专题08三角形中的倍长中线模型（原卷版）-2023年中考数学几何模型重点突破讲练

专题08三角形中的倍长中线模型

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【模型1］如图，已知AI）是AABC的边BC的中线,延长AD至点E,使得AD=DE,连接BE,结合BD=CD,

/ADC=NEDB,可证得A/1QCgAEQB。

【模型2】

如图，已知点D是的边BC上的中点，点E是边AC上的一点，连接ED并延长ED至点P,使得ED=DP。

结合BD=CD,4BDP=4CDE,可证得ABQPgACDE。

【例1】如图，在。中，48=4,4C=2,点。为8c的中点，则力。的长可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【例2】如图，△48。中，48=13,AD=6,AC=5,。为8c边的中点，则

【例3】(1)如图1,力。是△48。的中线，延长/。至点E,使瓦)=4),连接CE.

①证明△48Z)gZ\ECQ；

②若48=5,AC=3,设力£>=x,可得x的取值范围是；

(2)如图2,在△44C中，力是BC边上的中点，DE工DF,DE交4B千点E,DF交月C于点F,连接石尸,

求证：BE+CF>EF.

一、单选题

1.如图，已知力。是△48。中6C边上的中线，AB=5,nC=3,则力。的取值范围是(

A

A.2<AD<SB.[<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<S

2.在“8C中,AC=5,中线力D=7,则48边的取值范围（)

A.2<AB<12B.10<AB<19

3.如图，在四边形ABC。中,ABHCD,AB1BD,AB=5,BD=4,8=3,点E是ZC的中点，则旗

的长为（）.

A.2

4.如图，A48C中，。为AC的口点，点E为8/延长线上一点，。歹_LDE交射线AC于点尸，连接EF,

则BE+C产与E尸的大小关系为（）

A.BE+CF<EFB.BE+CF=EFC.BE+CF>EFD.以上都有可能

5.在。MCE中，BC=2AB,CDJ.4B于点、D,点E为/IF的中点,若/4）£=50°,则相的度数是（）

D

10.在△48C中，4。是8C边上的中线，若AB=3cm,AC=5cm,则力。的取值范围是.

11.如图，在正方形48CQ中，AW分别是力。、4。边上的点，将四边形48MW沿直线MN翻折，使得点

A、8分别落在点⑷、B'处,且点斤恰好为线段。。的中点，，夕交于点G,作。P_LMN于点P,交

⑷夕于点。.若4G=4,则尸。=.

12.如图，AB\\CD,NBCD=90°,48=1,8C=CO=21为AD上的中点，则BE=

三、解答题

13.如图，力。为△川?C中8c边上的中线

(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；

(2)若48=8cm,AC=5cm,求4£)的取值范围.

B

14.如图，已知力P〃8C,点七是。C的中点，目力。+8c=/8,求证：AELBE.

15.如图，O为四边形如儿'。内一点，£为力4的中点，04=00,OB=OC,ZAOB+ZCOD=\S00.

(1)若/BOE=NBA(),AB=2行，求04的长；

(2)用等式表示线段OE和C。之间的关系，并证明.

16.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入.

【探究与发现】

如图1,延长△ABC的边BC到。，使DC=BC,过。作DE//AB交AC延长线于点E,求证：△ABC/AEDC.

【理解与应用】

如图2,已知在△力8c中，点E在边8c上且NC4E=N8,点£是。。的中点，若4。平分/历1E.

(1)求证：AC=BD；

(2)若BD=3,AD=5,AE=x,求x的取值范围.

图2

17.如图1,在。中，若，8=10,BC=3,求4C边上的「广线8。的取值范围.

(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE=B。,连接CE,可证得△CEQg△480.

①诗证明△CEOg△力80：

②中线BD的取值范围是.

(2)问题拓展：如图2,在△H8C中，点。是4C的中点，分别以48,8c为直角边向△48。外作等腰直

角三角形和等腰直角三角形8CN,其中，AB=BM,BC=BN,/ABM=/NBC=490。,连接MM请

写出8。与"N的数量关系，并说明理由.

图2

18.(1)如图1,已知△48C中，力。是中线，求证：AB^AC>2ADi

(2)如图2,在“8C中，D,E是8c的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE,

(3)如图3,在△45C中，D,E在边8C上，且BD=CE.求证：AB+AC>AD+AE.

19.数学兴趣小组在活动时:老师提出了这样一个问题：

如图I,在△力4c中，/4=6,JC=10,力是6c1的中点，求月C边上的中线力。的取值范围.

【阅读理解】

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

(1)如图1,延长力。到£点，使。E=4)，连接A£.根据可以判定,得出

AC=.

这样就能把线段48、AC.24。集中在中.利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围

是.

【方法感悟】

当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一把中线延长一倍，构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法.

【问题解决】

(2)如图2,在△力8C中，/力=90°,。是8c边的中点，Z£Z)F=90SDE交AB于效E,DF交AC于点、

F,连接石兄求证：BE2+CF2=EF2.

图2

【问题拓展】

(3)如图3,△/AC中，N8=90'，力3=3,力。是△/AC的中线，CE1.BC,C£=5,且//DE=90’.直

接写出4月的长=

图3

20.在"中，AMIBM,垂足为M,4点。是线段力历上一动点.

(1)如图1,点C是氏W延长线上一点，WO=MC,连接力C,若BD=17,求/C的长；

(2)如图2,在(1)的条件下，点“是外一点，EC=AC,连接EO并延长交4C于点R且点少

是线段8C的中点，求证：ZBDF=ZCEF.

(3)如图3,当E在8。的延长上，^.AEVBE,4E=EG时，请你直接写出Nl、N2、N3之间的数量关

系.(不用证明)

21.已知：等腰/?以48。和等腰阳△4。石中，AB=AC,AE=AD,NBAC=NEAD=900.

(1)如图1,延长DE交BC于点F,若/加E=68。，则NO尸C的度数为；

(2)如图2,连接EC、BD,延长E力交8。于点必，若乙4EC=90。，求证：点M为中点；

(3)如图3,连接£C、BD,点G是CE的中点,连接4G,交BD于点、H,4G=9,HG=\,直接写出△力EC

的面积.

22.(1)基础应用：如图1,在△力8c中，48=5,AC=7,力。是BC边上的中线，延长到点E使。E

=AD,连接CE,把"，AC,2力。利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得力。的

取