12.3.1 等腰三角形的性质 课件2026-2027学年数学华东师大版八年级上册

12.3.1等腰三角形的性质12.3等腰三角形阅读课本P89-P90的内容，完成下列自学检测题.（时间：5分钟）1.等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是

；2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

.10cm10cm或11cm19cm自主探究分类讨论4.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为

;5.等腰三角形一个角为70°,它的另外两角为

;6.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为

.分类讨论自主探究自主探究剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？CABDCABD折痕的两部分互相重合.等腰三角形是轴对称图形；对称轴是折痕AD所在的直线.ACBDAB＝AC；BD＝CD；AD＝AD.∠B＝∠C；∠BAD＝∠CAD；∠ADB＝∠ADC.（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；（2）线段AD的特殊性（等腰三角形的三线合一）.探究发现1.重合的线段：2.重合的角:3.等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.分析：1.如何证明两个角相等？2.如何构造两个全等的三角形？你有几种方法?ABC请在你的练习本上书写出你的证明过程.推理论证D性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.（简写为“等腰三角形的三线合一”）.BD=CDAD⊥BCAD平分∠BAC(1)∵

∴

(2)∵

∴

(3)∵

∴

AB=AC、AB=AC、AB=AC、符号语言表示：“知一线得两线”AD⊥BCAD平分∠BACBD=CD推理论证BD=CDAD平分∠BACBD=CDAD⊥BCAD⊥BCAD平分∠BACDBAC题型一“等边对等角”性质的应用

（1）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角度数是（C）A.80°B.40°C.80°或40°D.无法确定C例1

（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，且△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为

.40°或70°或100°例1

题型一“等边对等角”性质的应用（3）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图2，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（D）DA.60°B.65°C.75°D.80°跟踪训练1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝42°，则∠CDE的度数为（C）A.12°B.15°C.21°D.25°（第1题）C2.（1）若等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为

；

（2）若等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是

⁠；

（3）若等腰三角形的两个内角之和为110°，则顶角的度数是

⁠.40°或100°40°或70°40°跟踪训练3.如图，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，AB＝BC，BD＝DE，∠ABC＝∠BDE＝90°，过点A作AG⊥BD于点G，BC平分∠DBE，且点C恰好在DE上，AC与BD相交于点F，若S△BFC＝36，求BF的长.（第3题）解：△BDE是等腰直角三角形，∠BDE=90°，所以∠DBE=45°BC平分∠DBE，所以∠DBC=22.5°△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC，∠BAC=45°∠ABG=90°−22.5°=67.5°AG⊥BD，∠AGB=90°，∠BAG=22.5°∠GAF=∠BAC−∠BAG=22.5°∠BAG=∠FAG在△ABG和△AFG中∠BAG=∠FAGAG=AG∠AGB=∠AGF=90°△ABG≌△AFGASABG=FG在△ABG和△BCD中∠GAB=∠DBC=22.5°∠AGB=∠D=90°AB=BC△ABG≌△BCDAASBG=CDBF=BG+FG=2BGS△BFC=1/2×BF×CD=36代入BF=2BG，CD=BG1/2×2BG×BG=36BG²=36BG=6BF=2×6=12答：BF的长为12题型二“等腰三角形的三线合一”性质的应用

如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在的直线上，且AM＝AN.（1）请问BM＝CN吗？并说明理由；（2）若∠MAB＝15°，∠BAN＝45°，求∠BAC的度数.例2

解：1BM=CN过点A作AH⊥MN于H因为AB=AC所以BH=CH因为AM=AN所以MH=NHMH−BH=NH−CH所以BM=CN题型二“等腰三角形的三线合一”性质的应用

如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在的直线上，且AM＝AN.（1）请问BM＝CN吗？并说明理由；（2）若∠MAB＝15°，∠BAN＝45°，求∠BAC的度数.例2

解：2设∠BAC=xAB=AC，AM=AN，AH⊥MN∠MAH=∠NAH∠MAB=15°，∠BAN=45°∠MAH=15°+∠BAH∠NAH=45°−∠BAH15°+∠BAH=45°−∠BAH2∠BAH=30°∠BAH=15°∠CAH=∠BAH=15°∠BAC=30°答：∠BAC的度数是30°跟踪训练4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（C）A.100°B.105°C.110°D.120°（第4题）C跟踪训练5.如图，在△ABC中，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB.

求证：DC⊥AC.（第5题）证明过点D作DE⊥AB于E因为DA=DB所以AE=BEAB=2AE又AB=2AC所以AE=AC在△ADE和△ADC中AE=AC∠1=∠2AD=AD△ADE≌△ADCSAS所以∠AED=∠ACDDE⊥AB∠AED=90°所以∠ACD=90°DC⊥AC解锁尺规作图思考：如图12.3.6所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？证明由作图可知PA=PBQA=QB在△PAQ和△PBQ中PA=PBQA=QBPQ=PQ△PAQ≌△PBQSSS所以∠APQ=∠BPQ在△PAO和△PBO中PA=PB∠APO=∠BPOPO=PO△PAO≌△PBOSASAO=BO∠POA=∠POB∠POA+∠POB=180°所以∠POA=∠POB=90°PQ⊥ABAO=BO所以直线PQ是线段AB的垂直平分线等边三角形具有哪些性质呢？等腰三角形ABC等边三角形ABC特殊的等腰的三角形探究新知三条边都相等的三角形叫做等边三角形.性质：等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于60°.∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°符号语言：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.题型三等边三角形性质的应用

（1）如图1，AD是等边△ABC的一条中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（B）A.10° B.15°C.20° D.25°图1B例3

题型三等边三角形性质的应用例3

（2）如图2，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且B