长ED,易知△CDNgZ\CDE

.*.ZNCD=ZNCE=45°,ZNCB=90°

.*.ZACE=ZBCN

/.△ACE^ABCN

AAE=BN

，2D\仁AE

2特殊的平行四边形

知识框架

（矩形的折叠问题

连中点

构造斜边I:的中线

取中点

60°的菱形模型

利用菱形的对称性解题

a=2b型

a=&b型

a±b=c型

{a±b=V2c型

'利用45°角构造正方形

构造正方形（利用四边形构造正方形

、利用直角三角形构造正方形

运用正方形的性质求点的坐标且

I面积

I动点问题的研究

方法1矩形的折叠问题

解题技巧：图形的折叠，意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要

抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。

例1.如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，使BC与AD交于点E.若AD=8cm,AB=4cm/求^BDE的面积.

【答案】10

【解析】溟Z\CBD折叠而成

：・AdBD=ACBD

,ZE

=Z=Z=90°

VZAEB=ZEt?/D

:AdED三Z\AEB

设AE=x,则ED=BE=8-x,AB=4

在4AEB中，根据勾股定理得:

团

2

+16=64+

0

2

T6Q

解得:x=3

S^EBD=~X4X5=10

例2.如图，矩形ABCD中,AB=4,BC=3.E点在线段BC上，连接DE^ACDE沿DE折叠，使得点C的对应点C

落在AB上.求的面积.

【答案】

【解析】设CE=x=

团

团，则EB=3-x

C，B=Jx2-(3-x)2=6X-9

ACz=4-6x+9=13-GA-

13-60=

16-9

,解得：x=

13-

7

6

「1“13-V7

S=--4x=

3

例3.如图，在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8.将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是:

A.AF=AEB.AABE^AAGFC.EF=2

5

【答案】D

【解析】易证△ABEg^AGF

,-.AF=AE=EC

・・・A.B正确

设FD=x,贝ljAF=8-x,FG=x,AG=4

在RtZ\AGF中：16+

0

2

=64+

回

2

T6S

解得:x=3

CF=V32-42=5D不正确

EF=V22+42=2^5C正确

方法2构造斜边上的中线

‘连中点

构造斜边上的中线

,取中点

图①中，若点。是AB的中点，那么：OA=OB=OD；

图②中，若点0是AB的中点，那么:OA=OB=OD=OC：

图③中，若点。是AB的中点，那么OA=OB=OC=OD

若图形中出现直角三角形，且存在中点时，可以考虑构造斜位上的中线。方法有2中：

①有中点，直接连接直角的顶点和斜边的中点；

②无中点，先选取斜边的中点，在连接构造斜边上的中线。

一、连中点

例1.如图，ZkBCD和ABCE中，NBDC=NBEC=90°,0为BC的中点,BD,CE交于点A,ZBAC=120°,求证:

DE=0E.

D

B

【答案】见解析

【解析】连接0D

D

VZBEC=ZBDC=90°，点0是BC的中点

・・・E0、ED是RtABEC.RtABDC斜边上的中线

.*.EO=OB=OC=OD

.,.△BOD.AEOC.AEOD是等腰一：角形

设/DBO=x,ZOCE=y,贝ijNBDO=x,ZOEC=y

ZE0B=2y,ZD0C=2x

VZBAC=120°

A^ABAC中，x+y+120°=180°,x+y=60°

.,.ZE0B+ZD0C=120°

JZE0D=60°

J等腰三角形EOD是等边三角形

AED=E0

例2.如图，四边形ACBD中,AC=BC,ZACB=ZADB=90°,ZDBC=60°,E是AB的中点,EM_LCD于点M。

(1)求证:DM=CM；

（2）求穿的值

AD

【答案】（1）见解析

⑵当

【解析】（1）如下图，连接DE、EC

B

VZBCA=ZADB=90°，点E是A3的中点

ADE=AE=EB=EC

•••△EDC是等腰三角形

VEM±DC

・••点M是DC的中点

(2)VAC=BC

•••△ACB是等腰直角三角形，ZABC=45°

VZDBC=60°

・・・NDBE=15°

VDE=AE=EB=EC

•••△DEB.ABEC是等腰三角形

AZBDE=ZDBE=15°,ZBCE=ZEBC=45°

AZDEB=30°,ZBEC=90°

.,.ZDEC=120°

.,.ZECD=ZEDC=30°

•••△EMC为30°的直角三角形

.CMV3

VCD=2CM,AB=2BE=2CE

.CDV3

••-=----

AB2

二、取中点

例1.已知，在如图所示的平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,EF_LAC,点O是垂足,EF分别交AB,

CD于点E,F,且BE=0E=

1

AEo求证平行四边形ABCD是矩形。

【答案】见解析

【解析】如下图，取AE中点G,连接0G

VOG是RtAAOE斜边上的中线

/.OG=AG=GE=EB=OE

AAAGO^ABEO

AOA=OB

・•・平行四边形ABCD为矩形

例2.如图，D为等边^ABC的边BC上一点，DE±AB于点E,DF±AC于点F,连接EF・求

【答案】4

【解析】取AD的中点G,连接EG,FG,设AD与EF交于点0

VZAED=ZAFD=90°，点G是AD的中点

AEG=AG=GD=GF

.,.△AED.AAFG是等腰三角形

AZEAG=ZAEG/ZGAF=ZGFA

「△ABC是等边三角形

AZBAC=60°

AZEAG+ZGAF=60!>

・•・ZEAGiZAEGiNGA。ZGFA=123°

/.Z?\GE+ZAGF=180°X2-1200=240°

.\ZFGI'=120°

.,.ZGFE=ZGEF=30°

.OFN/3

，*GF一~2

VEF=2OF,AD=2AG=2FG

・EF瓜

•=---

AD2

方法360°的菱形模型

解题技巧：连接60°菱形的对角线，可以构造出2个全等的等边三角形。再利用等边三角形的性质进行求

解。

例L如图，菱形ABCD也点E为AC上一点，且DE_LBE。

(1)求证：ZXADE9ZXABE；

(2)若NDAB=60°,AD=2

3

,求DE的长。

DC

zB

【答案】（1）见解析

（2）V6

【解析】（1）•・•四边形ABCD是菱形

.\AD=AB,ZDAE=ZBAE

VAE=AE

AADAE^ABAE

（2）如下图，连接BD

•••△ABD为等边三角形

VAD=2V3

/.BD=2V3

VAADE^AABE

・・.DE=BE

VDE±BE

•••△DEB为等腰直角三角形

...DE=*=V6

例2.已知在菱形ABCD中，ZBAD=120°,E,F为射线BC和CD上一点，ZEAF=60°。

（1）如下图,若点E,F分别为边BC,CD上任一点，探究BE、DF、AB之间的关系。

【答案】AB=BE+DF

•・•四边形ABCD是菱形，且NB=60°

/.△ABC.AACD是等边二角形

.\AC=AD,ZACE=ZADFzZBAC=ZCAD=60°,ZCAF+ZFAD=60°

VZEAF=60°

・・.NEAC+NCAF=60°

.\ZEAC=ZFAD

.,.△EAC^AFAD

AEC=DF

AAB=BE+DF

（2）如下图，若点E,F分别在BC,CD的延长线上,探究BE,DF,AB之间的数量关系

【答案】AB=BE-DF

【解析】如图，连接AC

A

D

同上可得：ACAE^ADAF

.\AB=BI>DF

方法4利用菱形的对称性解题

解题技巧：菱形就是轴对称图形，又是中心对称图形。运用其轴对称性可解决最小值类的问题。

例1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M,N分别是边AB,

BC的中点，贝ljPM+PN的最小值为？

D

B

【答案】5

【解析】作点M关于AC的对称点

0

,如下图所示

则PM+PN的最小值为:

0

0

M/N2=MIM2+MN?

M，N=V32+42=5

例2.如图，在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,ZADC=60°,将平行四边形ABCD沿过点A的直线I折叠，使

点D落到AB边上的点F除，折痕交CD边于点E。

求证：（1）四边形BCEF是菱形

（2）若点P是直线I上的一个动点，请计算PF+PB的最小值。

【答案】（1）见解析

（2）V7

【解析】（1）•••DE〃A。/

:.NDEA=NEAD/=/DAE=NAE。/

:.ZDAD/=40E。/

・•・四边形DED/力为平行四边形

・・・DE=A。/

VAB=DC,AB//DC

・・・CE:

,CE〃B

•・・BD/=E。/

，平行四边形BCE。/为菱形

（2）点D于点

关于AE对称，即DB=

7

方法5正方形的典型模型

'a=2b型

a=V2b型

正方形典型模型《

a±b=c型

.a±b=、hc型

一、a=2b型

解题技巧：证a=2b型问题，常取中点或倍长构造三角形中位线解决问题。

例1.如图，点0是正方形ABCD的对角线交点,AE平分NBAC交BC于点E,交0B于点F,求证：CE=2OFo

【答案】见解析

【解析】求证的是“a=2b型”，且在正方形中，常见的方法有2种：取中点构造中位线；倍长线段构造中位

线

方法一：取中点构造中位线，如下图，取AE的中点M,连接0M

•・•点。是AC的中点，点M是AE的中点

AOM是4ACE的中位线

.*.2OM=CE,OM/7CE

•・•四边形ABCD是正方形,AE是NCAB的角平分线

AZCAE=ZEAB=22.5°,ZABC=90°,ZACE=45°,NDBC=45°

.,.ZCEA=180o-22.5°-45°=112.5°,NAEB=180°—90°-22.5°=67.5°

.*.Z0MF=180°-112.5°=67.5°,Z0FM=ZEFB=180°-67.5°-45°=67.5°

.\ZOMF=ZOFM

.\OM=OF

A0E=20F

方法二：倍长线段构造中位线,如下图,延长AE至M处,使FM=AF

•・•点O是AC的中点，点F是AM的中点

，OF〃CM,2OF=CM

角度推导同上知:ZAOF=90°,ZCME=66.5°

VCM/70F

AZMCA=ZA0F=90o

.\ZMCE=45°

・•・ZCEM=66.5°

/.△CEM为等腰三角形

ACE=CM

ACE=20F

二、a=«b型

解题技巧：处理a=

2

团型问题，通常将a,b转化到等腰直角三角形中确解决。

例1.如图，正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF。求证：EF=

2

DEo

【答案】见解析

【解析】•・•要证Ma=V2bw

・•・需要想办法把a、b转化到等腰百角二角形中去

如下图，连接DF,构造出等腰直角三角形DEF

•・•四边形ABCD是正方形

.*.ZA=ZDCF=ZADC=90°,AD=CD

VAE=CF

AAAED^ACFD

・・・DE=DF,ZADE=ZCDF

VZADC=90°

・・・NEDF=9(T

•••△EDF是等腰直角三角形

.\EF=x/2DE

例2.如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点,F为CD上一点,ED=EF,求证:DF=

2

AEo

【答案】见解析

【解析】分析同上，需要将DF、AE构造到等腰直角三角形中去

如下图，过点E作DC,AD的垂线，交DC,AD丁点M,N

•・•四边形ABCD是正方形

.•.ZADC=90°,ZDAC=45°

VED=EF

AAEDF为等腰三角形

ADM=MF

,/ZADC=ZDNE=ZDME=90°

・•・四边形NEMD是矩形

ADM=NE

VZDAC=450

•••△ANE是等腰直角三角形

.\V2NE=AE

・・・DF=2NE=&AE

三、a±b=(:型

解题技巧：结合45°角，利用截长补短（或作垂线）构全等。

例1.如图,正方形ABCD中，点E,F分别在CD,DA上，ZEBF=45°,求证：EF=CE+AF＜）

【答案】见解析

【解析】求证:a+b=c型，在正方形中，结合45°角，利用截长补短，易构造出全等三角形

•・•四边形ABCD是正方形

AZECB=ZGAB=90°,BC=AB

VAG=CE

AAGAB^AECB

/.ZGBA=ZEBC,GB=BE

•・•四边形ABCD是正方形，ZFBE=45°

AZABF+ZEBC=45°

AZGBF=ZGBA+ZABF=45°=ZFBE

VBF=BF

/.△GBF^AEBF

・・・GF=EF

.\AF+CE=EF

例2.如图，正方形ABCD中，点0为对角线的交点，E,F分别在AD,AB上，且NEOF=45°,求证:BF-AE=EF。

AED

【答案】见解析

【解析】分析思路同上

连接OB.OA,在AB上取一点G,便得BG=AE

•・•四边形ABCD是正方形，点。是对角线的交点

/.ZAOB=90°,AO=OB,ZDAO=ZABO=45°

VAE=BG

/.△AEO^ABGO

.•.ZGOB=ZAOE,OG=OE

NFOG=NAOB—NAOF—/BOG=NAOB—NAOF—NAOE=90°—45°=45°=ZEOF

VOF=OF

AAGOF^AEOF

.\EF=FB-AE

四、a土b=V^c型

解题技巧：通过截长补短法，转化为“a=

2

b型”来解决。

例1・如图，点。是正方形ABCD对角线的交点，点E是正方形外一点，且AE_LBE。求证：EA+EB=

OEo

【答案】见解析

【解析】先通过补短法，将“a+b”转化为一条直线a,则该题型转化为“a=

b型”

如下图，延长EB至点M,使得BM=AE,连接OA,0B

M

•・•四边形ABCD是正方形，点0是对角线的交点

.*.AO=OB,ZAOB=90°

VAE±BE,AZAEB=90＜；

・••在四边形AEBD中，ZEA0+ZEB0=180o

VZEB0+Z0BM=180°

AZ0BM=Z0AE

VBM=AE

/.△OBM^AOAE

.\OM=OE,ZM0B=ZA0E

AZE0M=90°

•••△EOM是等腰直角三角形

.\V20E=EM

.\EA+EB=V2OE

例2.如图，点0是正方形ABCD对角线的交点，点E是正方形内一点，且AE_LBE。求证：EB-EA=