2026-2027学年辽宁省大连文谷高级中学高二（上）诊断测试数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年辽宁省大连文谷高级中学高二（上）诊断测试数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在三棱锥O-ABC中，=（）A. B. C. D.2.已知直线l1：x+ay-2=0，l2，ax+4y+4=0，且l1∥l2，则实数a=（）A.±2 B.-1 C.-2 D.23.已知平面直角坐标系内两点A（1，2），B（-2，3），则过点A且以为法向量的直线l的方程为（）A.3x-y-1=0 B.3x-y-2=0 C.3x+y-5=0 D.3y-x-5=04.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a,则异面直线AB与CD的距离（）A.

B.a

C.

D.5.已知点A（2，5），点B（4，1），若点P（m,n）在线段AB上，则2m-n的最小值为（）A.3 B.-1 C.8 D.-96.郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l,点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若AC=CD=BD=3，二面角A-l-B的大小为120°，则AB=（）A.3 B. C. D.67.已知向量，，，则三棱锥S-ABC的体积为（）A.2 B.4 C.6 D.88.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，“”是“k1k2∈（-1，0）”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知空间中三点A（1，0，1），B（1，2，0），C（0，2，1），则下列说法正确的是（）A.与向量方向相同的单位向量是

B.与夹角的余弦值是

C.经过点A（1，0，1）的平面的一个法向量为，则该平面的方程为x-z=0

D.坐标原点O（0，0，0）关于平面ABC的对称点是10.下列四个命题中正确的有（）A.经过平面上不同的两点（x1，y1），（x2，y2）的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）

B.若直线kx+y-k+1=0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

C.若三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为{-1，1}

D.△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y=0，A（1，2），B（-1，-1），则顶点C的坐标为（-1，1）11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E，F分别为边AB，A1B1的中点，且存在点P，满足，λ，μ∈（0，1]，则下列选项中正确的是（）A.若直线C1P∥平面AB1D1，点P的轨迹长度为

B.若λ=μ，则直线D1P与A1C1所成角的取值范围是

C.若λ=2μ，则平面AB1P⊥平面DEF

D.若，则|D1P|+|PF|的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，对于平面ABC外一点O，（x＞0，y＞0），若M，A，B，C四点共面，则x+y的值为

.13.已知点A（1，1，2），B（2，1，0），则点P（1，1，0）到直线AB的距离为

.14.已知0＜x＜1，0＜y＜1.则的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知A（1，1），B（2，3），C（4，0），求（均写出一般式方程）：

（1）BC边上的中线所在的直线方程l1；

（2）过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程l2；

（3）求点C关于l1的对称点D的坐标.16.(本小题15分)

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=，M为AB的中点，N为CC1的三等分点且靠近点C.记.

（1）用表示向量，并求MN的长度；

（2）求平面BDD1的法向量（用表示）.17.(本小题15分)

在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等．记CM=BN=a（0＜a＜）．

（1）求MN的长；

（2）α为何值时，MN的长最小？

（3）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．18.(本小题15分)

如图在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=1，PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2.

（1）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值；

（2）求锐二面角C-PD-A的余弦值；

（3）线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.(本小题17分)

在平面上，给定非零向量.对任意向量，定义=-.

（1）若=（2，3），=（-1，3），求；

（2）已知=（2，1）.若点P（x,y）在直线l：Ax+By+C=0上，设=（x,y），按上述定义得到'=（x′，y′），记Q点坐标为（x′，y′）.

（i）证明：点Q（x′，y′）也在某一条直线上；

（ii）是否存在直线l,使得对于l上任意一点P，经过上述定义变换后的点Q仍在l上？若存在，求出所有这样的直线l的方程；若不存在，说明理由.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】AB

11.【答案】AC

12.【答案】4

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）设BC的中点为E，则．

直线l1过点A（1，1）和，其斜率．

直线l1的方程为，化为一般式得x-4y+3=0．

（2）当直线l2在坐标轴上的截距均为0时，直线l2过原点，

其斜率，方程为，即3x-2y=0．

当直线l2在坐标轴上的截距不为0时，设其在x轴上的截距为a,

则在y轴上的截距为-a,a≠0，方程为．

代入点B（2，3）得，解得a=-1，

此时直线方程为，即x-y+1=0．

综上，直线l2的方程为3x-2y=0或x-y+1=0．

（3）设D（x,y），则CD的中点在直线l1上，且CD⊥l1．

由M在l1上得，即x-4y+10=0．

由CD⊥l1得，即y=-4（x-4）．

联立方程组，代入得x-4（-4x+16）+10=0，解得17x=54，．

代回得，故．

16.【答案】解：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=5，

∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=，M为AB的中点，N为CC1的三等分点且靠近点C，

记，

由题意知：，

=，

∴；

（2）∵，，

设平面BDD1的法向量，∴，

由，得：

=

=16x+8y+8z-8x-16y-8z=8x-8y=0①；

由，得

=②；

令x=5，由①②得y=5，z=-4，

∴平面BDD1的法向量（用表示）为．

17.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），

∵CM=BN=a,∴M（，0，1-），N（，，0）．

（1）=；

（2）=，

当a=时，|MN|最小；

（3）由（2）可知，当M，N为中点时，MN最短，

则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，

则G（，，），

∵AM=AN，BM=BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，

∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，

∵，，

∴==-．

∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．

18.【答案】解：（1）作PE⊥AD，垂足为E，连接BE，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，故PE⊥底面ABCD，

BE⊂底面ABCD，则PE⊥BE，

则∠PBE即为直线PB与平面ABCD所成角，

PA=1，，AD=2，

故PA2+PD2=AD2，故PA⊥PD，则，

所以，，

又AB⊥AD，故，

故；

（2）因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，

故AB⊥侧面PAD，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则C（1，1，0），D（0，2，0），，

，，

设平面PCD的法向量为，

则，

取，可得y=1，x=1，所以，

结合题意可知平面PAD的法向量可取作，

设锐二面角C-PD-A为θ，

则；

（3）设线段AD上存在Q（0，m,0），m∈[0，2]，使得它到平面PCD的距离为，

由，

可得Q到平面PCD的距离，

解得或（舍去），所以，

则．

19.【答案】（1）解：，，则，，

故．

（2）（i）证明：当时，，

变换公式为，

即由上式解出：，．

代入直线方程Ax+By+C=0，得（-3A-4B）x′+（-4A+3B）y′+5C=0．

若-3A-4B=0且-4A+3B=0，则A=B=0，与A、B不全为零矛盾，

故上式是关于x′，y′的一次方程，表示一条直线．所以点Q（x′，y′）在某一条直线上．

（ii）解：存在，设不动直线为l：mx+ny+p=0（m,n不全为零）．对l上任意点P（x,y），要求Q（x′，y′）也在l上：

，

即（-3m-4n）x+（-4m+3n）y+5p=0对l上任意点成立，故该直线与l表示同一直线．

若p≠0（l不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为，

故-3m-4n=5m,-4m+3n=5n,均等价于2m+n=0，即n=-2m（m≠0）．

此时l：mx-2my+p=0⇔x-2y=t,．

若p=0（l过原点）：直线为mx+ny=0，变换后为（-3m-4n