一元二次不等式及其解法(习题课) 教学设计

第二课时元二次不等式及其解法(习题课)

课堂讲练设计，举一能通类题

解简单的分式不等式

［典例］解下列不等式:

(x+2)(3-x)20,

［解1(1)原不等式等价于

3—xWO,

(x+2)(x-3)近0,

即,=­2/xv3.

x#3

原不等式的解集为⑶一2W.rv3}.

12

(2)原不等式可化为』--1>0,即；=<0,

等价于(3x—2)(4x—3)<0.

.23

••3<x<4-

23

，原不等式的解集为xFGI-

(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分

母不为零.

⑵分式不等式的4种形式及解题思路

>oo/m)g(x)>o；

®^<ouyu)g(x)〈o；

20o./U)g(x)20且g(x)HOO/(x)g(x)>0或爪x)=0；

WOo/(x)g(x)WO且g(x)WOO/(x)g(x)vO或/U)=0.

⑶不等式与不等式组的同解关系

①/)g(x)20o卷)或：x)WO,l/WeO，

②zu)#)w°o(；a)<。或

(x)«0.

Wx)WO,

g(x)20,

1网》0,Ax)vo,

③/U)g(x)>Oo/、A或'

点0＞。g(x)vO,

I网》0，Xx)<0,

④/lx)g(x)<0o,/、c或

或x)vog(x)>0・

［活学活用］

1.若集合A={x|-lW2x+lW3},B=x,则4nB=()

A.{x|-lWxV0}B.{x|0VxWl}

C.{x|0WxW2}I).{x|0WxWl}

解析：选B・.・A=3—IWXWI},〃={x|0VxW2},

・・・Anb={x|OVxWl}.

2.已知关于x的不等式“x+b>0的解集是(1,+8),则关于1的不等式丝三>0的解

X/

集是()

A.{x|xVT或工>2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|lVxV2}D.{x|x>2}

解析：选A依题意，。>0且一q=1.

ax-b,(t)\

X_2>()Q(ax-/>)(x—2)>0O(r--2)>0,

即(x+l)(x-2)>0=>x>2或x<-l.

题型二不等式中的恒成立问题

[典例]已知人x)=x?+25-2)x+4,如果对一切xWR,人外＞0恒成立，求实数。的

取值范围.

[解I由题意可知，只有当二次函数人均=3+2(”-2)工+4的图象与直角坐标系中的x

轴尢交点时，才满足题意，

则其相应方程d+2(0—2h+4=0此时应满足J＜0,即4(“一2)2—16V0,解得0V”

<4.

故。的取值范围是(0,4).

对于b]f人x)V0(或＞0)恒成立，应利用函数图象.

1.已知人幻=必+2(“一2田+4,是否存在实数。，使得对任意xG[—3,1],人x)V0恒成

立.若存在求出。的取值范围；若不存在说明理由.

解：若对任意，xW[—3,1],/U)V0恒成立，则满足题意的函数八%)=工2+2(〃-2)x+4

的图象如图所示.

7)V。，即25—6aV0,

由困竟可知，此时a应该满足

1)<0,14-2a<0,

、25

心不

解得‘

a<-T

这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意xe[-3,l],/lx)<0恒成立.

对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量.

2.已知函数了=i+2("—2卜+4,对任意a£[-3J],yVO恒成立，试求x的取值范

围.

解：原函数可化为g(a)=2xa+x2—4x+4,是关于。的一元一次函数.

要使对任意。yVO恒成立，

mv。，即x2-2x+4<0,

只需满足

L?（一3）V0,^-10^+4<0.

因为x2-2x+4<0的解集是空集,

所以不存在实数x,使函数)，=3+23—2)*+4,对任意yVO恒成立.

⑴解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就

是自变量，求谁的范围，谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有

效的方法.

a21Ax)恒成立o。2/lx)max(Ax)存在最大值)；

a«x)恒成立存在最小值).

⑵对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间

上全部在X轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方.

题型三一元二次不等式的实际应用

[典例]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1・2

万元阚，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投

入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<xvl),则出厂价相应的提高比例为0.75X,同

时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价一投入成本)X年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润j与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围

内？

[解](1)由题意，^y=[1.2x(14-0.75x)-lx(14-x)]Xl000X(H-0.6x)(0<x<l),整理得

>=-60^4-20x4-200(0<x<l).

(2)要保证本年度的利泗比上年度有所增加，当且仅当

j-(1.2-l)Xl000>0,[-60^+20^>0,

即

0<x<l,(0<x<l,

解不等式组，得

所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范闱为(0,

—------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

用一元二次不等式解决实际问题的步骤

(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；

(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.

[活学活用]

某校园内有一块长为800m,宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规

划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，

求花卉带宽度的范围.

解：设花卉带的宽度为xm(0<x<600),则中间草坪的长为(800-2x)m,宽为(600—2x)m.

根据题意可得(800-2x)(600-2x)2：X800X600,整理得炉一700工+600乂10020,即(彳一

600)(丫-100)20,所以OVxWlOO或x2600,12600不符合题意，舍去.

故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.

雷群课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

x-1

1.不等式丁22的解集为()

A.r-b+8)B.r-i,o)

C.(-8,-1]D.(-8,-1]U(O,4-00)

r―1r-1-r—1r-4-1

解析：选B不等式丁22,即=一220,即1—20,所以一1W0,等价于x（x

+1）WO且xW。，所以一IWXVO.

不等4式x4-缶2的解集是（

2.>0)

C.卜卜｝D-HX<4}

4x+21।

解析：选A丁二7>0今（43+2）（3^—1）>0<=^>]或x<—T,此不等式的解集为

13人

3.若不等式/+//江+与>0恒成立，则实数血的取值范围是（）

A.(2,+8)B.(—8,2)

C.(一8,0)U(2,+8)D.(0,2)

解析：选D•:不等式好+〃氏+学>0,对xGR恒成立，，/v0即m2—2m<0,/.0<w<2.

4.某商品在最近30天内的价格用）与时间”单位:天）的函数关系是加=/+10（0</^20,

E£N）；销售量g⑺与时间，的函数关系是狼。=一/+35（0弋《30,f£N）,则使这种商品日销

售金额不小于500元的/的范围为（）

A.[15,20]B.[10,15]

C.（10,15）D.（0,10]

解析：选B由日销售金额为"+10）（—£+35）2500,

解得10W/W15.

5.若关于x的不等式x?-4x一620对任意x£（0,l]恒成立，则zn的最大值为（）

A.1B.-1

C.-3D.3

解析：选C由已知可得mW/一©*对一切x£（0,l]恒成立，又人工）=/一代在（0,1]上

为减函数，

・\ZU）min=/U）=—3,3.

6.不等式言21的解集为.

解析：因为沿21等价于l-2x海所以等?(2x-l)(x+4)^0,

W0,等价于

x+4

得一4<xW；.

答案：(-4,1

7.若不等式好一4丫+3皿<0的解集为空集，则实数m的取值范围是______.

解析：由题■意，知.避一4x+3/n、0对'一切实数x恒成立，所以/=(—4)2—4X3mW0,

4

解得帆，不

答案：9+8)

8.在R上定义运算©:x^>y=x(l—y).若不等式(x-a)®(x+a)vl对任意的实数x都成

立，则〃的取值范围是________.

解析：根据定义得(x—a)®(x+a)=(x—。)口一(x+“)]=一—+工+苏一％又伏一0)®(x+

a)vl对任意的实数x都成立，所以x2—x+a+1-”2>o对任意的实数x都成立，所以1<0,

13

即1—4(G+1-a2)<0,解得一

答案：(-?1)

9.已知人x)=-3x2+a(5-a)x+B.

(1)当不等式人外>0的解集为(一1,3)时，求实数”，力的值；

(2)若对任意实数a,12)<0恒成立，求实数b的取值范围.

解：⑴由汽幻>0,得一312+。(5—a)x+比>0,

/.3X2—a(5—a)x-/><0.

又/U)>0的解集为(一1,3),

j3+«(5—<?)—/>=(),Ja=2,fa=3,

e，l27-3a(5-a)-Z>=0,**V=9或1=9.

(2)由12)v0,得一12+〃(5—。)+k0,

即2a2—10〃+(12—加>0.

又对任意实数%/(2)<0恒成立，

♦4=(-10)2-4X2(12—b)vO,

・・・实数b的取值范围为(一8,一。

10.某工厂生产商品"，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场

销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收

的税率.据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收尸元)时，每年的

销售量减少10P万件，据此，问:

(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；

(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定尸

值；

(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值.

解：税率为尸％时，销售量为(80—10P)万件，

即AP)=80(80-10P),税金为80(80-10P)-P%,

其中0v0<8.

80(80—10P),P%296,

(1)由«解得2WPW6.

[0vPv8,

故P的范围为[2,6].

(iy：flP)=80(80-10P)(2WPW6)为减函数，

・••当P=2时，厂家获得最大的销售金额，

42)=4800(万元).

⑶・・・0<Pv8,

g(P)=80(80—10P)・P%=-8(尸一4户+128,

・•・当P=4时，国家所得税金最高，为128万元.

层级二应试能力达标

x+5

1.不等式诉22的解是()

A[-3,JB[T3]

电，i)u(i,3]D[TI)U(13]

x+5、卜+522(x-l)2,・・・x£-1,1)U(131.

解析:选D(工一1)2“2”一1工0

工+3I

2.已知集合口v0>N={x|xW-3},则集合等于(

A.MCNB.MUN

C.[RMMD.(R(MUM

x+3

解析：选D=<00(工+3)(》-1)<0,故集合M可化为{x|-3avl},将集合M和集

合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案.

NM

-3-2-1012x

3.对任意函数八用=片+(。-4田+4—2”的值怛大于零，则x的取值范围

是（

A.(1,3)B.(一8,1)U(3,+8)

C.(1,2)D・(-8,1)U(2,+8)

解析：选B设g(a)=(x—2)a4-(x2-4x4-4),g(a)>0恒成立且—l,l]o

g(l)=x2—3x+2>0,pvvl或x>2,

=xvl或x>3.

【虱一l)=x2-5x+6>01xv2或x>3

4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内

接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（）

A.[15,30]B.[12,25]

I,-40m—

C.[10,30]D.[20301

解析：选C设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知，至・力=40—x,

・・・盯2300,,••工（40-x）N300,Ax2-40x+300^0,A10^x^30.

5.若函数人工）=1。22（/—2°二一〃）的定义域为七则。的取值范围为.

解析：已知函数定义域为R,即一20》一〃>0对任意xWR恒成立.

・・・/=（-2a）2+4aV0.

解得一IVQVO.

答案：（一1,0）

6.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需

要加入含盐4%的食盐水为x克，则*的取值范围是_______.

*•4%+20("%

解析:5%<-2。0<6%

解得x的范围是（100,400）.

答案：（100,400）

7.已知不等式加炉一〃+股一2Vo.

（1）若对于所有的实数x不等式恒成立，求机的取值范围；