2026-2027学年广西贺州市部分校高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则（）A.1 B. C. D.2.已知，，集合，集合，若，则（）A.1 B.2 C.4 D.83.等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（）A. B.1 C. D.4.在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.5.已知双曲线：的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.6.甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（）A.10 B.16 C.32 D.647.已知，则（）A. B. C. D.8.定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆与圆，则下列说法正确的有（）A.若，则两圆外离B.若两圆相交，则C.若，则两圆的公共弦所在直线方程为D.若，则直线为两圆的公切线10.设为等差数列的前n项和，已知，，则（）A.数列的公差为 B.与的等比中项为C. D.当取得最大值时，或611.抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（）A.抛物线的焦点到准线的距离为4B.若点的坐标为，则周长的最小值为9C.当时，D.以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_________．13.已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________.14.在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在频率分布直方图中，如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈左偏分布；如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈右偏分布．在某市的教师招聘考试中，随机抽取50名考生对他们的笔试成绩进行统计，将结果绘制成如下的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，请判断这50名考生笔试成绩的分布情况；（2）若考生的笔试成绩不低于130分视为优秀，用频率估计概率，现从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取5名考生，笔试成绩优秀的人数用表示，求的数学期望与方差．16.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.（1）当时，求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.17.在中，，，分别是角，，的对边，若且．（1）求；（2）设角的平分线交边于点，求长度最大值．18.已知椭圆的离心率为，焦距为4．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q．（i）求直线AR与BQ的斜率之比（ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率．19.若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．（1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；（2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则（）A.1 B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得：，即，，．2.已知，，集合，集合，若，则（）A.1 B.2 C.4 D.8答案：A解析：解答过程：因为，则，，，所以，则．3.等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（）A. B.1 C. D.答案：B解析：解答过程：，，，且，．4.在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：取中点，连接，，过点作，由条件可得三棱锥是正三棱锥，所以为三棱锥的高，且为的中心，则，所以，则．5.已知双曲线：的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率.解答过程：根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即，整理得，即，解得或（舍），所以．6.甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（）A.10 B.16 C.32 D.64答案：C解析：思路：先把甲乙捆绑，丙丁捆绑，再把站队分成三步完成，第一步：第一排甲乙必须站在一起；第二步：丙丁必须站在一起；第三步：剩下2人全排列.三步方法数相乘即可.解答过程：第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列，所以有种．7.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．解答过程：由，得，得，则．8.定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题目的已知条件可以推出函数在R上单调递减且为奇函数，结合单调性和奇偶性可以将转换为，然后推出的取值范围，最后求出的取值范围.解答过程：对任意，（），都有，所以函数是上的减函数．函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象，因为函数关于中心对称，所以函数关于对称，即是奇函数．由,，，由，因为，由．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆与圆，则下列说法正确的有（）A.若，则两圆外离B.若两圆相交，则C.若，则两圆的公共弦所在直线方程为D.若，则直线为两圆的公切线答案：BD解析：思路：根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D.解答过程：由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径．对于A，若，，两圆外切，故A错误；对于B，由两圆相交，得，即，解得，故B正确；对于C，若，则，此时，所以两圆相交，因为两圆方程作差得，所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误；对于D，若，则到直线的距离，到直线的距离，所以直线为两圆的公切线，故D正确．10.设为等差数列的前n项和，已知，，则（）A.数列的公差为 B.与的等比中项为C. D.当取得最大值时，或6答案：ACD解析：解答过程：A.设等差数列的公差为，由，得解得，A正确；B.∵，，∴与的等比中项为，而，B错误；C.由等差数列求和公式得，C正确；D.∵，,对称轴为，开口向下，∴当取得最大值时，或6，D正确.11.抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（）A.抛物线的焦点到准线的距离为4B.若点的坐标为，则周长的最小值为9C.当时，D.以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为答案：ABD解析：思路：根据抛物线性质判断A选项；利用抛物线定义将进行转化，再利用三角不等式求周长的最小值判断B选项；利用抛物线定义将进行转化后判断C选项；将直线方程与抛物线方程联立消元得到韦达定理，表示和点坐标，得到到轴的距离，进一步表示，再利用函数性质求最值即可判断D选项.解答过程：对于A，由直线：与轴的交点为，得焦点，准线方程为，因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确；对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为，则周长为，当且仅当，，共线时取等号，B正确；对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，设，则，，由，即，得，则，因此直线的倾斜角为，斜率为，故，C错误；对于D，由，得，，所以，则，，到轴的距离为，，当且仅当时取得等号，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_________．答案：1解析：解答过程：对于等式，令得：，所以.13.已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________.答案：解析：思路：根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可.解答过程：由题得，解得，可得的定义域为.又因为为偶函数，其定义域关于原点对称，所以，则，此时，满足为偶函数.当时，，则，所以，则在处的切线方程为.14.在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________．答案：##解析：思路：设满足题意的动点为，求得点在平面的投影点，并结合几何关系，求得的长度，即可判断的轨迹为圆弧，再根据弧长公式计算即可.解答过程：设平面的中心分别为，连接，设球与底面的交线上一个动点为，作图如下：因为为正三棱台，故面，且//在中，；在中，；取中点为，则//，且，故四边形为平行四边形，故//，则面；连接，又面，故；在中，，则，故点的轨迹是以为圆心，且为半径的圆弧上，如图所示，也即弧；又底面为等边三角形，故，又在以为圆心，且为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为，由弧长公式可知弧的长度为.也即球与底面的交线长是.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在频率分布直方图中，如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈左偏分布；如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈右偏分布．在某市的教师招聘考试中，随机抽取50名考生对他们的笔试成绩进行统计，将结果绘制成如下的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，请判断这50名考生笔试成绩的分布情况；（2）若考生的笔试成绩不低于130分视为优秀，用频率估计概率，现从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取5名考生，笔试成绩优秀的人数用表示，求的数学期望与方差．答案：（1）50名考生笔试成绩呈左偏分布（2），解析：思路：（1）结合频率分布直方图，根据平均数、中位数、众数的定义求解判断即可；（2）分析可得，再根据二项分布的期望、方差公式求解即可.（1）估计笔试成绩的平均分为：；前3组的频率为，前4组的频率为，所以中位数在内，设笔试成绩的中位数估计为，则，解得，所以笔试成绩的中位数估计为119；估计笔试成绩的众数为125．因为众数中位数平均数，所以这50名考生笔试成绩呈左偏分布．（2）由题意，成绩优秀的频率为，则估计从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取1人，为优秀的概率为，由题意可得，所以，．16.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.（1）当时，求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）取的中点，连接，因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件得、、、、，当时，，则，所以，，，所以，，所以，，又，、平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.（1）略（2）易知，则，当时，点，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故当时，求直线与平面所成角的正弦值为.17.在中，，，分别是角，，的对边，若且．（1）求；（2）设角的平分线交边于点，求长度最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用三角形内角和转化，代入原式化简可得，结合，利用正弦定理边角互化得到，最后结合角的范围求出角.（2）先利用余弦定理建立，关系，并利用不等式求出，再利用等面积法建立等量关系，得到，最后再利用基本不等式求出长度的最大值.（1）由题意，，，整理得：，，，，又，，由正弦定理得：，，，，即，，.（2）由余弦定理，，即，当且仅当时，等号成立.又，化简可得，.所以，当且仅当时等号成立．故长度的最大值为.18.已知椭圆的离心率为，焦距为4．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q．（i）求直线AR与BQ的斜率之比（ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率．答案：（1）（2）（i）；（ii）．解析：思路：（1）根据离心率及焦距求解即可；（2）（i）设直线的方程为，联立椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式化简即可得解；（ii）由三角形面积相等可得，设直线方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理求解即可.（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为．（2）（i），设直线的方程为，与联立得：．设，则，于是又，故．（ii）由与的面积相等，得与的面积相等，故有．延长交于点，因为，由椭圆的对称性知，四边形ATBR为平行四边形，故．设直线方程为，与椭圆方程联立得：，设，则，故，得