2026-2027学年贵州省遵义市航天高级中学高三上学期诊断性测试（一）数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.样本数据2，3，6，4，7的中位数是（）A.3 B.4 C.5 D.62.已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°5.已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（）A. B. C. D.6.已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（）A. B. C. D.7.已知函数，则下列说法错误的是（）A.是奇函数 B.是偶函数C.的图象关于对称 D.的图象关于对称8.在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据：的第70百分位数是7.5B.若随机变量，则C.若随机变量，且，则D.若三个随机事件两两独立，则10.已知函数的部分图象如图，则（）A.的最小值为 B.的最小正周期为πC.是奇函数 D.11.在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（）A.B.点到平面的距离为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________．13.设，则__________.14.甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表：良好一般合计服用85服用20合计（1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？（2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.17.已知的内角满足，且的面积大小为4.（1）求边长的最大值；（2）当边长取到最大值时，求的周长.18.已知椭圆：的左焦点为，离心率为．（1）求椭圆的方程．（2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点．①若，求点的纵坐标；②若线段交轴于点，求的值．19.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）讨论的单调性；（3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.样本数据2，3，6，4，7的中位数是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：解答过程：将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，3，4，6，7，该组数据的样本容量为5（奇数），所以中位数为排序后第个数据，即为4．2.已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数的几何意义写出复数对应的点的坐标即得.解答过程：因为复平面内，复数对应的点为，所以表示复数的点在第四象限.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知集合，得，，所以，因此，故C正确.4.已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°答案：C解析：思路：先根据向量

的坐标可以求出，再结合数量积计算公式即可求出，从而得出向量，的夹角.解答过程：由题意，，则，向量，的夹角为120°，故选：C.5.已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设甲圆锥的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆锥和圆台的体积公式计算即可得解.解答过程：设圆锥甲的高为，圆台乙的高为，则，，所以圆锥甲的体积，圆台乙的体积，所以甲、乙的体积之比为.6.已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题可得，结合同角三角之间的关系得出，，再利用等差数列的性质以及两角和差的正切公式即可计算.解答过程：由辅助角公式可知的最大值为，故，因，则，即，得，则，则，因是等差数列的第5项，则，则.故选：A7.已知函数，则下列说法错误的是（）A.是奇函数 B.是偶函数C.的图象关于对称 D.的图象关于对称答案：D解析：思路：根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D两项.解答过程：对于A，因，即，故函数关于点成中心对称，故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确；对于B，因的定义域为，关于原点对称，且，即是偶函数，故B说法正确；对于C，设，由，即，故函数的图象关于对称，故C说法正确；对于D，设，由，显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误.故选：D.8.在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解.解答过程：如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为，过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为，由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为，将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得，解得或，由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得，所以点的坐标为，又因为，所以，解得，所以抛物线的准线方程为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据：的第70百分位数是7.5B.若随机变量，则C.若随机变量，且，则D.若三个随机事件两两独立，则答案：BC解析：思路：对A，根据百分位数的定义判断即可；对B，根据二项分布的方差公式求解即可；对C，根据正态分布的对称性求解即可；对D，举例进行验证即可．解答过程：对于A：数据共7个，则，所以第70百分位数为第5项数据8，故A错误.对于B：若随机变量，则，故B正确；对于C：若随机变量，则对称轴为，由，得，则，得，故C正确；对于D：设样本空间含有4个等可能的样本点，且，，，则，，所以，，，即A，B，C两两独立，但是，所以A，B，C两两独立时，不一定成立，故D错误.故选：BC10.已知函数的部分图象如图，则（）A.的最小值为 B.的最小正周期为πC.是奇函数 D.答案：ABC解析：思路：根据函数相邻对称轴与对称中心的距离为周期的，求出周期，再由，求出，根据，求出，从而得到，然后逐项判断即可.解答过程：由可知，，所以的最小值为，所以A正确；由图可知的最小正周期为，所以B正确；又，所以，又，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，为奇函数，所以C正确；，所以D错误.故选：ABC11.在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（）A.B.点到平面的距离为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长.解答过程：以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，由题得各点坐标：

，是的中点，故.对于选项，向量，，故

.因此，即，正确.对于选项，，设平面的一个法向量，则解得，令，则.因为，所以点到平面的距离为，正确.对于选项，向量，设直线与平面所成角为，则，错误.对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：

，化简得.该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧，所以轨迹长度为，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________．答案：2解析：解答过程：因为是奇函数，当时，，所以.13.设，则__________.答案：3解析：思路：由二项式定理得，代入求值即可.解答过程：由二项式定理可得，，则有，当时，.故3.14.甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________．答案：解析：思路：根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值.解答过程：甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局，故，故，当时，；当时，，故在上单调递增，在单调递减，故时，取最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表：良好一般合计服用85服用20合计（1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？（2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联（2），，解析：思路：（1）根据独立性检验的相关知识解决；（2）利用古典概型的概率公式求解.（1）零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联，良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200根据上表可知，，所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联．（2）因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以，在200人中服用药物的人数为100，所以，因为在200人中有85人服用药物且治疗效果良好，所以．16.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）取的中点，连接，，因为为的中点，所以，且.在直三棱柱中，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，求平面的法向量和直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论即可.（1）略（2）设直三棱柱的侧棱长，，故.如图建立空间直角坐标系，可得，，，，则，，，设平面的法向量为，则取，得，，得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17.已知的内角满足，且的面积大小为4.（1）求边长的最大值；（2）当边长取到最大值时，求的周长.答案：（1）8；（2）.解析：思路：（1）根据三角恒等变换化简得，再利用三角形面积公式和正弦定理得，解出，最后根据三角函数有界性即可得到其最大值；（2）计算得，，最后利用正弦定理即可得到答案.（1）由条件知，即，展开得，于是，展开得，设的外接圆半径大小为，则根据正弦定理得，解得，所以，于是当时，边长最大，最大值为8．（2）由（1）知，此时，于是，，所以，因为，所以，即于是，所以的周长为．18.已知椭圆：的左焦点为，离心率为．（1）求椭圆的方程．（2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点．①若，求点的纵坐标；②若线段交轴于点，求的值．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程；（2）①由条件可得，结合向量数量积坐标运算公式列方程可求，设，根据关系及点在椭圆上列方程求，②由条件可得，所以，设，根据关系及点在椭圆上列方程可得，再证明，由此可得结论.