第4章 相似三角形 单元巩固提升卷2026-2027学年浙教版八上数学

相似三角形单元巩固提升卷（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知2x=3y(x≠0)，下列式子错误的是（）A．xy=32 B．x3=2．不为0的四个实数a、b，c、d满足ab=cd，改写成比例式错误的是（）A．ac=db B．ca=bd C．da=b3．如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（）A．AO：AA'＝1：2B．点A，O，A'三点在同一条直线上C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4D．BC∥B'C'4．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．15．与图中的三角形相似的是（）A． B．C． D．6．如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF//AC，交AB于点F，过点F作FG//BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．BFAF=EFAD B．EFAD=7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．ADDF=BCCE C．CDEF＝BCBE D．CD8．如图，△A'B'C'是△ABC以点О为位似中心经过位似变换得到的，若OA'：AA=1：2，则A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．4：99．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1A．若2AD>AB，则3S1>2S2C．若2AD<AB，则3S1>2S210．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ΔBPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD=135°；②ΔBDP∽ΔHDB；③DQ：BQ=1：2；④其中符合题意的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6，那么AG的长为．12．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为Pa．13．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A(4,3)，点B在x轴的正半轴上，且OA=AB，将△OAB沿x轴向右平移得到△ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF=3：1，则点D的坐标为15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，如果AE=3，AB=8，CD=10，则CF的长是．16．如图，在正方形ABCD中，延长DC至点E，以CE边向下画正方形CEFG，连接AF交BG于点H，CH=3BH，连接AC，CF，若△ACF的面积为30，则AF的长为三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，AF（1）求ADAB（2）当DE=6时，求BC的长度.18．一道习题及其不完整的解答过程如下：已知x3=y解：设x3则x=3k，y=4k，z=①，……第一步∴x+y−zx−y+z=3k+4k−5k（1）第一步的①处应填________，第二步的②处应填________；（2）模仿上述解答过程，已知x2=y19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a+1（1）求2a（2）若△ABC的周长为91，求各边的长。20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A−2,1（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画一个△A'B（2）请直接写出点B',C'的坐标：B'（22．如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：∠DCP＝∠DAP；（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．23．如图，一张矩形张贴广告的印刷面积是32平方分米，上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长(A'B')为x分米，四周空白处的面积为S平方分米．（1）求S关于x的函数表达式．（2）当要求四周空白处的面积为18平方分米时，用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在第(2)题的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？第4章相似三角形单元巩固提升卷（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知2x=3y(x≠0)，下列式子错误的是（）A．xy=32 B．x3=【答案】C【解析】【解答】解：A.2x=3y，则xyB.2x=3y，则x3C.2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意；D.2x=3y，则xy=3故答案为：C．【分析】利用比例的性质对每个选项一一判断即可。2．不为0的四个实数a、b，c、d满足ab=cd，改写成比例式错误的是（）A．ac=db B．ca=bd C．da=b【答案】D【解析】【解答】解：A、ac=dB、ca=bC、da=bD、ab=c故选：D．【分析】根据比的性质，可得答案．3．如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（）A．AO：AA'＝1：2B．点A，O，A'三点在同一条直线上C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4D．BC∥B'C'【答案】A【解析】【解答】解：A：把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，所以AO：A'O＝1：2，所以AO：AA'＝1：3，所以A说法错误；

B：点A，O，A'三点在同一条直线上，所以B说法正确；

C：因为△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，所以S△ABC：S△A′B′C′＝1：4，所以C说法正确；

D：由位似图形的性质可得BC∥B'C'所以D说法真确。

故答案为：A。

【分析】根据位似三角形的性质进行推导，即可得出答案。4．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF均为等边三角形，

∴△ABC∽△DEF，

∴S△ABC故答案为：B.

【分析】根据相似三角形的性质将目标三角形面积比转换为对应边之比的平方即可.5．与图中的三角形相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2，2210，．A、三角形三边2，10，32，与给出的三角形的各边不成比例，故选项A错误；B、三角形三边2，4，25，与给出的三角形的各边成正比例，故选项B正确；C、三角形三边2，3，13，与给出的三角形的各边不成比例，故选项C错误；D、三角形三边5，4，13，与给出的三角形的各边不成比例，故选项D错误．故选B．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．6．如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF//AC，交AB于点F，过点F作FG//BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．BFAF=EFAD B．EFAD=【答案】D【解析】【解答】A．∵EF//AC，∴根据平行线分线段成比例的性质得EFAD=BFAB，∵B．∵EF//AC，∴根据平行线分线段成比例的性质得EFAD=BFAB，同理FG//BC，∴根据平行线分线段成比例的性质得FGBC=C．∵EF//AC，∴根据平行线分线段成比例的性质得DEBD=AFAB，同理FG//BC，∴根据平行线分线段成比例的性质得CGAC=D．∵EF//AC，∴根据平行线分线段成比例的性质得DEBE=AFBF，同理FG//BC，∴根据平行线分线段成比例的性质得AGCG=故答案为：D.【分析】利用平行线分线段成比例的性质对每个选项一一判断即可。7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．ADDF=BCCE C．CDEF＝BCBE D．CD【答案】A【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ADDF=BC∴A符合题意，故答案为：A.

【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：ADDF8．如图，△A'B'C'是△ABC以点О为位似中心经过位似变换得到的，若OA'：AA=1：2，则A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．4：9【答案】B【解析】【解答】解：∵OA'：∴OA∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，∴A'B'∥AB∴A'∴△A'B'C'的周长与△ABC的周长比为1：3，故答案为：B.【分析】根据题意求出OA'∶OA=1∶3，根据位似图形的性质得出△A'B'C'∽△ABC，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的性质求周长比即可.9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1A．若2AD>AB，则3S1>2S2C．若2AD<AB，则3S1>2S2【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：过D作DF⊥BC，垂足为F，

设DE与BC之间的距离DF=x，则

S∆BDE=12·x·DE，S2=12·x·BC

∵DE＜BC

∴12·x·DE＜12·x·BC

即S∆BDE＜S2，

∴S2+S△BDE＜2S2

在△ABC中，DE//BC

∴△ADE∽△ABC

∴S∆ADES∆ABC=ADAB2

∴S1S1+S2+S△BDE=ADAB2

(1)若2AD＞AB时，ADAB＞12，

S1S1+S2+S△BDE=ADAB2＞122

即S1S1+S2+S△BDC＞14

∴4S1＞S1+S2+S△BDE

∴3S1＞S2+S△BDE

又∵3S1＞S2+S△BDE，S2+S△BDE＜2S2

∴3S1与2S2无法比较大小.

∴选项A、B无法确定.

(2)若2AD＜AB时，ADAB＜12，

S1S1+S2+S△BDE=ADAB2＜122

即：S1S1+S2+S△BDC＜14

∴4S1＜S1+S2+S10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ΔBPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD=135°；②ΔBDP∽ΔHDB；③DQ：BQ=1：2；④其中符合题意的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】【解答】解：∵ΔPBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB=∠CPB=60°，∠PCD=30∴∠CPD=∠CDP=75则∠BPD=∠BPC+∠CPD=135°，故∵∠CBD=∠CDB=45∴∠DBP=∠DPB=135又∵∠PDB=∠BDH，∴ΔBDP∽ΔHDB，故②符合题意；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE=DE=x，则QD=2x，∴CE=3由CE+DE=CD知x+3解得x=3∴QD=2∵BD=2∴BQ=BD−DQ=2则DQ：BQ=6−2∵∠CDP=75°，∴∠PDQ=30又∵∠CPD=75，∴∠DPQ=∠DQP=75∴DP=DQ=6∴SΔBDP=1故答案为：D．

【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质，可得∠BPC=60°，∠PCD=30°，PC=DC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，可求出∠CPD=∠CDP的度数，从而求出∠BPD的度数，据此判断①；

根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△BDP∽△HDB，据此判断②；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE=DE=x，则QD=2x，CQ=2QE=2x，由CE+DE=CD，求出x的值，分别求出DQ、BQ的长，然后求出比值，据此判断③；根据等角对等边可求出DP=DQ=6−22二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6，那么AG的长为．【答案】2【解析】【解答】解：连接CG并延长交AB于点D，∴CD是等腰直角三角形ABC斜边的中线∴CD=∵点G是等腰直角三角形ABC的重心，∴DG=13在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=

【分析】连接CG并延长交AB于点D，根据三角形重心的性质可得DG=13CD=12．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为Pa．【答案】3a【解析】【解答】解：∵一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1，

∴设A，B，C三个面的面积为5k，3k，k，

∵B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，

∴a=F3k，

∴F=3ak，

∴C面向下放在地上，地面所受压强为P=Fk=3akk=3a，

故答案为：3a.

【分析】设A，B，C三个面的面积为5k，3k，k，由压强公式P=F13．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是．【答案】18【解析】【解答】解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心，由重心的性质可得：EFCF∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，∴S△BFC=6，则S△BEC=S△BEF+S△BFC=3+6=9，又E为AB中点，∴S△ABC=2S△BEC=2×9=18.故答案为：18.【分析】由题意可得点F为△ABC的重心，根据重心的性质可得EFCFS△BFC=6，则S△BEC=S△BEF+S△BFC=9，易得S△ABC=2S△BEC，据此计算.14．如图，在平面直角坐标系中，点A(4,3)，点B在x轴的正半轴上，且OA=AB，将△OAB沿x轴向右平移得到△ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF=3：1，则点D的坐标为【答案】(14【解析】【解答】解：如图，作AG⊥x轴于点G，

∵A(4,3)，

∴G(4∵OA=AB，

∴BG=OG=4，

∴B(8,0)，

由平移得AB∥CD，∴DBEB=CFEF=31，

∴BD=34ED=【分析】作AG⊥x轴于点G，根据点的位置可得BG=OG=4，则B(8，0)，根据平移性质可得AB∥CD，ED=OB=8，再根据边之间的关系即可求出答案.15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，如果AE=3，AB=8，CD=10，则CF的长是．【答案】25【解析】【解答】解：∵AD∥BC∥EF，∴AEAB∵AE=3，AB=8，CD=10，∴38解得：DF=15∴CF=CD−DF=10−15故答案为：254

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AEAB=DF16．如图，在正方形ABCD中，延长DC至点E，以CE边向下画正方形CEFG，连接AF交BG于点H，CH=3BH，连接AC，CF，若△ACF的面积为30，则AF的长为【答案】234【解析】【解答】解：设正方形ABCD、正方形CEFG的边长分别为a、b，∵CH=3BH，∴BH=1∴GH=CH−CG=3∵∠ACB=45°，∴AC=2a，∵AB∥DE∥GF，∴△ABH∽△FGH，∴ABFG∴ab∴b=3∵△ACF的面积为30，∴12∴ab=30，解得a=52∴AC=10，∴AF=A故答案为：234【分析】设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b，根据题意可得BH=14a，CH=34a，再根据边之间的关系可得GH=34a−b三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，AF（1）求ADAB（2）当DE=6时，求BC的长度.【答案】（1）∵DE∥BC，AFAG＝25，

∴ADAB＝（2）∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC＝ADAB＝∵DE＝6，

∴BC＝15【解析】【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，由DE||BC可直接得到ADAB=AFAG，结合已知线段比值求出ADAB18．一道习题及其不完整的解答过程如下：已知x3=y解：设x3则x=3k，y=4k，z=①，……第一步∴x+y−zx−y+z=3k+4k−5k（1）第一步的①处应填________，第二步的②处应填________；（2）模仿上述解答过程，已知x2=y【答案】（1）5k；1（2）解：设x2∴x=2k,y=3k,z=4k，∴x+y+z​​​​​​​【解析】【解答】（1）解：第一步的①处应填5k，第二步的②处应填12故答案为：5k，12【分析】（1）直接利用比例的基本性质就可以求出结果，得到对应答案；

（2）可以先设x2=y（1）解：第一步的①处应填5k，第二步的②处应填12故答案为：5k，12（2）解：设x2∴x=2k,y=3k,z=4k，∴x+y+z19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a+1（1）求2a（2）若△ABC的周长为91，求各边的长。【答案】（1）解：设a+15=b−2（2）解：5k-1+4k+2+6k=91，15k=90，k=6，∴a=29，b=26，c=36.【解析】【分析】（1）设a+15=20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB．又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴ACAB=AD∵AD=1，DB=4，∴AB=AD+DB=5．∴AC2=1×5=5，∴AC=【解析】【分析】（1）根据垂直得到∠ADC=∠ACB，然后根据两角对应相等即可得到两三角形相似解答即可；

（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可.21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A−2,1（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画一个△A'B（2）请直接写出点B',C'的坐标：B'（【答案】（1）解：如图，△A（2）−2,8；−6,4【解析】【解答】解：（2）根据图得，B'−2,8,C'−6,4．（1）解：如图，△A（2）解：根据图得，B'22．如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：∠DCP＝∠DAP；（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，BD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，在△DAP与△DCP中，AD=CD∠BDC=∠CBD∴△DAP＝△DCP（SAS），∴∠DCP＝∠DA