专题02 双角平分线与角n等分线-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）（原卷版）

专题02双角平分线与角〃等分线模型

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模型1.双角平分线模型1

模型2.角〃等分线模型4

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模型1.双角平分线模型

模型解读

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。卜面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自

己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件:如图，已知：8、。石分别平分NAO/6、NBOC;结论：ZDOE=-ZAOC»

证明：-OD,分别平分/BOG4BOE=^/BOC，

•・2DOB+/BOE=二AAOB十二NBOC=二么OC，••/OOE=二ZAOC。

2222

模型运用

例I.如图，OB是/AOC的平分线，OD是NCOE的平分线.

(1)若NAO8=40,/。。。=20,求NAOE的度数；

(2)若/AOE=126，且NBOC=2NDOE,求NAO8的度数.

例2.如图，已知NAOB=120。.

(l)OC,OO是以。为顶点的两条射线，OM,QN分别平分/4OC,Z13OD.

①如图1,当NCOD=50。，/8。£>=40。时，ZMON的度数为：

②如图2,当。<N8OD<6()。时，请写出NAO。、/8OC与4WON之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图3,当NCOZ)=50。时，NAOC以4.5度/秒的速度整体绕点。顺时针旋转，同时，NBOD也以2度/

秒的速度整体绕点O顺时针旋转，当N8。。刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中NAOC与

/BOD有重叠部分的总时长.

2)双角平分线模型(两个角有公共部分)

条件：如图，已知：OD、分别平分NA03、ZBOC：结论：ADOE^-^AOC^

证明：VOD>OE分别平分NAOB、NBOC,ZDO13=-ZAOB»Z.BOE=-Z.BOC>

22

.111

•・2BOE-NDOB=上/BOC—上ZAOB=上"OC，***ZDOE=-ZAOC-

2222

模型运用

例I.如图I,已知4408=150。,ZC0£）=30°,NC8绕点。在NAOA的内部转动且边不重合，OAZ平

分/AOC,ON平分/BOD.

CN

M

A

图1备用图

⑴如图2,当NAOO=6（）。，求NMQV的度数:

（2）请判断NMON的大小是否随NC8的位置的变化发生改变？并说明理由:

（3）当=!时，求/4QM的度数.

Z.BON5

例2.已知408=110°,ZCOD=50°,OE平分/AOC,。尸平分N8OQ.（本题中的角均为大于0。且

不大于180。的角）

备用图

⑴如图I,当04、OC重合时，求/的度数;

（2）当NC8从图I所示位置绕点0顺时针旋转。（。不大于70。）时，如图2,NAOE-N3O/的值是否为定

值？若是定值，求出乙M光;-N8Q”的值；若不是，请说明理由.

（3）当NC8从图1所示位置绕点。顺时针旋转0（0不大于130。）时，满足ZAOD+NEOF=5/COD,求0

的大小.

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图，已知NAO8+N8OC+NAOC=360。，平分NAOC、OP?平分N5OC；

结论：=1S()：-^ZAOHo

角”等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），己知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自

己尝试着推导i遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

条件：如图，乙4。8=%。4、。片分别是/AOM和的平分线，。&、。生分别是乙4,。河和NMOg的

平分线，。4八。层分别是/&OM和乙依祖的平分线…，。4，。纥分别是24」。加和/知0町|的平分线；

证明：QNAO3=a,。4、。片分别是和的平分线，

=^BOM,/其。耳=g(NAOM+/8OM)=g/AOB=ga,

・・・。4、。鸟分别是乙41。M和/〃。禺的平分线，../40知=!/40加,/8200=,/用0知，

22

/.ZA2OB2=(Z^OM+ZB.OM)=1Z4,OB,=：x：NAOA=共，

•••04、。用分别是/&OM和NMO用的平分线，/.ZA.OM=1^A2OM,ZB,OM=ZB,OM,

/.ZA.O/3.=-(ZAOM+ZI3OM)=-ZAOB=-x-ZAOB=-x-x-ZAOB=,...,

2222222]2l2

由此规律得：ZA„OB=^o

模型运用

例l.定义：从—的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把分成1:2的两部分，射线OC叫

做/AO6的三等分线.若在NMON中，射线OP是NMON的三等分线，射线①是NMOP的三等分线，设

ZMOQ=xt则NMQV用含x的代数式表示为.

例2.若同一平面内三条射线04、OB.OC有公共端点，且满足/AOC=gNBOC时•，我们称OC是（。4OB）

的“新风尚线"，但OC不是（08,0A）的“新风尚线如果NAOC=g/8O。或者NBOC=：N4OC,我们

称。。是OA和OB的“新风尚线”.

⑴如图（1）,已知NGQN=120。，4MON=,OE、0/是NMON的三等分线，则射线—是（OM,ON）

的“新风尚线”；

⑵如图（2）,若4。4=30°,OC是（04,OB）的“新风尚线"，求NBOC.

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一、单选题

1.如图，。是直线A8上的一点，过点。作任意射线OM,且0C平分/AOM,O。平分若

2.如图，已知NAO3是直角，/49C是锐角，QV平分N40C,OW平分N3OC,则乙WON是（）

N

C

A.45°B.450+-ZAOCC.600--ZAOCD.不能计算

22

3.学科素养.分类讨论思想若OM是NAO8的平分线，QV是NBOC的平分线，若NAO3=5()o、NCO6=80。,

则NMON为多少度的角()

A.65°B.15°C.65。或15。D.75。或15。

4.把一副三角尺如图拼在一起，点AD,8在同一直线上，NACB=NQ8£：=90。，ZA=30°,ZE=45°,BM

平分NA8C,BN平分4CBE,则ZM8N=()

A.30°B.45°C.55°D.60°

5.定义：从NAO8的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把NAO8分成1:2的两部分，射线OC叫做

2/1OB的三等分线.若在NMON中，射线OP是NM0V的三等分线，射线。。是NMOP的三等分线，设

NMOQ=x,则/"ON用含x的代数式表示为()

999__999

A.一1或3x或一xB.-X或3x或9xC.一x或一”或9xD.3x或一x或9x

424422

二、填空题

6.如图，点A,0,8在同一•条直线上，OD,。片分别平分/AOC和/8OC.若/COD:/COE=3:2,

则NAOE=

7.定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线.如图，已知120。,

向心=3/，若为NAQ4的三等分线，则/MOC的度数为

8.将一副三角板％4与PCO如图1放置，A、P、C三点共线，Z4PB=45°,ZDPC=30°,现将三角板RW

绕点，沿顺时针方向旋转一定角度如图2,若正平分NAPZ）,PF平令NBPD,则NE尸产的度数是

9.已知上403是直角，平分NAOC,0£平分/4OC.以下结论正确的是：①如图1,射线。。在2404

的内部绕点。旋转，若NAOC=30。，则NEOC=45。；②图1中NOOE度数不随着射线OC的位置变化而

变化，始终是45。；③如图2,若射线OC是-AQ3外一射线，其他条件不变，NOOE的度数不随着射线OC

的位置变化而变化，始终是45。.以上选项正确的是（只填写序号）.

10.如图，点A,B,。在同一直线上，射线在NQOE的内部，ZBOE=90°,OG平分/次加，。/平

,分乙DOE,OC平分NAO尸.下列结论:

①NGOF=135°；②NBOC与NCOF互补；

③24BOC+ZAOF="COG+ZEOF；（4）NBOG+2ZAOC=4/COF.

其中正确的是（填序号）.

三、解答题

11.如图，已知NAO8=90。，是NAOC的平分线，QN是/8OC的平分线.

A

(1)当N8OC=40°时，求/用ON的度数；

⑵当N3OC的度数发生变化时，NMON的度数是否会发生改变？请说明理由.

12.己知ZAO8=30°,ZCO£>=45°,4BOC=a,。为锐角，射线。W,ON分别是—AO8和NCO7)的平分

图1S2

⑴如图1,2474在/COD外部，当［=10。时，求N/WON的度数；

(2)如图2,当NNQ4=90。时，求。的度数：

(3)当。为小于15。的锐角时，请直接写出NMON的度数(用含。的代数式表示，不写探究过程).

13.如图1,一副含30。和45。角的三角板ABC和。BE叠合在一起，边A〃与。4重合，8W,8N分别是一"E,

NEBC的平分线，现将三角板绕点8按逆时针方向旋转(如图2),且0。4乙48。<180。.

(1)当0。工448。工45。时，

①若/NBC=15。,求N08W的度数:

②试猜想与NN8C的数量关系，并说明理由;

(2偌NDBC=4NNBC,求NDBM的度数.

14.已知NAQ8=100。，射线OC在NAO8的内部，射线OE,Of分别是NAOC和NCO8的角平分线.

⑴如图1,若NAOC=30。，求NEO”的度数；

⑵请从下面A,8两题中任选一题作答，我选择一题.

A.如图2,若射线OC在的内