北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解·提升卷 试卷 含答案

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第四章因式分解·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．多项式中，各项的公因式是（

）．A． B． C． D．2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是(

)A． B．C． D．3．下列不能用公式法因式分解的多项式是（

）A． B． C． D．4．已知，则等于（

）A．2 B． C． D．5．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（

）A． B． C． D．6．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（

）A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零7．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形8．小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱中华 B．中华河山 C．我爱河山 D．河山中华9．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（）A．甲： B．乙： C．丙： D．丁：10．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（

）A．17是和谐数B．（，是整数）不一定是和谐数C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数”D．当时，（，是整数）是“和谐数”二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．多项式的公因式是___________．12．因式分解：______．13．已知，则代数式的值为_____．14．若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________．15．对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______．16．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为____________．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）分解因式：(1)；(2)．18．（6分）简便运算：(1)(2)19．（6分）已知：，分别求下列代数式的值：(1)；(2)．20．（6分）已知，，是的三边，且．(1)试判断的形状．(2)若，求第三边的取值范围．21．（8分）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题．已知二次三项式有一个因式是，求的值．解法一：设，，，解得，的值为．解法二：设（为整式），当，即时，，把代入，得，根据上面材料，选择一种方法解答下列各题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求的值；(2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值．22．（8分）【知识生成】（1）图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式，观察图，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到________．【知识应用】（2）基于上面的解答，根据图，写出一个代数恒等式：_______________．（3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值．【知识迁移】（4）类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图表示的是一个棱长为的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________．23．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．(1)上述式子中________，________；(2)对于一元多项式，必定有f（________）；(3)请你用“试根法”分解因式：．24．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．又如：因式分解．我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．请根据上面的提示和范例解决下面问题：(1)因式分解：______；(2)已知，求的值；(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．25．（12分）阅读材料，回答问题．材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，．这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，．材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，．已知，求下列问题：(1)求中的a和b的值；(2)若，利用因式定理，求此时x的值；(3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第四章因式分解·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．多项式中，各项的公因式是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合．【详解】解：∵各项系数的最大公约数是，∵多项式各项都含有的相同字母为，∵的最低次幂是，的最低次幂是，∴各项的公因式是．故答案为：．2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可.【详解】解：∵选项A中，左边是多项式，等式右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，∴本选项符合题意.∵选项B中，等式右边不是几个整式的积的形式，∴不是因式分解，本选项不符合题意.∵选项C，选项D的变形是将整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，∴这两个选项不符合题意.3．下列不能用公式法因式分解的多项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式．【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式，∴对各选项分析如下：A选项：，可用平方差公式因式分解，B选项：，可用完全平方公式因式分解，C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解，D选项：，可用完全平方公式因式分解，故答案为：C．4．已知，则等于（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了因式分解的应用利用平方差公式将所求式子因式分解，再代入已知条件直接计算得出结果.【详解】解：∵，∴故选：C5．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值．【详解】解：∵将展开得,又∵,∴,由得,将，代入得，符合条件,∴,故选：D．6．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（

）A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，又∵，，是三角形三边，∴，，∴，，∴，∴，即原代数式的值小于零，故选：．7．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】A【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确地进行因式分解．根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状．【详解】解：∵，，，∴，整理得：，即，∴，，，∴此三角形为等腰三角形．故选：A．8．小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱中华 B．中华河山 C．我爱河山 D．河山中华【答案】A【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式，然后分别分解和为最简因式，得到四个因子，对应密码手册中的词，匹配选项A的顺序．【详解】解：∵，对应密码：表示我，表示华，表示中，表示爱因乘法交换律，顺序可调整为“我、爱、中、华”，即“我爱中华”．故选：A．9．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（）A．甲： B．乙： C．丙： D．丁：【答案】C【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握利用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．甲：利用平方差公式进行因式分解即可；乙：利用完全平方公式进行因式分解即可；丙：有理数范围内不能进行因式分解；丁：利用提取公因式法进行因式分解即可．【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意；B、乙：，故此选项不符合题意；C、丙：，在有理数范围内不能因式分解，符合题意；D、丁：，故此选项不符合题意；故选：C．10．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（

）A．17是和谐数B．（，是整数）不一定是和谐数C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数”D．当时，（，是整数）是“和谐数”【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可．【详解】解：A.，17是和谐数，故该说法正确，不符合题意；B.，（是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意；C.，都是“和谐数”，设，原式，也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意；D.，，当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．多项式的公因式是___________．【答案】【分析】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；由此即可得．【详解】解：多项式的公因式是．故答案为：．12．因式分解：______．【答案】【分析】本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．13．已知，则代数式的值为_____．【答案】13【分析】本题考查了平方差公式的应用、代数式的化简与代入求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式，再代入求值是解题的关键．由已知条件，将代数式通过因式分解和代入求值．【详解】解：∵，原式，．故答案为：．14．若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________．【答案】15【分析】本题考查因式分解的应用．设这两个连续奇数为和，则，因此可判断两个连续奇数的平方差能被8整除，据此求解即可．【详解】解：设这两个连续奇数为和，则．因此两个连续奇数的平方差能被8整除．正整数为8的正约数：1，2，4，8．这些约数的和为．故答案为：15．15．对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______．【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意，，，且，故．由，得方程，整理得．因和为正整数且，枚举12的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故．【详解】解：由已知，，，且．展开得，即，因式分解得．由于和是正整数，且，故，．又，且，因此可能因子对为，，．当，时，解得，．当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去．当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去．故唯一解为，，此时．故答案为：．16．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为____________．【答案】7或8或11【分析】本题考查的是因式分解和三角形三边之间的关系，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点．由给定方程解出，再根据非负数的性质求出、的值，最后根据等腰三角形的性质分类讨论周长．【详解】解：，满足，，即，解得：．为正整数，当时，，当时，，当时，，若腰为2，则三边为，满足三角形三边关系，周长为7；若腰为3，则三边为，满足三角形三边关系，周长为8．当时，，若腰为5，则三边为，满足三角形三边关系，周长为11；若腰为1，则三边为，但，不满足三角形三边关系，故舍去．综上，周长为7或8或11．故答案为：7或8或11．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键是先提取公因式，再根据多项式特点选择完全平方公式或平方差公式继续分解．（1）先提取公因式，再对剩余多项式用完全平方公式分解；（2）先提取公因式，再对剩余多项式用平方差公式分解．【详解】（1）解：（2）解：18．（6分）简便运算：(1)(2)【答案】(1)4000(2)4【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化．（1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可；（2）运用完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：（2）解：19．（6分）已知：，分别求下列代数式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值．（1）根据平方差公式和，可以求得所求式子的值；（2）根据完全平方公式和，可以求得所求式子的值．【详解】（1）解：，，；；（2）解：；．20．（6分）已知，，是的三边，且．(1)试判断的形状．(2)若，求第三边的取值范围．【答案】(1)是等腰三角形(2)【分析】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．（1）对题目中式子进行变形因式分解，得到三角形边之间的数量关系，进而判断三角形行形状；（2）根据三角形三边关系列不等式，求解即可．【详解】（1）解：,，，，，，是的三边，，，是等腰三角形；（2）解：由（1）可得，，当时，三角形的三边为，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边得，，解得．21．（8分）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题．已知二次三项式有一个因式是，求的值．解法一：设，，，解得，的值为．解法二：设（为整式），当，即时，，把代入，得，根据上面材料，选择一种方法解答下列各题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求的值；(2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．（1）把代入即可求解；（2）把代入即可求解．【详解】（1）解：设（为整式）当，即时，．把代入，得，．（2）解：设（为整式）当，即时，，把代入，得，．22．（8分）【知识生成】（1）图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式，观察图，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到________．【知识应用】（2）基于上面的解答，根据图，写出一个代数恒等式：_______________．（3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值．【知识迁移】（4）类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图表示的是一个棱长为的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________．【答案】（）；（）；（）；（）．【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．（）依据正方形的面积，正方形的面积，可得等式；（）依据正方形的面积，正方形的面积，可得等式；（）依据进行计算即可；（）根据原几何体的体积等于新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（）解：观察图，正方形的面积，正方形的面积，∴，故答案为：；

（）解：∵正方形的面积，正方形的面积，∴，故答案为：；（）解：，∴，∴的值为；（）解：∵原几何体的体积，新几何体的体积，∴．23．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．(1)上述式子中________，________；(2)对于一元多项式，必定有f（________）；(3)请你用“试根法”分解因式：．【答案】(1)，．(2)(3)【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解；（1）根据题意，展开即可求解；（2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解；（3）根据（2）的结论，设，进而即可求解．【详解】（1）解：依题意，设∴解得：，故答案为：，．（2）解：∵其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为∴（3）∵∴多项式中有因式设∴∴，∴24．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．又如：因式分解．我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．请根据上面的提示和范例解决下面问题：(1)因式分解：______；(2)已知，求的值；(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答．（1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解；（2）将看成整体换元，即可求解；（3）将中第一项与第