中考数学知识重点训练题4

目录

第21课时二次函数的应用..........................................2

1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。........................2

一、选择题............................................................3

二、填空题............................................................3

三、解答题............................................................4

全等三角形............................................................4

一、选择题............................................................4

二、填零题............................................................8

三、解答题............................................................9

答案解析部分.........................................................13

一、单选题...........................................................13

二、填空题...........................................................13

三、解答题...........................................................13

四、综合题...........................................................15

中考系列复习一猜想性专题..........................................17

一、中考要求.........................................................17

二、知识网络图.......................................................17

三、基础知识整理.....................................................17

四、考点分析.........................................................17

五、创新题一隅.......................................................22

第21课时二次函数的应用

【复习要点】

1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。

（1）求解析式的一般方法：

①已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。

②己知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式.

③已知图象与X轴的两个交点的横坐标为XI、X2,通常选择交点式（不

能做结果，要化成一般式或顶点式）。

（2）求交点坐标的一般方法：

①求与x轴的交点坐标，当丫=—代入解析式即可；求与y轴的交点坐标，当乂=—代

入解析式即可。

②两个函数图像的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。

2、二次函数常用来解决最优化问.题，即对于二次函数），=，*+法+当x=」

时，

函数有最值y=。最值问题也可以通过配方解;央，即将），=加+"+8。工0）配

方成y=a（x-〃）2+&（〃w0）,当工=时，函数有最值y=

3、二次函数的实际应用包括以下方面：

（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间

的二次函数关系。

（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。

4、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。

从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：

【例题解析】抽象求解

例1：如实际问题---------------数学模型--------------►数学问题为解

图1所示，一4（转化）（运用教学工具）

位运动员在距________________________________________________________

篮圈中心水平（检验）

距离4米处跳

起投篮，球运行的路线是抛物线，当•球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米,

然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的.距离为3.05米.求抛物线的表达式.

解析：因为抛物线的对称轴为y轴，故可设篮球运吁的路线所对应的函

数表达式为y=（aNO,4KO）.代入凡4两点坐标为（L5,3.05）,（0.3.5）.可

得：|1.5-“+”=3.05,.解得。=④？，所以，抛物线对应的函数表达式为

&=3.5

y=-0.2/+3.5.

反思：将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键。建

立坐标系的一般方法是尽可能将一些特殊点，如起点、最高点等放在坐标.轴上或作原点，

这有助于问题的解决和帮助计算。

例2：某星期天，小明和他的爸爸开着一辆满载西瓜的大k车首次到某

古城销售，来到城门下才发现古城门为抛物线形状（如图2所示）.小明的

爸爸把车停在城门外，仔细端详城门的高和宽以及自己卡车的大小，但还是

十分担心卡车是否能够顺利通过.经询问得知，城门底部的宽为6米，最高

点距离地面5米.如果卡车的高是4米，顶部宽是2.8米，那么卡车能否顺

利通过？

解析：欲知卡车能否顺利过城门，只须计算高4米处的城门的宽度是否大于2.8米？可

建立如图2所示直角坐标系，则力（—3,（））,4（3,0）,顶点「的坐标为（0,5）,可设二

次函数关系式为：），=依2+5,把点8的坐标代入，得（）=9。+5,«=故

,9

y=~x2+5.设卡车顶部刚好与庞这条线同高，则点〃，£的纵坐标都是4,当），=4时,

4=--X2+5X2=-,x=±—,从而。E二述<2.8,所以卡车不能通过城门.

9555

反思：此题是一道常见的拱桥、拱洞等有关抛物线的实际问题应用题，坐标系的选择建

立很关键，一般选择抛物线的底（顶）部水平线为x轴，对称轴为y轴，.或直接选取最高

（低）点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题。

【实弹射击】

一、选择题

1.将二次函数），=/的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的函数表

达式是（）

A.y=(x-l)2+2B.y=(x+l)2+2C.y=(s-\)2-2D.y=(x+l)2-2

2.抛物线y=f-2x+i与x轴交点的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

3.二次函数了="-1）2+2的最小值是（）

A.2B.1C.-1I）.-2

4.二次函数>=+Zu+c的图象如图所示，若点A（Ly）、8（2,%）是它

图象上的两点，则力与力的大小关系是（）

A.<y2B,.y}=y2C.y]>y2D.不能确定

二、填空题

5.某种火箭被竖直响上发射时，它的高度〃（m）与时间Z（s）的关系可以用公式

〃=-5r+15O/+1O表示.经过________s,火箭达到它的最高点.

6.将y=2x2-12JC-12变为y=a(x-m)2+〃的形式，则niin=

7.如图，已知。〃的半径为2,圆心〃在抛物线y=1上运动，当。。与工轴相切时・,

圆心〃的坐标为.

8.抛物线），=/一41+1与x轴的一个交点的坐标为（1,0）,则此抛物线与x鼎的另一个交

点的坐标是..

9.小颖同学想用“描点法”画二次函数），=以2+加+以4声0）的图象，取自变量x的5个

值.分别计算出对应的y值，加卜.表:

•••012•••

•••11225・・・

由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x二

三、解答题

10.己知二次函数），=/+A+c+l的图象过点p（2,1）.

（1）求证：。=一2/7-4；

（2）求/?c的最大值：

3

（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（再，0）、B（s，0）,卯的面积是一，求〃的

-4

值.

11.如图，某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园,,

矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆.设矩形的宽为x,面积为y.

（1）求y与工的函数关系式，并求自变量x的取值范围；

（2）生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.

12.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当

每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间

每大支出20兀的各种费用.根据规定，每个房间每大的房价不得高十340兀.设每个房间

的房价每天增加十元（x为10的正整数倍）.

（1）设一天订住的房间数为必直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为田元，求眸与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

13.如图，直角梯形力比中，OC〃AB,。（0,3）,8（4,1）,以比为直径的圆交x轴于£,

〃两点（〃点在〃点右方）.

（1）求点的坐标；

（2）求过&C〃三点的抛物线的函数关系式；

（3）过氏C,〃三点的帼物线上是否存在点。，使△曲。是以劭为直角边的直角三角形？

若不存在，说明理由；若存在，求出点。的坐标.

全等三角形

一、选择题

1.在aABC中，NB=NC,与4ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在AABC中与这100°

角对应相等的角是（)

A.Z

AB.

Z

BC.

Z

CD.

NB或NC

2.如图，小明做了一个角平分仪加3,其中4后初，止比.将仪器上的点/与NQW

的顶点??重合，调整48和4？,使它们分别落在角的两边上，过点力,C画一条射线

AE,然就是/夕?0的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△痴侬^

ADC,这样就有NO/IFN21f.则说明这两个三角为全等的依据是（）

B.ASA

0.AAS

D.SSS

3.下列说法中：①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等三甫形：

③全等三角形的面积相等；④若△ABCgADEF,ADEF^AMNP,则aABC丝△MNP.其中正确

的说法共有（）

A.0

个

B.1

个

C.2

个

D.3个

4.在aABC和AA'B'C'中：①AB=A'B';②BC=B'C';③AC=A'C'：④NA=NA';

⑤NB=NB';⑥NC=NC',则下列哪组条件不能保证ZiABCgZ\A'B'C'（）

A.具备①②④B.具备①②

⑤C.具备①⑤

⑥D.具备①②③

5.如图，已知N1=N2,要说明4ABD注AACD,还需从下列条件中选一个，错误的选法是（）

A.NADB=NADCB.ZB=Z

CC.DB;DCD.A3=AC

6.如图，在AABC中，ZEDF=40°,BE=BD,CF=CD,则NA为（）

C.110°

D.100°

7.下列说法中，正确的是（）

A.直角三角形中，已知两边长为3和4,则第三边长为5

B.三角形是直角三角形，三角形的三边为a,b,c则满足表道

C.以三个连续自然数为三■边长不可能构成直角三角形

D.△ABC中，若NA：ZB:ZC=1:5:6,则AABC是直角三角形

8.根据下列条件，能判定AABCgZkA'B'C'的是（）

A.AB=A'B',BC=B'C',ZA=Z

A'B.NA=NA',NB二N

B',AC=B'C'

C.NA=/AZZBZC=Z

cD.AB=A'B

BC=B，C',AC=A，5

9.如图，下面是利用尺视作NAOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线时，用到的

三角形全等的判定方法是（）

作法：以0为圆心，任恚长为半径作弧，交OA,0B于点D,E.

3

分别以D,E为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧在NA0B内交于点C.

作射线0C.则0C就是/AOB的平分线.

A.SSSB.SAS

C.ASAD.AAS

10.如图，若要用“HL”证明RtZ\ABCgRtZkABD,则还需补充条件（)

A.ZBAC=ZBADB.AC=AD或BC=BD0.AC二AD且

BC=BDD.以上都不正确

11.如图，在AABC和中，已知AB二DE,补充下列一组条件，仍无法判定△ABCgzXDEC

NB二NEB.BC=EC

AC-DCC.ZB-ZE,ZA-ZDD.BC-EC,N

A二ND

12.已知△ABCgZ\A'C'B'，/B与NC'，/C与NB’是对应角，有下列4个结论：①BC=C'

B';②AC=A，B';③AB=A，B’;④NACB二NA'BzC',其中正确的结论有（）

A.1个B.2

个C.3

个D.4个

二、填空题

13.1、下列能判断两个三个角形全等的条件是①已知两角及一边对应相等

②已知两边及一角对应相等

③已知三条边对应相等

④已知直角三角形一锐角及一边对应相等

⑤已知三个前对应相等.

14.如图，已知菱形ABCD,E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F,在不添加任何辅助

线的情况下，请补充一个条件，使△CDF^^BEF,这个条件是.

15.如图，方格纸中AABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫

格点三角形，

图中与AABC全等的格点三角形共有个（不含AABC）.

16.如图，AE=AD,请你添加一个条件：或,使△ABEgZkACD（图中不再增

加其他字母）.

C

E

17.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则/仁

18.如图，已知AD是△ABC；的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使4AED&ZXAFD,

需添加一个条件是：,并给予证明.

19.如图，NC=ND=90°,请你再添加一个条件，使△ABDgZkBAC,并在添加的条件后的括

号内写出判定全等的依据.

(1)():(2)()：

(3)():(4)().

20.如图，点A,F,C,D在同一直线上，AF=DC,BC〃EF,要判定AABC0ZWEF,还需要添

加一个条件，你添加的条件是

三、解答题

21.如图，AB=CD,AB/7DC,求证：AD〃BC,AD=BC.

AD

22.如图，点C、F、E、B在一条直线上，CD=BA,CE=BF,DF=AE,求证:ZB=ZC.

23.如图所示，AB±BC,DC1AC,垂足分别为B,C,过D点作BC的垂线交BC于F,交AC

于E,AB=EC,试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由.

24.如图，在aABC中，ZB=ZC,D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE,ZDEF=ZB.求

证：ED=EF.

A

D,

25.如图，z^XABD"ZiEBC,AB=3cm,BC=4.5cm.

(1)求DE的长；

(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由.

26.如图，在aABC中，NACB=90°,CE-LAB于点E,AD=AC,AF平分NCAB交CE于点F,DF

的延长线交AC于点G.求证：

(1)DFZ/BC;

(2)FG=FE.

27.把两个全等的等腰直角三角板(直南边长为4)直放在一起，且三角板EFG的直角顶点G

位于三角板ABC的斜边中点处.现将三角板EFG绕G点按顺时针方向旋转Q度(0°<a<

90°)(如图1),四边形GKCH为两三角板的重叠部分.

(1)猜想BH与CK有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)连接HK(如图2),在上述旋转过程中，设BH=x,△GKH的面积为y,

①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值篦围;

②当△GKH的面积恰好等于AABC面积的话，求x.

答案解析部分

一、单选题

二、填空题

13•【答案】①③④

14.【答案】DC二EB（答案不唯一）

15.【答案】7

16.【答案】AB二AC;ZB=ZC

17.【答案】66

18.【答案】AE二AF或NEDA=NFDA

19.【答案】AD=BC：HL：NDAB二NCBA；AAS：DB=CA;HL：NDBA二NCAB;AAS

20.【答案】EF=BC

三、解答题

氏___________„D

21.【答案】证明：如图连接BD./

VAB/7CD

，NABD=NBDC,

在aABD和aCDB中，

，趣=密

]阳二皿

A,

/.△ABD^ACDB(SAS),

，NADB二NCBD,AD=BD

AAD/7BC,AD=BD.

22.【答案】解：VCE=BF,・・.CF=BE,

在aBAE与ACDF中，

衿琦二叔县

:.ABAE^ACDF(SSS),

AZB=ZC.

23.【答案】解：AC二ED,理由如下：

VAB±BC,DC±AC,ED±BC,

AZB=ZEFC=ZDCE=90°.

/.ZA+ZACB=90°,ZCEF+ZACB=90°.

ZA=ZCEF.

在4ABC和4ECD中

'NA=NCEF

,AB=EC,

,ZB=ZDCE

AAABC^AECD(ASA).

.*.AC=ED(全等三角形的对应边相等).

24.【答案】证明：•・•NCED是4BDE的外角，AZCED=ZB+ZBDE,

ZDEF=ZB,

・•・ZBDE=ZCEF：

在ABDE与4CEF中，

2癣二痉

J.二熠

/.△BDE^ACEF(ASA),

ADE=EF

四、综合题

25.【答案】(1)解答：VAABD^AEBC,.*.AB=BE,BD=BC,ADE=BD-BE=4.5-3=1.5(cm)；

(2)VAABD^AEBC,AZABD=ZEBC,又NABD+NEBC=180°,AZEBC=90°,.,.ACXBD.

26.【答案】(1)证明：•••AF平分NCAB,

:.ZCAF=ZDAF.

在aACF和aADF中，

”弹=咫懑

1*2脾.二区皿世

..।W=差软

•*•，

.,.△ACF^AADF(SAS).

ZACF=ZADF.

VZACB=90°,CE±AB,

AZACE+ZCAE=90°,ZCAE+ZB=90°,

ZACF=ZB,

:.ZADF=ZB.

ADF/ZBC

(2)证明：VDF/7BC,BC±AC,

.-.FG±AC.

VFE±AB,

又AF平分NCAB,

，FG=FE.

27.【答案】(1)解•：BH=CK.

理由如下：•・•点0是等腰直角三角板ABC斜边中点,

AZB=ZGCK=45°,BG=CG,

由旋转的性质，知NBGH=NCGK,

在△BGH和aCGK中，

fd.或=2您算盘

金算尊露，

.,.△BGH^ACGK(ASA),

ABH=CK;

(2)解:©VABGH^ACGK,

____

Sn?边MCHGK=SACGK+SACGH=S&BGl+SA&kSaBCC=；・SAABC=4,

A

SziGKtFSWii彩CHGK-SAKCH=4-3.CHXCK,

Ay=工Tx2-2x+4(0<x<4),

5515

②当y=废X8=号时，即号x?-2x+4二号,

•»x=1或,x=3.

・•・当△GKH的面积恰好等于Z\ABC面积的费时，BH=1或BH=3.

中考系列复习——猜想性专题

一、中考要求

能够根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预

测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要

时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义，

二、知识网络图

如图1所示：

图1

三、基础知识整理

猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数

字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着''特

殊般一一特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事

物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体

应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等

等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利

于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

四、考点分析

1、猜想数式规律

通常给定一些数字、弋数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。i般解法是

先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比

较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1（云南）观察按下列顺序排列的等式：

9x0+l=l；

9x1+2=11；

9x2+3=21；

9x3+4=31；

9x4+5=41；

猜想：第〃个等式（〃为正整数）用〃表示，可以表示成.

分析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为

9X一个数+另一个数=结果

其中，“另一个数”就是等式的序号n；“一个数”比它小1,即为n-1；结果的个位为1,

个位以前的数字等于“一个数”n-1,所以结果表示为10(n-l)+l.因此，这个等式为

9(n-l)+n=10(n-l)+l.

这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证。

等式的左边=9n-9+n=10n-9；等式的右边=10n-10+1=10n-9.

所以，等式的左边=等式的右边。

说明所列等式成立。

2、猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形

为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，

再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2(河北课改实验区)观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

①1=野：②1+3=22：③1+2+5=32：④；⑤

图2

(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

(2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.

分析：(1)本题图形中所反映出来的数字关系已经列出三个，下面就以它们为例，填写

后两个。易得④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52.

(2)仿照例1的思路可以猜想:1+3+5+…+(2n-l)=M.

3、猜想数值结果

当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜

想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。

例3(辽宁大连)阅读材料，解答问题。

材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这％(—3,9)开始，按点的横坐标

依次增加1的规律，在抛物线)，=/上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5...(如图3所示)。

过Pl、P2、P3分别作Pl%、P2H2、P3H3垂直于X轴，垂足为Hl、H2、H3,则

S△仔鸟八=S梯形6〃用伤一S梯形耳〃必玛-S梯形用〃//例

=-(9+1)x2--(9+4)x1-1(4+1)x1

222

=1

即APlP2P3的面积为1。”

图3

问题：

（D求四边形P】P##4和P/PsP4P5的面积（要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另

•个直接写出答案）；

⑵猜想四边形Pn—lPnPn+lPn+2的面积，并说明理由（利用图4）

图4

⑶若将抛物线），=/改为抛物线），=/+法+。，其它条件不变，猜想四边形Pn-

lPnPn+lPn+2的面积（直接写出答案）

分析：（1）阅读材料为我们提供了解题思路，可供借鉴。

S四边形PP#,P，=S^PiHR-S梯形PMHtP,-S梯形P2H2HjP,-S3»«S

1111

=2X9X3-2（9+4）Xl-2（4+l）Xl-2X1X1

=27/2-1切-龌-1/2=%=4.

即四边形P1P2P3P4的面积为4.

同理，可得四边形p2P3P4P5的面积为4.

(2)猜想四边形Pn-lPnPn.lPn+2的面积为4.理由如下：

设点Pn-l、Pn、Pn.l、Pn+2的纵坐标分别为“-1)2、X?、仅+1产、仅+2产，则

S四边形Pn-lPnPn-lPn+2

二S梯形Pn-lHn.lHn«P^-S梯形Pn-lMlHR-S梯形PnHnHn.lPn+l-S梯形Pn+lHn+lHmPn+2

1、、1、、11

=2><[(X-1)2+(X+2)2]X3-2l(x-l)2+x2]Xl--[x2+(x+l)2]X1--X[(x+l)2+(x+2)2]X1

3111

=2(2x2+2x+5)-2(2x2-2x+l)-2(2x2+2x+l)-2(2x2+6x+5)

1

=2[(6x2+6x+15)-(2x2-2x+l)-(2x2+2x+l)-(2x2+6x+5)]

=92=4.

即四边形Pn-lPnPn>lPn+2的面积为4.

(3)由于抛物线)，=/改为抛物线+c后，如果其它条件不变，只是抛物

线的位置发生了变化，它的形状以及四边形Pn-lPnPn+lPn+2的形状都不变，所以猜想四边形

Pn-lPnPn+lPn.2的面枳也不变，仍为4.

4、猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在

猜想这种问题时,通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例4(江苏连云港)(1)如图5,在梯形ABCD中，AB〃CD,AB=b,CD=a,E为

AD边上的任意一点，EF〃AB,且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时，发现如下事

实：

图5

①当匹=1时，有EF=*；

AE2

②当匹=2时，有EF=竺”;

AE3

③当丝=3时，有EF="*.

AE4

当£时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；

AE

(2)现有一块直角梯形田地ABC。(如图6所示)，其中AB〃CD,ADLAB，AB=310

米，。。=170米，AO=70米.若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块

4B

图6

地均为直角梯形，且它们的面积相等.请你给出具体分割方案.

分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想一一证明一一应用”的思路

设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值。

（1）仿照例1、例2的解题思路，不难猜想出关系式：EF="S.

1+攵

证明：过点E作BC的平行线交AB于G,交CD的延长线于H.

DP

VAB//CD,:,MGEsM）HE，/.——=—，

AGAE

又EFH入：.CH=EF=GB,

VDH=EF-a,AG=b-EF,

EF-a=k,可得EF;七国.

b-EF1+k

r）p

（2）在AQ上取一点E,作EF〃AB交BC于点F,设一二k,

AE

170+310%70k

则EF=

DE1+7

若S梯形0bE=S悌形45FE»则S悌形ABC。=2s梯形。门石»

•.•梯形ABCD、DCFE为直角梯形,

.170+31017O+3IOx、70k

X70=2x1(170+）x----，

2i+x\+k

4

化简得12攵2—7攵-12=（）解得：《二：，葭=一3（舍去）,

一4

.・・。/>=22£=40,

1+Z

所以只需在AD上取点E,使。石=40米，作EF〃AB（或EF_LZM）,

即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等.

5、猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这

种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律

是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可

以作为猜想的一个参考依据。

例5（山东青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要

善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.

（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如

图7）,其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.

已知：在四边形ABCD中，。是对角线BD上任意一点（如图7）；

求证：SAOBC,SAOAD=S^,OAB,SAOCD.

C

EB

图7

（2）在三角形中（如图8）,你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证

明：若不能，说明理由.

分析：（1）分别过点A、C,做AE_LDB,交DB的延长线于E,CF_LBD于F,

则有：SAAOB=-B0,AE

2

1

SA,COD=-DO,CF

2

1

SIAOD=—DO•AE

2

1―

SABCX:=—BO,CF

2

,1

••S.,AOB,SACOD=—BO,DO•AE,CF

4

1

SAAOD,SABOC=—BO•DO,CF,AE

4

SAAOB,SACOD=S..AOD,SABOC.

（2）根据“乘除乘方不改变”能猜想到：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连

线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两

对三角形的面积之积相等.或SAAOD,SABOC=S