2026-2027学年广东省中山市桂山中学高三上学期第一次阶段检测数学试卷（含答案）

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求）1.复数满足(为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）A. B.C. D.5.已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.6.已知展开式中项的系数为，则（）A.2 B. C.4 D.7.已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（）A. B. C. D.8.某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（）A. B. C. D.二、多选题多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.10.记等比数列的前项和为，已知，，则（）A.的公比 B.是递减数列C. D.11.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（）A.的解集为B.当时，C.有且只有两个零点D.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量服从正态分布，若，则=_________.13.已知，则的最小值是______.14.已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________．四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求函数的解析式；（2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围.16.已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）记，求数列的前项和.17.某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；（2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；（3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）18.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知（1）求出q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（3）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望．（参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为）19.已知曲线在处的切线过点.（1）试求的值；（2）讨论的单调性；（3）证明：当时，.

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求）1.复数满足(为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部.解答过程：依题意，，所以的虚部是.故选：B2.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，根据分式函数和对数函数的性质，可得，解得，即，B正确.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：设函数

，求导得：,当

时，，则在

上单调递增；若

，由

在

上单调递增，可得

，即，充分性成立；举反例：取

​，满足

，即成立，但不满足

，必要性不成立；因此，是的充分不必要条件.4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：分别验证各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出结果.解答过程：A选项，函数定义域为，，函数为奇函数，在上单调递减，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，不符合题意；B选项，，即，函数定义域为，，函数为奇函数，∵在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，不符合题意；C选项，函数定义域为，为偶函数，不符合题意；D选项，函数定义域为，，函数为奇函数，，因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，符合题意.故选：D.5.已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由是偶函数，得到的图像关于对称，由且时，，得到在单调递增，由，结合单调性即可判断.解答过程：因为函数是偶函数，所以，即的图像关于对称，又且时，，可得在单调递增，所以，所以，故选：C6.已知展开式中项的系数为，则（）A.2 B. C.4 D.答案：B解析：解答过程：由题设，，令，得，故项的系数为，所以.7.已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合等差数列的定义，利用取倒数法证得是等差数列，进而求得，再利用裂项相消法求和即可.解答过程：依题意，由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，则，所以数列的前20项和为.故选：B8.某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用样本中心一定在回归直线上，计算出，然后利用样本中心点的横坐标和纵坐标分别为对应数据的均值，计算出除了输入错误数据的和，然后代入正确数据计算出均值，就可以得到修正后数据的样本点中心，然后将其代入修正后的回归直线方程，计算出即可.解答过程：由题可知，假设甲输入的为，为，所以，，所以，，改为正确数据时得，，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程，得.故选：D二、多选题多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.答案：BD解析：思路：根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解．解答过程：对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A不正确；对于B中，若，可得，则，故B正确；对于C中，由概率的定义知，所以C不正确：对于D中，由，则，所以D正确．10.记等比数列的前项和为，已知，，则（）A.的公比 B.是递减数列C. D.答案：AC解析：思路：根据题意，利用等比数列的性质依次判断即可.解答过程：对于A，由等比数列前项和的性质可得，即，得，解得，故A正确；对于B，由A知，数列的项正负交替出现，所以是摆动数列，不是递减数列，故B错误；对于C，由，代入，，可得，所以，故C正确；对于D，，故D错误．11.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（）A.的解集为B.当时，C.有且只有两个零点D.答案：ABD解析：思路：由函数的奇偶性求解可判断B；利用B中的结论及已知条件解不等式可判断A；由函数的解析式及奇函数的性质求出零点可判断C；利用导数研究函数的最值可判断D.解答过程：因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，故B正确；当时，，由即，解得；当时，，由即，解得，所以的解集为，故A正确；当时，由，解得；因为是定义在上的奇函数，所以；当时，由，解得，故有且只有三个零点，故C错误；当时，，，故在上单调递增，所以，，则，故D正确．故选：ABD．三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量服从正态分布，若，则=_________.答案：解析：解答过程：因为，所以正态曲线关于对称，且标准差，因为，所以，因此.13.已知，则的最小值是______.答案：解析：思路：由题意得，利用基本不等式即可求解.解答过程：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是．14.已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________．答案：5解析：思路：根据的解析式求出中的值，然后再求出的值.解答过程：当时，，不符合题意；当时，，即，解得或.当时，若，，舍去；若，，解得或者；当时若，

解得；若，

，解得或.计算得满足条件的实数有5个.四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求函数的解析式；（2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围.答案：(1);(2).解析：解答过程：试题分析：用换元法令来求函数的解析式（2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围解析：（1）令∴即：∴.（2）由即：又因为：，∴令，则：又在为减函数，在为增函数.∴∴，即.点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果．16.已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）记，求数列的前项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可；（2）将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到.（1）由题可知，因为，，成等比数列，所以，解得或（因为，所以舍去），所以，；（2）由（1）可知，所以.17.某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；（2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；（3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）答案：（1）；（2）（3）解析：思路：（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；（2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：；成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：；所以，解得，所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.（2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件，故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为.（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，故，解得，所以成绩良好的最低分数线为.18.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知（1）求出q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（3）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望．（参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为）答案：（1）（2）（3）的分布列