高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.6函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）练习（含解析）

5.6函数y=Asin（ωx＋φ）练习一、单选题1．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度2．已知函数的最小正周期为，若将的图象上所有的点向右平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．3．若函数的图像按平移后得到函数的图象，在在的最大值是

（

）A． B． C． D．4．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数，则函数的图象与函数图象所有交点的横坐标之和等于（

）A．12 B．4 C．6 D．85．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位6．已知，则下列结论中不正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为C．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象D．函数的图象关于点对称7．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．为了得到函数的图像，可将的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度二、多选题9．已知函数，则（

）A．为的一个周期B．在区间上单调递增C．直线是的图象的一条对称轴D．将的图象向右平移个单位长度，所得到的函数图象关于原点对称10．已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.则（

）A．B．的图象关于对称C．的最小正周期为3πD．在（，）上单调递减11．已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍可以得到的图象B．的图象关于直线对称C．的最大值为D．在区间上单调递减12．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列结论中正确的是（

）A．B．函数的图像关于点对称C．函数的一个零点为D．函数的图像关于直线对称三、填空题13．设函数，其中，且，将的图象上各点横坐标伸长为原米的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到图象，则在区间上的最小值为.14．函数的图像如图，则的解析式为．15．已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则．16．在平面直角坐标系中，将曲线上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为．四、解答题17．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.(1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.18．已知函数(1)将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；(2)将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值范围，并求的值.19．已知函数的图象关于直线对称.(1)求证：函数为奇函数.(2)将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间.20．已知函数的周期为，图象的一个对称中心为.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数与的解析式；（2）（理）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列．（3）（文）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆的内部或圆周上，求的取值范围．参考答案：1．B【分析】由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】将函数y=2sinx，x∈R的图象上的所有点，向右平行移动个单位长度，可得函数y＝2sin(x−)，x∈R的图象，故选B．【点睛】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．2．C【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用该函数的最小正周期可求得的值，利用平移变换求出函数的解析式，由函数为奇函数可求得的值，进而可求得的值.【详解】，由于函数的最小正周期为，则，，则，将函数的图象上所有的点向右平移个单位，所得图象对应的函数为，由于函数为奇函数，则，可得，，所以，当时，.因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦型函数的周期性、奇偶性求参数，同时也考查了利用函数图象平移变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.3．C【分析】根据题意求出，再利用整体法求出在的值域，即可得出答案.【详解】函数的图像按平移后得到函数的图象，所以，因为，，所以，所以.故在的最大值是.故选：C.4．A【分析】由题意和图象平移法则得到函数解析式，求出函数的周期、对称中心，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，由图象判断出交点的个数，根据对称性求出答案．【详解】函数的图象向左平移1个单位得再向下平移1个单位得，即∴函数的图象关于点对称，且函数的周期是2，且点也是其对称点，由，，，在同一个坐标系中，画出两个函数的图象，如图：由图象可知，两个函数在[-4，6]上共有12个交点，两函数图像都关于点对称，则其交点也相应关于点对称，设其中对称的两个点的横坐标分别为，则，所以12个交点的横坐标之和为6×2=12．故选：A．【点睛】本题考查函数交点个数以及数值的计算，函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于难题.5．C【分析】将函数变形为根据三角函数的平移变换求解即可.【详解】因为所以的图象向右平移个单位，即可得到故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，属于基础题.6．D【分析】根据，利用正弦函数的图象和性质验证.【详解】因为，，故A正确.因为，所以函数的最大值为，故B正确.因为函数的图象向右平移个单位后得到，故C正确.因为，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及诱导公式，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.7．B【分析】令，则，结合条件可得有4个整数符合，可求出取值，再利用三角函数的性质逐项分析即得.【详解】由函数，令，则因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，，故③正确；对于①，，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点，当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故①错误；对于②，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；对于④，，，又，，又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故其中正确的个数为2个.故选：B.8．D【分析】首先利用辅助角公式化简，然后判断平移方向和平移单位量即可.【详解】，所以为了得到原函数，则可将的图像向右平移个单位，故选：D.9．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质判断ABC；利用图象平移结合正弦函数性质判断D作答.【详解】依题意，，函数的最小正周期为，而，因此为的一个周期，A正确；当时，，而余弦函数在上递减，因此在上递减，B错误；因为，因此直线为的图象的一条对称轴，C正确；将的图象向右平移个单位长度，得的图象，显然函数是奇函数，其图象关于原点对称，D正确.故选：ACD10．BCD【分析】直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用余弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论.【详解】函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，再将所得图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，故A错误；当时，，故B正确；函数的最小正周期为，故C正确；当时，，故函数在该区间上单调递减，故D正确.故选：BCD.11．AD【分析】利用三角恒等变换化简函数，再利用图象变换判断A；利用正弦函数性质分析判断BCD作答.【详解】依题意，，对于A，的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍得函数的图象，A错误；对于B，当时，，函数取得最大值，则的图象关于直线对称，B正确；对于C，，取最大值1，则的最大值为，C正确；对于D，当时，，而正弦函数在上不单调，因此函数在上不单调，D错误.故选：AD12．BCD【分析】由已知，先将函数经过向右平移和伸缩变换即可得到，从而可以判断选项A；选项B，可令代入中验证；选项C，可令代入中验证；选项D，可通过计算即可判断.【详解】函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，故A错误；当时，，故B正确；当时，，故C正确；，故D正确.故选：BCD.13．/【分析】根据三角函数的图象变换求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质求解.【详解】因为，所以，所以，解得，因为，所以，所以，将的图象上各点横坐标伸长为原米的2倍（纵坐标不变），可得的图象，再将得到的图象向左平移个单位，得到图象，则，因为，所以，所以当，即时，有最小值为，故答案为:.14．【分析】观察图像得到振幅、周期等信息，再逐一计算参数.【详解】由图像观察可知，,∴,将点代入解析式，即有，，故答案为：15．【分析】首先根据周期求，再根据函数的性质求，即可求函数的解析式.【详解】函数的最小正周期为，，．其图象向左平移个单位后，可得的图象；根据所得图象关于轴对称，可得，，即，，又，则．所以故答案为：16．【分析】根据函数图象平移变换求解．【详解】曲线上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为．故答案为：．17．(1)，递增区间是；递减区间是(2)最大值是，最小值是.【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出,利用正弦函数的单调性即可求解；（2）根据正弦函数的性质由整体代换法求解.【详解】（1）由图，知，，，因为，，则，，由，可得，故的递增区间是；由，可得，故的递减区间是（2）当时，，当，即时，取得最大值为；当，即时，取得最大值为；在区间上的最大值是，最小值是.18．(1)，最小正周期为(2)实数的取值范围是，【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可.（2）先使用伸缩和平移变换得到，再将方程等价变换为，由的图象和性质求出的取值范围，即可求出实数的取值范围，同时，利用的对称性，可求出的值.【详解】（1），∴函数的最小正周期.（2）由（1），将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，∴，由，，得，，∴在区间（）上单调递增，同理可求得在区间（）上单调递减，且的图象关于直线，对称，方程等价于，∴当时，方程有两个不同的解，，由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，∴当时，方程有两个不同的解，，∴，实数的取值范围是.又∵的图象关于直线对称，∴，即，∴.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用函数图象关于对称，求，进而得到函数解析式，从而证明；（2）由函数图象的变换规律，得到的解析式，即可求出单调增区间.【详解】（1）因为的图象关于直线对称，所以，得，，因为，所以当时，，所以，所以，因为，所以为奇函数成立.（2）由（1）可得：，将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，则由可得，，故函数的单调递增区间是20．（1），（2）证明见解析（3）【分析】（1）先根据周期得再根据对称中心得，最后根据图象变换规律得结果；（2）先确定大小关系，再根据等差中项性质得方程，最后利用零点存在定理证明方程有解；（3）先求函数最值点坐标，再确定与原点距离最近的最大值和最小值点坐标，代入解不等式得结果.【详解】解：(1)、由